2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)人教A版必修一單元測試第二章一元二次函數(shù)方程和不等式（A基礎(chǔ)解析版）

2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)人教A版2019必修一單元卷

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式基硼提升潮試

本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類

型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上，將條形碼橫貼在答題卡右上角”條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用28鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項

的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不

能答在試卷上，

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以

上要求作答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一井交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知則下列大小關(guān)系正確的是()

A.ab<\<crhB.\<ah<crh

C.ab<cfb<1D.a2b<ab<\

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合不等式的性質(zhì)以及差比較法確定正確答案.

【詳解】

“為正數(shù)，6為負(fù)數(shù)，所以a2b<0,\-a>0,

ab-crb=ab(\-a)<Q,ab<crb,

所以“b<a2b<1.

故選：C

2.不等式(x+l)(x+3)<0的解集是()

A.RB.0C.{xl-3<x<-l}D.{xlx<-3,或x>-l}

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)一元二次不等式的解法計算可得；

【詳解】

解：由(x+l)(x+3)<0,解得-3<x<-l,即不等式的解集為{乂-3<x<-l}；

故選：c

y滿足X+'=一2,則1-，的最小值為（）

3.負(fù)實數(shù)x,

y

A.0B.—1C.—\/2D.—>/3

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意有-2,再代入X-；根據(jù)基本不等式求解最小值即可

【詳解】

根據(jù)題意有工=-丫-2,故=2=("!2?2卜y)?—2=0,當(dāng)且僅當(dāng)y=-l,x=-l

yy

時取等號.

故選：A

4

4.已知a>1,則。'1-------的最小值是（)

A.5B.6C.30D.2近

【答案】A

【解析】

【分析】

,44

山于a>1,所以a—1>0,貝!]4■1-------=(a-1)H--------F1,然后利用基本不等式可求出其最小值

a—1a—i

【詳解】

由于a>l,所以“-1>0

44I4-

所以a+——=a-l+——+l>2l(a-l)---------+1=5,

a-la-\Y(tz-l)

4

當(dāng)日.僅當(dāng)"1=—卬〃=3時取等'，；.

a-\

故選：A.

5.設(shè)x<a<0,則下列不等式一定成立的是（）

A.x2<ax<a2B.x2>ax>a2C.x2<a2<axD.x2>a2>ax

【答案】B

【解析】

【分析】

由不等式的運(yùn)算性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】

,—cX>ax>02

由題意，-X>-Q>O=<=x2>ax>a-.

ax>a>0

故選：B.

6.已知正實數(shù)a,〃滿足a+J=2,則2必+，的最小值是()

ba

A.—B.3C.D.2>/24-1

【答案】A

【解析】

【分析】

I1h

由已知得，。=2-：代入得2"+上=2(22—1)+令2b—l=t,根據(jù)基本不等式可求得答案.

ba2b—\

【詳解】

解：因為。+：=2,所以4=2—：>0,所以0</?<2,

bb

所以2M+L2(2H+/7=2(2bT)+K3，

令2Z?-1=￡,則b=且一l<f<3,

1----i132

所以2-L2/+2=2，+Lk2、Q+L9,當(dāng)且僅當(dāng)2"五，即=于b=y=*,取等號,

at2t2v2/22

所以2必+1的最小值是

a2

故選：A.

7.已知xeR,貝ijx±l且y24是x+yN5且孫24成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

利用充分不必要條件的定義和不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷可得答案.

【詳解】

因為x21且丁24,所以x+y?5且沖24；

取x=0.5,y=16,則x+y25且個24,但不滿足x21,所以前者是后者的充分不必要條件.

故選：A.

8.已知函數(shù)/(x)=ar+2,若存在兩相異實數(shù)九”使f(m)=f(")=c,且a+4〃+c=0,則的最小

X

值為()

A.—B.3C.72D.73

22

【答案】B

【解析】

【分析】

由題設(shè)可得or?-”+6=0(XH0)，乂/3)=/(〃)=c即機(jī)〃為方程兩個不等的實根，即有

m+n=—,mn=—,結(jié)合|加-”|=J(加+〃)2-4m〃、a+Ah+c=O^\tn-n\=J16-(—)2+4-+1,即可求其

aa\aa

最小值.

