新教材人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊全冊教學(xué)案（知識點考點匯總）

人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊全冊學(xué)案

9.1正弦定理與余弦定理....................................................-2-

9.1.1正弦定理........................................................-2-

9.1.2余弦定理.......................................................-14-

9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用.............................................-23-

9.3數(shù)學(xué)探究活動：得到不可達(dá)兩點之間的距離..............................-23-

10.1復(fù)數(shù)及其幾何意義.....................................................-39-

10.1.1復(fù)數(shù)的概念.....................................................-39-

10.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義.................................................-48-

10.2復(fù)數(shù)的運算...........................................................-56-

10.2.1復(fù)數(shù)的加法與減法...............................................-56-

10.2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法...............................................-64-

*10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運算..............................................-73-

11.1空間幾何體...........................................................-84-

11.1.1空間幾何體與斜二測畫法.........................................-84-

11.1.2構(gòu)成空間幾何體的基本元素.......................................-94-

11.1.3多面體與棱柱.................................................-106-

11.1.4棱錐與棱臺....................................................-116-

11.1.5旋轉(zhuǎn)體........................................................-126-

11.1.6祖瞄原理與幾何體的體積.......................................-136-

11.2平面的基本事實與推論................................................-147-

11.3空間中的平行關(guān)系....................................................-158-

11.3.1平行直線與異面直線............................................-158-

11.3.2直線與平面平行................................................-166-

11.3.3平面與平面平行................................................-177-

11.4空間中的垂直關(guān)系....................................................-187-

11.4.1直線與平面垂直...............................................-187-

11.4.2平面與平面垂直...............................................-199-

9.1正弦定理與余弦定理

9.1.1正弦定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.(重點)

1.借助正弦定理的推導(dǎo)，提升

2.理解正弦定理及其變形的結(jié)構(gòu)形式，并能用正

數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的素養(yǎng).

弦定理解決三角形度量和邊角轉(zhuǎn)化問題，會判三角

2.通過正弦定理的應(yīng)用的學(xué)

形的形狀.(難點)

習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、直觀想象

3.能根據(jù)正弦定理確定三角形解的個數(shù).(難點、

的素養(yǎng).

易錯點)

情境趣味導(dǎo)學(xué)情境導(dǎo)學(xué)。探新知預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

畬情境引入?助學(xué)助教

關(guān)于正弦定理的發(fā)現(xiàn)歷史，一般認(rèn)為是中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布

瓦法(940?998)提出并證明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的

證明最先是納綏爾丁-圖西(1201?1274)給出的.我國清代數(shù)學(xué)家梅文鼎(1633?

1721)在他的著作《平三角舉要》中也給出了證明，而且還給出了正弦定理的完整

形式.

思考：三角形中的邊與其所對的角的正弦值之間具有什么關(guān)系？

不新知初探「

1.三角形的面積公式

(1)S=^a-ha=^b-hb=^c-hc(ha,hb,心分別表示。，b,c邊上的高).

(2)S=g〃0sinC=,CcsinA=、acsinB.

(3)S=；(a+Z?+c"(??為內(nèi)切圓半徑).

2.正弦定理

在一個三角形中,各邊的長和它

所對角的正弦的比相等

3.解三角形

⑴一般地，我們把三角形的3個角與3條邊都稱為三角形的元素.

⑵已知三角形的若干元素求其他元素一般稱為解三角形.

思考：利用正弦定理解三角形需要哪些條件？

［提示］需要兩角和一邊或兩邊和其中一邊的對角.

［拓展］

1.正弦定理的常用變形式

在△ABC中，若內(nèi)角A,B,。所對的邊長分別為a,b,c,其外接圓半徑為

R.則

(l)tzsinB=bsinA,加inC=csinB,asinC=csinA；

(2)sinA：sin8：sinC=a-b'c；

a-\~b+c

=2R；(證明見類型4［探究問題］)

⑶sinA=sinBsinCsinA+sinB+sinC

(4)q=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；(可以實現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化)

cihc

(5)sinA=旅，sinB=詼，sin。=礪.(可以實現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化)

2.三角形中邊角的不等關(guān)系

(1)若可得a>O>c,則sinA>sin8>sinC；

(2)若sinA>sinB>sinC,可得a>b>c,則A>8>C

1.思考辨析(正確的打“，錯誤的打“X”)

⑴正弦定理不適用于鈍角三角形.()

(2)在△ABC中，等式切inA=asin8總能成立.()

［提示］(1)X.正弦定理適用于任意三角形.

ah

(2)J.由正弦定理知而^=而小，即從inA=asinB.

