平面任意力系的平衡條件和平衡方程

理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程一、平面隨意力系平衡的必要和充分條件二、關(guān)于平面隨意力系的例題三、平面隨意力系平衡方程的其他形式四、平面平行力系2023/2/201理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程一、平面隨意力系平衡的必要和充分條件2023/2/202理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程1．平面隨意力系的充分條件現(xiàn)在探討靜力學(xué)中最重要的情形，即平面隨意力系的主矢和主矩都等于零的情形

（3-6）2023/2/203理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程明顯，主矢等于零，表明作用于簡化中心O的匯交力系為平衡力系；主矩等于零，表明附加力偶系也是平衡力系，所以原力系必為平衡力系。因此，式（3-6）為平面隨意力系的充分條件。2023/2/204理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程2．平面隨意力系平衡的必要條件由上一節(jié)分析結(jié)果可見：若主矢和主矩有一個不等于零，則力系應(yīng)簡化為合力或合力偶；若主矢與主矩都不等于零時，可進一步簡化為一個合力。上述狀況下力系都不能平衡，只有當主矢和主矩都等于零時，力系才能平衡，因此，式（3-6）又是平面隨意力系平衡的必要條件。2023/2/205理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程3．平面隨意力系平衡的必要和充分條件于是，平面隨意力系平衡的必要和充分條件是：力系的主矢和對于任一點的主矩都等于零。這些平衡條件可用解析式表示。2023/2/206理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程將式（3-2）和（3-3）代入式（3-6），可得（3-7）2023/2/207理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程結(jié)論:平面隨意力系平衡的解析條件是：全部各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于隨意一點的矩的代數(shù)和也等于零。式（3-7）稱為平面隨意力系的平衡方程（為便于書寫，下標i可略去）。2023/2/208理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程二、關(guān)于平面隨意力系的例題2023/2/209理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程例3-2起重機P1=10kN，可繞鉛直軸AB轉(zhuǎn)動；起重機的掛鉤上掛一重為P2=40kN的重物，如圖3-6所示。起重機的重心C到轉(zhuǎn)動軸的距離為1.5m，其他尺寸如圖所示。求在止推軸承A和軸承B處的約束力。2023/2/2010理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程圖3-62023/2/2011理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程解：（1）以起重機為探討對象以起重機為探討對象，它所受的主動力有P1和P2。由于對稱性，約束力和主動力都位于同一平面內(nèi)。止推軸承A處有兩個約束力FAx，F(xiàn)Ay，軸承B處只有一個與轉(zhuǎn)動軸垂直的約束力FB，約束力方向如圖3-6所示。2023/2/2012理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程（2）列平衡方程取坐標系如圖3-6所示，列平面隨意力系的平衡方程，即2023/2/2013理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程（3）求解方程求解以上方程，得FB為負值，說明它的方向與假設(shè)的方向相反，即應(yīng)指向左。2023/2/2014理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程例3-3

圖3-7所示的水平梁AB，A端為固定鉸鏈支座，B端為一滾動支座。梁的長為4a，梁重P，作用在梁的中點C。在梁的AC段上受均布載荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M=Pa。試求A和B處的支座約束力。2023/2/2015理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程圖3-72023/2/2016理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程解：（1）選梁AB為探討對象梁AB所受的主動力有：均布載荷q，重力P和矩為M的力偶。梁AB所受的約束力有：鉸鏈A的兩個分力Fax和FAy，滾動支座B處鉛直向上的約束力FB。2023/2/2017理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程（2）列平衡方程取坐標系如圖3-7所示，列出平衡方程：2023/2/2018理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程（3）解方程解上述方程，得2023/2/2019理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程例3-4自重為P=100kN的T字型剛架ABD，置于鉛垂面內(nèi)，載荷如圖3-8a所示。其中M=20kN·m，F(xiàn)=400kN，q=20kN/m，l=1m。試求固定端A的約束力。2023/2/2020理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程圖3-8a2023/2/2021理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程解：（1）取T字形鋼架ABD為探討對象鋼架ABD上除主動力外，還受有固定端A處的約束力FAx，F(xiàn)ay和約束力偶MA。線性分布載荷可視為一組平行力系，將其簡化為一個集中力F1，其大小為

2023/2/2022理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程

其作用線可利用合力矩定理確定：2023/2/2023理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程式中，h是點A到集中力F1的距離，由上式求得h=l，即集中力作用于三角形分布載荷的幾何中心。剛架受力圖如圖3-8b所示。2023/2/2024理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程圖3-8b2023/2/2025理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程（2）按圖示坐標列平衡方程2023/2/2026理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程（3）解方程解方程，求得負號說明圖中所設(shè)方向與實際狀況相反，即MA為順時針轉(zhuǎn)向。2023/2/2027理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程解題技巧：（1）從上述例題可見，選取適當?shù)淖鴺溯S和力矩中心，可以削減每個平衡方程中的未知數(shù)的數(shù)目。（2）在平面隨意力系情形下，矩心應(yīng)取在多個未知力的交點上，而坐標軸應(yīng)當與盡可能多的未知力相垂直。2023/2/2028理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程三、平面隨意力系平衡方程的其他形式2023/2/2029理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程在例3-3中，若以方程取代方程可以不解聯(lián)立方程干脆求得Fay值。因此在計算某些問題時，接受力矩方程往往比投影方程簡便。下面介紹平面隨意力系平衡方程的其他兩種形式。2023/2/2030理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程1．二矩式平衡方程（1）三個平衡方程中有兩個力矩方程和一個投影方程，即（3-8）2023/2/2031理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程其中x軸不垂直于A，B兩點的連線。（2）為什么上述形式的平衡方程也能滿足力系平衡的必要和充分條件呢？a．這是因為，假如力系對點A的主矩等于零，則這個力系不行能簡化為一個力偶；但可能有兩種情形：這個力系或者是簡化為經(jīng)過點A的一個力，或者平衡。2023/2/2032理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程b．假如力系對另一點B的主矩也同時為零，則這個力系或一合力沿A，B兩點的連線，或者平衡（圖3-9）。c．假如再加上，那么力系如有合力，則此合力必與x軸垂直。2023/2/2033理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程圖3-92023/2/2034理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程式（3-8）的附加條件（x軸不得垂直于連線AB）完全解除了力系簡化為一個合力的可能性，故所探討的力系必為平衡力系。2023/2/2035理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程2．三矩式平衡方程（1）同理，也可寫出三個力矩式的平衡方程，即，，

（3-9）其中A，B，C三點不得共線。2023/2/2036理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程（2）為什么必需有“A，B，C三點不得共線”這個附加條件？同學(xué)們可自行證明。2023/2/2037理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程3．依據(jù)具體條件選擇三組平衡方程（1）上述三組方程（3-7）、（3-8）、（3-9），原委選用哪一組方程，須依據(jù)具體條件確定。（2）對于受平面隨意力系作用的單個剛體的平衡問題，只可以寫出三個獨立的平衡方程，求解三個未知量。2023/2/2038理論力學(xué)3-2平面隨意力系的平衡條件和平衡方程（3）任何第四個方程只是前三個方程的線性組合，因而不是獨立的。我們可以利用這個方程來校核