【詳解】

由題意知：當(dāng)/。)=?+2=。有or2-cr+Z?=0(x^0),

x

?.?f(m)=/(〃)=c知：機(jī)，〃是o?一c%+〃=0(xw0,aw0/00)兩個不等的實根.

m+n=—,mn=—,而|—〃|=y](m+n)2—4mn=JC?

\*a+4b+c=0,即c=-4/?—a,

...116b2+4"+/Ib2~~Tb~~人弋J

??|/n-w|=-------------------=.16-(—)+4—Fl?令f=一,

Va2\aaa

則\m-n\=716/2+4r+l=^4(2/+^-)2+1,

當(dāng)r=J時，1〃一川的最小值為史.

82

故選：B

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：由已知條件將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的兩個不同實根為機(jī)”，結(jié)合韋達(dá)定理以及

\m—n\-yl(m+n)2—4mn)應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對

的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.若一1<"6<0,則()

A.a2+b2>2abB.—<—C.a+b>2>fabD.a+->b+\-

abab

【答案】AD

【解析】

【分析】

應(yīng)用作差法判斷B、D,根據(jù)重要不等式判斷A,由不等式性質(zhì)判斷C.

【詳解】

A：山.重：要不等式知：a2+b2>2ab>而一1<a<6<0,故a?+/>2ab,正確；

B：由一l<a<Z><0,則=生;>0,故錯誤;

ababab

C：山一IvtzvbvO,^\a+b<0<2y[ah,錯誤；

—/1、〃1、j11jb-ci/ab八4■心171.-

D：(a+—)-(/?+—)=Q—〃+-----a-b-\-----=(a-h)(--------)>0,故Q+—>h+一,止確.

abahahabab

故選：AD

10.十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“二”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈

利奧特首次使用和“〉”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若。>0,

b>0,則下面結(jié)論正確的有()

149

A.若一+—=4,則。+

ab4

Viz2+b2<五

B.

a+b2

C.若a+6=2,則必有最大值1

D.若而+k=2,則a+匕24

【答案】AC

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式及其推理分別判斷各選項.

【詳解】

因為a>0,b>0,

_14,,,1,b4aA1fcJb4al9、…，…。4?14“

若一+工=4,則na+5=z(a+b)|一+工[5+―+HRi5+2小一下卜彳，當(dāng)且僅當(dāng)一二丁且n一+1=4,a即n

ab4\abjabJ\ab)4abab

33

a=-,b=$時取等號，A正確；

因為即2與(a+b),當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號,

所以“『+萬巫,B錯誤；

a+b2

若a+6=2,則而｛管J=],當(dāng)且僅當(dāng)。=人=1時取等號，C正確；

若22,則叫>>。，解得。<b<a，所以一等0,D錯誤.

故選：AC.

11.如圖，二次函數(shù)〉=渥+法+。(*0)的圖像與*軸交于AB兩點，與)'軸交于C點，且對稱軸為x=l,

點B坐標(biāo)為(-1,0),則下面結(jié)論中正確的是()

A.2a+b=0B.4a-2b+c<0

C.b2-4ac>0D.當(dāng)時，x<—l或x>4

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個小題的結(jié)論是否成立，即可求出答案.

【詳解】

因為二次函數(shù)『=d+“r+c(aH0)的圖象的對稱軸為x=l,所以X=-±=l得2?+b=0,故A正確：

2a

當(dāng)x=-2時，y=4a-2b+c<0,故B正確；

該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，則廿一4〃>0，故C正確；

因為二次函數(shù)尸一+加+4"0)的圖象的對稱軸為片1,點B坐標(biāo)為(-1,0),所以點A的坐標(biāo)為(3,0),所

以當(dāng))，V0時，x<_l或X>3,故D錯誤.