［答案］(1)X(2)V

2.在△ABC中，sinA=sinC,則△43。是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

B［因為A,C是△ABC的內(nèi)角，所以A+CVTT,又因為sinA=sinC,所以

A=C,即△ABC為等腰三角形.］

3.在△ABC中，已知a=3,b=5,sinA=；,則sinB=（）

A.7B.|。.乎D.1

5X1

B［由正弦定％^=磊可得，sin八絆^二24故選B」

4.在△ABC中，若等=型產(chǎn)，則B的大小為.

71十,、、皿乙sinAcosB

"7［由正弦定理知-IT=~,

4LsinAsinBf

71

..sinB=cosB,又?二8仁①,兀）,

疑難問題解惑合作探究。釋疑難學(xué)科素養(yǎng)形成

類型I已知兩角及一邊解三角形

【例1】(1)在△ABC中，已知a=18,S=60°,C=75°,求人的值;

(2)在△ABC中，已知c=10,A=45。，C=30°,求a,b.

［解］(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得

4=180°—(3+0=180°-(60°+75°)=45°.

,p,asinB18sin60°八r-

根lr據(jù)正弦/O里，不為=~^彳=sin45。=9m.

(2)法一：V>1=45O,C=30°,.?.8=180°—(A+。=105°.

accsin410Xsin45°r-

由；1^=茄七付a=l^~C=sin30°=32.

Vsin105°=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos450+cos30°sin45°=

啦+冊

4

.7,csinB啦+加巧r-

??/?一§指c_20X4—572+576.

法二：設(shè)△ABC外接圓的直徑為2R,

c10

貝=

I2R=siin7C^~sin.3c0o=20.

易知5=180°—(A+C)=105。，

a=27?sinA=20Xsin45°=10^2,

/?=27?sinB=20Xsin105°

=20X也;#=5啦+5"

廠....??規(guī)1^<^法?.......--

已知三角形的兩角和任一邊解三角形的方法

(1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對邊，再由三角形

內(nèi)角和定理求出第三個角.

(2)若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再

由正弦定理求另外兩邊.

提醒：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(這時應(yīng)注意角的拆并，即

將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差)，再根據(jù)上述思路求解.

［跟進訓(xùn)練］

1.在△ABC中，a=5,8=45。，C=105°,求邊c.

［解］由三角形內(nèi)角和定理知A+8+C=180°,

所以A=180°-(B+Q=180°-(45°+1O5°)=3O°.

nr

由正弦定理一7=—不，

sinAsinC'

用sinCsin105°sin(60°+45°)

付c~而L*丁而=5XV30。

sin60°cos450+cos60°sin45°

=5X---------------------

°sin30°

=|(加+啦).

寸型2已知兩邊及其中一邊的對角解三角形

【例2】在△ABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形：

b=y[39A—30°；

(2)a=l,b=小,5=120°.

r即、/八3313、B.n"SillA乖SM300事

[ft?](1)根據(jù)正弦定理，sinB=-^—=z-j----=看,

■:b>a,AB>A=30°,AB=60°^120°.

當(dāng)8=60。時，C=180°-(A+B)=180°-(30°+60°)=90°,

.Z?sinCy[3

,>c=sinB=sin60o=2：

當(dāng)8=120。時，。=180?！?4+8)=180。一(30。+120。)=30。=4,：.c=a=\.

/-MW十力4口.4tzsinBsin12001

(2)根據(jù)正弦定理，sinA=衛(wèi)==2,

因為8=120。，所以A=30。，則C=30。,c=a=l

廠.....規(guī)律C方法.....................

已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法

(1)根據(jù)正弦定理求出另一邊所對的角的正弦值，若這個角不是直角，則利用

三角形中“大邊對大角”看能否判斷所求的這個角是銳角，當(dāng)已知的角為大邊所

對的角時，則能判斷另一邊所對的角為銳角，當(dāng)已知的角為小邊所對的角時，則

不能判斷，此時就有兩解，分別求解即可.

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出第三個角.

(3)根據(jù)正弦定理求出第三條邊.

[跟進訓(xùn)練]

2.已知△ABC分別根據(jù)下列條件解三角形：

(l)a=2,c=冊，C=p

(2)a=2,c=#,A=；.