故選：ABC.

12.已知x>0,yX),且x+2產(chǎn)3,則下列正確的是()

A.嚏+1的最小值為3B.4+后的最大值為6

9

C.孫的最大值為三D.2X+I+4V>8

O

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式求解判斷.

【詳解】

因為x>O,y>0,x+2y=3,

-+-=-(x+2y)(l+-)=-(5+—+^)>-(5+2P^)=3,當(dāng)且僅當(dāng)生="，即x=y=l時等號成

xy3xy3yx3yyxyx

立，A正確；

山得(五+五￡)2K2(x+2y)=6,所以66，B錯；

3=x+2”2歷，xy<l，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=:時，等號成立，C正確；

2V+I+4「=2V+I+22y>2\l2x+'-22V=2后時=8，當(dāng)且僅當(dāng)2向=22>'>即x=1,y=1時等號成立，D正確.

故選：ACD.

三.填空題本題共4小題，每小題5分，共20分

13.若關(guān)于x的方程義當(dāng)=-1的解是正數(shù)，則。的取值范圍是____.

x-2

【答案】"2且"7

【解析】

【分析】

直接求解分式方程，然后由解為正數(shù)和分母不為零可求出。的取值范圍

【詳解】

2x+a=-1解得x=?

方程

x—2

依題意得寧>0且多工2,

解得"2且”-4,

故答案為：〃<2且ax-4

14.若不等式丘2+2丘+2<0的解集為空集，則實數(shù)4的取值范圍是.

【答案】伙I0MU2}

【解析】

【分析】

分A=0和%>0兩種情況討論，當(dāng)k>0時需滿足△?(),即可得到不等式，解得即可；

【詳解】

解：當(dāng)4=0時，2<0不等式無解，滿足題意；

2

當(dāng)女>0時.，A=4A:-8A：<0.解得0<%42；

綜上，實數(shù)”的取值范圍是k1。4442}.

故答案為：伙I04AW2}

15.已知正實數(shù)a,6滿足"+a+6=3,則加+6的最小值為.

【答案】4夜-3

【解析】

【分析】

化簡得(。+1)e+1)=4,加+/?=2(a+l)+(b+l)-3,再將a+1力+1看成整體，利用基本不等式求解最小

值即可

【詳解】

由a6+a+6=3有(a+l)(0+l)=4,則2a+b=2(a+l)+(b+l)—322j2(a+l>p+l)—3=40—3,當(dāng)且僅

當(dāng)2(〃+1)=0+1),即〃=&一1，6=2垃-1時取等號.

故答案為：4夜-3

16.已知函數(shù)/(x)=f,g(x)=2ak—l|,a為常數(shù).若對于任意為，x2G[0,2],且都有

/(x,)-/(x2)<g(x,)-^(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】［0,1］##{?|0<?<1)

【解析】

【分析】

可根據(jù)已知條件，構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)-g(x),通過分類討論得到尸(x)的解析式，然后利用二次函數(shù)的對

稱軸確定其單調(diào)性，列式求解即可.

【詳解】

對于任意打,X20O,2J,且丁VX2,都有f(X)-/(X2)<g(%)—g(%),即/?)-g(%)Vf(X2)-g(X2)，令

F(x)=/(x)-g(x)=x?-2dx-1|,即F(X|)〈F(W)只需在［0，2］上單調(diào)遞增即可，

當(dāng)x=l時，F(xiàn)(x)=l,函數(shù)圖象恒過(1,1)；

當(dāng)x>l時，尸(尤)=x2-lax+la；

當(dāng)時，F(xiàn)(x)=x2+2ax-2a；

要使尸(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，則當(dāng)1VX42時，尸。)=/-2以+2”的對稱軸

x=a<\,即a41；

當(dāng)04x<l時，F(xiàn)(x)=/+2ar-2a的*j稱軸x=-a40,即a40；

且l+2axl-2a41-2axi+2a,

綜上04aq

故答案為：［0,1］.