[解](1)7'=-：八

11''sinAsinC

..,asinC或

..sinA=

2?

兀

'.*c>a9??C>A??A=a.

V6Xsin:

.八5兀,csinB

??B=',,b=~~~k=小+1.

12smC.兀

sm3

⑵??q=q

"sinAsinC'

??八csin-

??

sinC—a—g2.

兀，271

又?Q<C,??C=§或3.

“一兀Ln5兀,asinBr-,.

當(dāng)C=3時，B=五,1,=--^=^+1,

,,「2兀CL兀,?sinBr-

當(dāng)°=至?xí)r，8=五，b=-X=y[3-l.

三角形的面積公式及其應(yīng)

'類型"

用

【例3】在△ABC中，已知8=30。，AB=2小,AC=2.求△ABC的面積.

[解]由正弦定理，得sinC=AB：；B二坐,

/iCz乙

KAB-sinB<AC<AB,故該三角形有兩解：C=60°或120。.

當(dāng)C=60°時,4=90°,

S/\ABC=2^B-AC-sinA=2，§;

當(dāng)C=120。時,A=30°,

S/\ABC=2^B-AC-sinA=\[3.

所以△ABC的面積為2#或小.

.....規(guī)律＜方法.....

求三角形面積的公式

求三角形的面積是在已知兩邊及其夾角的情況下求得的，所以在解題中要有

目的地為具備兩邊及其夾角的條件做準(zhǔn)備.

［跟進訓(xùn)練］

.J5

3.在△A3C中，a,b,c分別是角A,B,。的對邊，若tanA=3,cosC='".

⑴求角B的大??；

(2)若c=4,求aABC的面積.

[解](l)VcosC=^~,.,.Ce[o,7

，sinC=￥，tanC=2.

tanA+tanC

又VtanB=-tan(A+C)=

1—tanAtanC

J十z,兀

]—3X2=1，且0V3V兀，???3=疝

hc

⑵由正弦定理硒=砧，得

.R4義坐

csinB_____2__r—

JsinL2^/5一小°，

5

由sinA=sin(B+C)=sin^+C

產(chǎn)..—況叵

彳于sinAJ。,

Z\ABC的面積SzsABC=]AcsinA=6.

、類型4利用正弦定理判斷三角形的形狀

［探究問題］

1.已知△ABC的外接圓。的直徑長為2H,試借助△ABC的外接圓推導(dǎo)出正

弦定理.

［提示］如圖，連接80并延長交圓。于點。，連接CO,則N3CO=90。,

A

D

BC

ZBAC=ZBDC,

在RtABCD中，BC=BD-sinZBDC,

所以?=2/?sinA,

=同理-；=7=2R,

smAT2/?',sinBD27?,'~sinC'

“，abc”

所以-7=~?n=~7=2R.

sinAsinBsinC

2.根據(jù)正弦定理的特點，我們可以利用正弦定理解決哪些類型的解三角形問

題？

［提示］利用正弦定理，可以解決：（1）已知兩邊和其中一邊的對角解三角形；

（2）已知兩角和一邊解三角形.

【例4】在△A5C中,若sinA=2sinBcosC,Ksin2A=sin2B+sin2C,試判

斷△ABC的形狀.

［思路探究］①4=兀一（8+。）.

②邊角轉(zhuǎn)化，sin4=品，sin8=痣，sin。=或（H為△ABC外接圓的半徑）.

Zi\Z.KZ/\

dhc

［解］法一：在AABC中，根據(jù)正弦定理：排=*"=m7；=2R（R為△ABC

外接圓的半徑）.

Vsin2A=sin2B+sin2C,

222

?,僚=閡+㈤，

即a1=b2+c2,

：.A=90°,：,B+C=90°,

由sinA=2sinBcosC,

得sin90°=2sinBcos（90°-B）,

/.sin2B=^.

?.?8是銳角，；.sinB=*,

.?.8=45。，C=45°,

二△ABC是等腰直角三角形.

法二：在△A3C中，根據(jù)正弦定理，得

sinA=/,sinB=4,sinC=4(R為△ABC外接圓的半徑).

sin2A=sin2B+sin2C,

.'.a2=b2+c1,

：.△ABC是直角三角形且4=90°.

VA=180°-(B+C),

sinA=2sin8cosC,

.".sin(B+C)=2sinBcosC.

sinBcosC-cosBsinC=0,

即sin(8-O=0.；.8-C=0,即B=C

AABC是等腰直角三角形.

［母題探究］

（變條件）若將題設(shè)中的“sinA=2sin8cosC”改為“加inB=csinC”，其余不

變，試解答本題.

nhc

［解］由正弦定理，為△ABC外接圓半徑），得sinA

=赤'sin'=誨'sinC=也.

/?sinB=csinC,sin2A=sin2B+sin2C,

222

???臉=。品閡=閡+闔,

/.Z?2=c2,a2=i>2+c2,

:.b=c,A=90°.

AABC為等腰直南三角形.

廠.....??規(guī)律C方法.......-

利用正弦定理判斷三角形形狀

（1）判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進行思考，主要看其是不是

等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等，要特別注意“等腰

直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.

(2)在判斷三角形的形狀時，一般將已知條件中的邊角關(guān)系利用正弦定理轉(zhuǎn)化

為角的關(guān)系(注意應(yīng)用A+3+C=7i這個結(jié)論)或邊的關(guān)系，再用三角恒等變換或代

數(shù)式的恒等變形(如因式分解、配方等)求解，注意等式兩邊的公因式一般不能約掉,

而要移項提取公因式，否則有可能漏掉一種形狀.

類型___________利用正弦定理進行邊角互化

【例5】在△A3C中，若acos^+ccos^n爭，求證：a+c=2b.

［思路探究］①已知等式中有邊a",c,則要想到邊化角的變形公式a=2Rsin

A,Z?=27?sinB,c=2HsinC；(R為△ABC外接圓半徑)

_,1+cos2a

(2)cosa------2------

［證明］因為acos2/+ccos2'=當(dāng)，

所以由正弦定理得sinAcos^+sinGeos,=3sB

,,,...1+cosC.l+cosA3sinB

所r以sinA------2-----+sinC------------='—一;

即sinA+sinAcosC+sinC+sinCeosA=3sinB,

所以sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB,

所以sinA+sinC=2sinB,

所以由正弦定理可得a+c=2".

廠.........規(guī)律c方法...........一

I.已知或所求等式中只有邊的關(guān)系就用邊化角的變形公式.

2.已知或所求等式中只有角的正弦的關(guān)系就用角化邊的變形公式.

3.已知或所求等式中既有邊的關(guān)系也有角的關(guān)系，就嘗試使用這兩組變形公

式.

［跟進訓(xùn)練］

4.在△ABC中，A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若1+嬴石+石=。，則

A=.

2無,_…一?,tanA,2sinC?

Tr[由正弦無理可付1+嬴g+高互=0，

§inAcos82sinBsin（A+B）2sinC

故1+cosAsin5+sin3=0'cosAsinB+sinB=0,

sinC2sinC_

cosAsinB'sinB~'

因為8,ce（o,兀），所以黑下力0,所以^^+2=0，

即cosA=一,

2兀

因為Ae（0,7i）,所以A=3~J

課堂知識夯實課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙基盲點掃除

Q必備素養(yǎng)—]

知識：

1.利用正弦定理解三角形的類型及解法

類型已知條件一般解法

,qsinB八/一c、〃sinC

A,B,a

smA''sinA

已知三角形的兩角和

bsinA-/一c、bsinC

A,B,b“sin8,C-n-(A+S),c-

任意一邊sinB

-,一c、csinAfcsinB

A,B,cC-LG+B),a-sinc，〃-sinC

.?AinA,,asinC

已知三角形的兩邊和sinB—，C—7i—(A+BD),c—.4

A,b,aCLbillzl

其中一邊的對角

(解的個數(shù)不一定唯一)

2.利用S=gabsinC=^acsinB=^/?csinA可以計算三角形的面積

方法：

1.利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化的兩條途徑

⑴化角為邊.將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)多項式

的有關(guān)知識（分解因式、配方等）得到邊的關(guān)系.利用的公式為sin4=焉,sin8=痣,

.「C

sinC2R.

（2）化邊為角.將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函

數(shù)的有關(guān)知識得到角的關(guān)系.利用的公式為a=2RsinA,b=2RsinB,c=27?sinC.

2.判斷三角形形狀的方法通常有以下兩種

（1）邊化角.考察角的關(guān)系主要有：

兩角是否相等；三個角是否相等；是否有直角等.