四、解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟

17.(1)若不等式5/-加+0<0的解集為{目一1<》<3},求/7+c的值.

(2)不等式在920的解集為A,求集合A.

【答案】(1)-5；(2){X|XN|或x<T}.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)二次不等式的解法即可求解；

(2)根據(jù)分式不等式的解法求解即可.

【詳解】

(1)由題意得：一1,3就是方程5/—6x+c=0的兩根，

(5+"c=0(b=10

二3-3"cW則|C=_15'.3-5；

(2)將不等式轉(zhuǎn)化為產(chǎn)一9，+："°,，x<_4或汨，

x+4/O2

4=卜W,或x<-4}.

18.(1)已知x>l,求4XH----的最小值.

x-i

(2)求關(guān)于x的不等式的解集：^2+(2?-l)x-2<0(tzeR).

【答案】(1)8；(2)a=0時，解集為(-2,+co)；。>0時，解集為［2，)；a=-g時，解集為｛x|xw-2｝；

a<-g時，解集為(-8,-2)U(：,+8)：-g<a<0時，解集為［-<?,｝］u(-2,+8).

【解析】

【分析】

(1)整理可得4x+-1=4(x-l)+—1+4,結(jié)合基本不等式分析計算；(2)不等式分類討論問題，結(jié)合

x-lX-L

本題，首先討論最高項系數(shù)的符號；其次討論兩根的大小.

【詳解】

解：(1)因為x>l,所以x-l>0,

fi/rlU4x+—=4(x-l)+—+4>2J4(X-1)--+4=8,

x—1x-\vx—1

13

當(dāng)且僅當(dāng)4(x-l)=-即x=［時等號成立，

x-l2

所以4xH----的最小值為8.

X-1

(2)0?+(2。-1口一2<0,

當(dāng)。=0時，不等式為-%-2<0,解集為(-2,+oo),

QH0時，不等式分解因式可得3=1)(工+2)<0,

當(dāng)a>0時，故［x-：)(x+2)<0,此時解集為,2,￡|.

當(dāng)a=-g時，卜x+2)<0,故此時解集為｛x|x*-2｝,

當(dāng)時，(ox-l)(x+2)<0uj'化為(x-l］(x+2)>0,X->-2,

2\a)a

解集為(?0，—2)U(/+8).

當(dāng)一g<〃<0時，(火-1)(工+2)<0可化為(工一，卜工+2)>(),

又：<一2,解集為(一8，］U(-2,+oo),

綜上所述：。=0時，解集為(-2,+00),

a>0時,解集為[-嗎，

時，解集為{WXH-2},

a<時，解集為(-<?,-2)U,+°°J,

—g<a<0時，解集為,°0,一)U(-2,-K?).

19.已知關(guān)于x的一元二次方程皿2+(2加+1卜+〃?+2=0有兩個不相等的實數(shù)根4，

(1)求機(jī)的取值范圍；

(2)若x/W=0,求方程的兩個根.

【答案】(1)機(jī)且機(jī)/0;

4

3

(2"=0,X2=~2'

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)一元二次方程的定義及方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到判別式大于0,從而到關(guān)于機(jī)的不等式,

求出機(jī)的范圍即可；

(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系可得為=二"7-4上-2，根據(jù)%=0可得關(guān)于機(jī)的方程，整理后即可解出機(jī)的值,

m

最后求出方程的根.

(1)

???關(guān)于X的一元二次方程加一+(2〃?+1)X+，〃+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

0且〃7w0,

即(2機(jī)+1)2-4x/nx(〃?+2)>0且加工0,

解得：加且相wO.

4

(2)

???關(guān)于x的一元二次方程如2+(2帆+1)%+m+2=0有兩個不相等的實數(shù)根4，X”

m+2

??%]?%>=----,

m

V%ix2=0,

m

解得：機(jī)=一2,

經(jīng)檢驗：機(jī)=-2是分式方程的解,

當(dāng)機(jī)=一2時，方程為：-2x2-3x=0,

3

解得:X|=0,x2=--i

20.冬奧會期間，冰墩墩成熱銷商品，一家冰墩墩生產(chǎn)公司為加大生產(chǎn)，計劃租地建造臨時倉庫儲存貨物,

若記倉庫到車站的距離為x(單位：km),經(jīng)過市場調(diào)查了解到：每月土地占地費(fèi)%(單位：萬元)與(x+1)

成反比，每月庫存貨物費(fèi)為(單位：萬元)與(4x+l)成正比；若在距離車站5km處建倉庫，則,與％分

別為12.5萬元和7萬元.記兩項費(fèi)用之和為。.

(1)求。關(guān)于x的解析式;

(2)這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費(fèi)用之和最小？求出最小值.

751

【答案】⑴。=77T+產(chǎn)+1)

(2)這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站6.5千米處，才能使兩項費(fèi)用之和最小，最小值為19萬元

【解析】

【分析】

(1)依題意設(shè)出含，%=右(4犬+1),然后根據(jù)已知求出人,％，然后可得;

(2)通過配湊使得積為定值，然后由基本不等式可得.

(1)

?.?每月土地占地費(fèi)%(單位：萬元)與(x+1)成反比,

二可設(shè)F

???每月庫存貨物費(fèi)力(單位：萬元)與(4x+l)成正比，

，可設(shè)必=^2(4x4-1),

又??,在距離車站5km處建倉庫時，,與乂分別為12.5萬元和7萬元，

71

.??仁=6x12.5=75,k=---=-.

24x5+13

751

?*-X=rO;2=-(4x+l)

x+l3

.751,A八

??G=y+%=--+-(4x+l).

x+13

(2)

751.i、7541、i、cl~754^_

0=%+必=--+-(z4x+l)=--+-(zx+l)-l>2--x-(x+l)-l=：19

x+l3x+l3Yx+l3

當(dāng)且僅當(dāng)7弋5=?4(X+1),即X=6.5時等號成立，

x+l3

這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站6.5「米處，才能使兩項費(fèi)用之和最小，最小值為19萬元.

21.已知函數(shù)〃x)=2x2+/nr+〃的圖象過點(0,-1),且滿足/(-1)=/⑵.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式；

（2）求函數(shù)〃x）在［a,a+2］上的最小值;

【答案】⑴〃X）=2X2-2X-1

、3

2。?+6。+3,6?W-Q,

331

⑵"(嘰n=，——,——<〃<一,

222

,1

2a"-2a-l,a>—.

【解析】

【分析】

（D根據(jù)函數(shù)〃力圖象過點（0,T）,得至再根據(jù)/（-1）=/（2）求解;

(2)由/(x)=2X?-2x-l=21x-g)>xe.[a,a+2\,分a+24；,a<^<a+2,awg求解.

(1)

解:因為函數(shù)函x)=2/+皿+〃的圖象過點(0,-1),

所以〃=一1

又―⑵，

解得機(jī)=-2,

所以/(X)=2X2_2X-1；

(2)

/(x)=2x2-2x-l=2(x-g)-1,x&[a,a+2\,

13

當(dāng)。+24萬時，即“4-/時，函數(shù)/(x)在5,a+2]上單調(diào)遞減,

所以"⑶京=f(a+2)=2(2+6〃+3,

1311

當(dāng)〃＜一＜。+2時，即一一＜。＜一時，函數(shù)/（X）在a-上單調(diào)遞減,

222L2.9

在1,a+2單調(diào)遞增，所以"（用口”=/（；）=-|；

當(dāng)“之；時，函數(shù)F（x）在［a,。+2］上單調(diào)遞增，

所以"（詡1nM=/（。）=2笳-2。-1.

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2a~+6a+3,—,