（2）角化邊.考察邊的關(guān)系主要有：

兩邊是否相等；三邊是否相等；是否滿足勾股定理等.

u學(xué)以致用」

1.在△ABC中，若sinA>sinB,則A與8的大小關(guān)系為（）

A.A>BB.A<BC.A^BD.不能確定

A[由正弦定理得sinA>sin3臺臺故選A.]

2.在△ABC中，A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若8=30。，b=2,則竦7

的值是（）

A.2B.3C.4D.6

C[由正弦定理可得忘=品=熹=4.]

3.已知a,b,c分別是△ABC的三個內(nèi)角A,B,。所對的邊，且滿足；^匕=

COSri

品h則CAABC的形狀是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

_.abc<bc_sinAsinB

C[由T==7^*口弦定T=~~,可彳寸~7=Q

LcosAcosBcosCsinAsinBsinCcosAcosB

sinC*

=即==所以

~c~os7C',tanAtan5tanC',A=8=C.

故△ABC為等邊三角形.]

4.在△ABC中，已知a=8,8=60。，C=75°,求A,b,c.

［解］A=180°-(B+Q=180°-(60°+75°)=45°.

h_____a_2,asinB8Xsin60°

由正弦定理?仔2H=m45。一=4誣r

sinB"-sinA

J2+2/6

tCasinC8Xsin750°入4

得°==4(小+1).

由sinA=sinC'sinAsin45°

2

9.1.2余弦定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明1.借助余弦定理的推導(dǎo)，提升邏輯推理的

余弦定理的方法.（重點）素養(yǎng).

2.會運用余弦定理解決簡單的三角形度2.通過余弦定理的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)

量和邊角轉(zhuǎn)化問題.（重點、難點）學(xué)運算的素養(yǎng).

情境趣味導(dǎo)學(xué)情境導(dǎo)學(xué)。探新知預(yù)習(xí)素養(yǎng)感知

畬情境引入?助學(xué)助教

如圖，某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道的長度.工程技

術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肁,量出A到山腳B,C的距離，其中43=小

km,AC=1km,再利用經(jīng)緯儀測出A對山腳8C（即線段8。的張角N8AC=150°.

思考：根據(jù)上述條件你能求出山腳3c的長度嗎？

.新知初探「

1.余弦定理

⑴三角形任何一邊的平方,等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余

弦的積的2倍.

即/=1J—2Z?CCOSA,/?2=,『+。2—24CC0SB,

/=廿+/一2a/?cosC.

(2)應(yīng)用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題.

①已知三邊，求三角.

②已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角.

2.余弦定理的推論

一+。2—一

cos4一后-:

H+d-/

COSB=lac

/+.2一02

COSC=cI.

［拓展］

b2+c2-a2

(1)若^2+c2＞a2,根據(jù)余弦定理的推論可知cosA=-痂一＞0,則角A為

銳角.同理可得，若/+后＞。2,則角民角。為銳角.所以當(dāng)從十

C2＞?2,/+02＞/，且/+戶＞02時，△ABC是銳角三角形.

/+(72—

(2)若從+,2＜。2,根據(jù)余弦定理的推論可知cosA=—荻一＜0,貝(△ABC

是鈍角三角形且角A是鈍角.同理可得，若/+。2＜層，則△ABC是鈍角三角形

且角B是鈍角；若則AABC是鈍角三角形且角。是鈍角.

/?2+C2一

(3)若〃+。2=。2,根據(jù)余弦定理的推論可知cosA=一醞一=0,

是直角三角形且角A為直角.同理可得，若°2+,2=/,則△ABC是直角三角形

且角3是直角；若〃+層=,2,則△ABC是直角三角形且角C是直角.

從這個意義上講，余弦定理是勾股定理的推廣.

|~1?初試身品bi

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

⑴在三角形中，已知兩邊及一邊的對角，可用正弦定理解三角形，但不能用

余弦定理去解.

⑵余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系，因此，它適用于任何三角形.

()

(3)利用余弦定理，可解決己知三角形三邊求角問題.()

(4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一個特例.()

［提示］(1)X.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知兩邊及一邊的對

角，既可以用正弦定理求解，也可以用余弦定理求解.

(2)J.余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系，它適合于任何三角形.

(3)J.結(jié)合余弦定理公式及三角函數(shù)知識可知正確.

(4)余弦定理可以看作勾股定理的推廣.

［答案］(1)X⑵J(3)V(4)7

2.在△ABC中，sinA：sinS：sinC=3：2：3,則cosC的值為()

A.1B.-3C.1D.一(

A［根據(jù)正弦定理，a',bc=sinAsinBsinC=3：2：3,設(shè)a=3攵，

b=2k,c=3k(k>0),

,9然+4M一9-J

則cosc=2X37X21

3.在△ABC”i,a=3yf^,b=2'\［^,cosC=§,則c'=.

30-476［由余弦定理可得。2=(3也產(chǎn)+(2小)2—2X3也義2小X；=18+12

-4^6=30-4^6.］

4.在△ABC中，若/=/+次+。2,則A=.

120°［'：cr=b2+bc+c2,

.".b2-{-c2-a2=-bc,

.—+(72-—be1

；.cosA=-荻—=%}=一］，

又?.?0°VAV180。，

/M=120o.］

疑難問題解惑合作探究。釋疑難學(xué)科素希形成

N類型1/已知兩邊及一角解三角形

【例1】(1)在△A3C中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=3,b

=2,cos(A+B)=§,則c=.

⑵已知△ABC,根據(jù)下列條件解三角形：

a=y13,b=y/2,B=45°.

⑴V萬[由三角形內(nèi)角和定理可知cosC=-cos(A+B)=一；,又由余弦定理

ci=a1+b2-2abcosC=9+4-2X3X2X^-|j=17,所以。=拒.］

(2)［解］由余弦定理知Z?2=?2+c2-2accosB.

/.2=34-c2—2^3義坐c.

即?-V6c+1=0,解得c=駕盅或,=七盅

Ii

乖；娟時,由余弦定理，得cosA=

當(dāng)C

2bc廣巡+啦2,

2XA/2X

2

V0o<A<180°,=60°,.,.C=75°.

\[f)--x/2層+。2-42

當(dāng)d時，由余弦定理，得cosA=―赤一

2

1

2-

V0o<A<180°,.,.A=120°,C=15°.

故c=3-2，A=60°,C=75°或c=X-?、一,A=120°,C=15°.

廠........規(guī)律C方法..............

已知兩邊及一角解三角形的解題思路

⑴若已知角是兩邊的夾角.則直接運用余弦定理求出另外一邊，求其余角時

有兩種方法:

方法一，繼續(xù)選用余弦定理求解，此方法計算量稍大但是不會出現(xiàn)多解.

方法二，用正弦定理求解，此方法計算量小，但是會出現(xiàn)多解的情況，計算

時要多加小心，利用“大邊對大角，小邊對小角”來排除多余解.

(2)若已知角是其中一邊的對角，有兩種方法，一種方法是利用正弦定理先求

角(要注意角的取舍，避免產(chǎn)生多解)，再求邊；另一種方法是用余弦定理列出關(guān)于

另一邊的一元二次方程求解(應(yīng)注意對方程解的取舍).

［跟進訓(xùn)練］

1.在aABC中，已知a=5,b=3,。的余弦值是方程5/+7x—6=0的根，

求第三邊長c.

［解］5X2+7X-6=0可化為(5X—3)(X+2)=0.

3

%2=—2(舍去).

3

COSC=y

根據(jù)余弦定理，

3

c2=?2+/?2-2a/?cosC=52+32-2X5X3X^=16.

，c=4,即第三邊長c為4.

必型2已知三邊或三邊關(guān)系解三角形

【例2】(1)已知△A3C的三邊長為a=3,b=4,c=V37,求△ABC的最大

內(nèi)角.

(2)在△ABC中，已知,4-252+//2+/+42/?2+/?4=0,求角

［解］(l)'.'c>?,c>b,最大.

由余弦定理，得。2=/+/-2。反osC,

即37=9+16-24cosC,

.C1

..cosC=-z,

V0°<C<180°,

C=120°.

.'.△ABC的最大內(nèi)能為120°.

422

(2)Vc-2(/4-Z>)C+/+湍+—=0,

[c2—(<22+/?2)]2—aV=O,

則c1—((^+b2)=±ab,

廿+廿一J1

故cosC=2^t>=±2'

又,/O0<C<180°,C=60°或C=120°.

廠......規(guī)法.....................

已知三角形的三邊解三角形的方法

(1)先利用余弦定理求出一個角的余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理

或由求得的第一個角，利用正弦定理求出第二個角；最后利用三角形的內(nèi)角和定

理求出第三個角.

(2)根據(jù)余弦定理的推論可知，只要將三角形三邊求出，或求出三邊長度的比

值，或求出類似于/+/_,2="的關(guān)系式，就可以求出三個角的余弦值，進而

求出三個角的大小.

[跟進訓(xùn)練]

2.在△ABC中，已知(a+0+c)S+c—a)=3兒，則角A等于()

A.30°B.60°C.120°D.150°

B[\'(b+c')2-a1=b2+(r+2bc-a2=3bc,

.—a'/?。，

/+J—/]

AcosA=---而---=2，又角A為ZxABC的內(nèi)角，

.?*=60。.]

正、余弦定理的綜合應(yīng)

|逮型37

用

「探究問題]

1.在△ABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,若/=62+,2,則sin2/l=

si/B+sin2c成立嗎？反之，說法正確嗎？為什么？

[提示]設(shè)△ABC的外接圓半徑為R.

由正弦定理的變形，將a=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sinC,代入/=/+

d可得siYAMsiTB+sin2c反之，將sinA=&,sin8=4,sin。=木代入sin2A

Z/\Zi\IK

=sin2B+sin2C可得/=/+/因此，這兩種說法均正確.

2.在△ABC中，若c2=a2+Z?2,則C=］成立嗎？反之，若C=^,則c2=a2

+從成立嗎？為什么？

［提示］因為c2=a2+b2,所以a2+b2—c2=O,由余弦定理的變形cosC=

22

/+/-c°,,兀一、“兀，?4?+/-c

---Y~i---=0,即cosC=0,所以C=5,反之.右C=5,則cosC=0,即---------

=0,所以廿+/一02=0,即。2=/+02.

【例3】在△ABC中，若(a-ccosB)sinB=3—ccosA)sinA,判斷△ABC

的形狀.

［思路探究］角邊轉(zhuǎn)化.

［解］法一：V(a—c-cosB)sinB=(i>—ccos/l)-sinA,

由正、余弦定理可得：

(d+c2一戶|(

"一。2ac亡=也一。2bc卜，

整理得：(/+/—&)伊=(廿+/—。2%2,

即(/—/)(/+82一。2)=0,

.,.a2+h2—c2=0或a^=h2.

.,.a2+b2=c1或a=b.

故△ABC為直角三角形或等腰三角形.

法二：根據(jù)正弦定理，原等式可化為：

(sinA-sinCeosB)sinB=(sinB-sinCeosA)sinA,

即sinCeosBsin3=sinCeosAsinA.

sinCWO,Asin8cos8=sinAcosA,

/.sin28=sin2A.

：.2B=2A或23+2A=TT,

TT

即A=B或A+B=2.

故△ABC是等腰三角形或直角三角形.

廠??規(guī)律c方法.......一

正、余弦定理判斷三角形形狀

(1)法一是用余弦定理將等式轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系式，法二是借助正弦定理，

將已知等式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式.這兩種方法是判斷三角形形狀的常用手

段.

(2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理;

反之，若遇到的式子含角的正弦或是邊的一次式，則大多用正弦定理；若是以上

特征不明顯，則要考慮兩個定理都有可能用.

［跟進訓(xùn)練］

3.已知在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且滿足(sinA

+sinB)(a-b)=(sinC-sinB)c.

⑴求A的值；

(2)若。=6十小，cos3=3,求a的值.

［解］(1)因為(sinA+sinB)(a—b)=(sinC-sinB)c,

所以根據(jù)正弦定理得(a+?(a—Z?)=(c—A)c,即h2+c~—a2=bc.

在AABC中，由余弦定理得cosA=―痂一，

將〃+<?—。2=兒.代入上式，

171

得cosA=］,因為A￡(0,兀)，所以A=?

.____、后

(2)由86(0,7T),cos3-得sinB=qi-cos2B=￥，

所以sinC=sin(A+B)

=sinAcos5+cosAsinB

A/31A/63+班

=2*3+野3=6

V2+V3^3

由正弦定理得a=5畝不inA=-3+V6~X2-1

6

課堂知識夯實課堂小結(jié)。提素養(yǎng)雙基盲點掃除

匚必備素養(yǎng)」

知識：

1.余弦定理.

2.余弦定理的推論.

方法：

解三角形時對題目條件進行變形的常有途徑：

用正、余弦定理進行邊、角轉(zhuǎn)換.若將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦的式子，常

用正弦定理進行變形求解；若將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，常結(jié)合余弦定理解題.

小學(xué)以致用

1.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角之和為（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

^2_1_g240?

B[設(shè)中間角為角8,由余弦定理，得cosB=所以8=