第34講向量組的線性相關(guān)性

第34線性代數(shù)59主講 大 March March第34高等數(shù)學(xué)138講（優(yōu)酷網(wǎng)線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)概高等數(shù)學(xué)138講（優(yōu)酷網(wǎng)線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)考研題評講 傳課 : @ March我在課程高等數(shù)學(xué)138我在課程高等數(shù)學(xué)138及線性代數(shù)59講受 各地大學(xué)生的歡 件 課程的 希望此課件僅用于你的學(xué)習。請尊的著作權(quán)，切勿在網(wǎng) 課件。謝謝 (聯(lián)(聯(lián)大) March4.2向量組的線性相關(guān)第34觀+請在優(yōu)酷網(wǎng)搜索我 + March第34第32講向量的線性表示第33講向量組的線性現(xiàn)在來講向量組的線性相關(guān)與線性無 March第34 March大 第34講向量組的線性相關(guān)性湛。余向量線性表示，那么我們認向量都是線性獨立的。這時，我們稱這大性 （linearlyindependent）

March第34例如，設(shè)向量組{a1,a2,a3}線性相關(guān)的一個向量a2，能由其他兩個向量線性表示a2k1a1 大則有三個不全k-1k3ka 反之，如果有三個不全為零的數(shù)k1,k2,k3，使 k1a1k2a2k3a301假設(shè)k3≠0，則a3能由其余兩個向量線性表示1NowtheformaldefinitionofNowtheformaldefinitionoflinear

k2a2

向量組線性相第34定義4（向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)零的數(shù)k1,k2,…,km，使 大k1a1k2a2kmam 大則稱向量組A是線性相關(guān)(linearlydependent)，否則稱該向量組線性無關(guān)(linearlyindependent)向量組A線性無關(guān)的充分必要條件是：若k1k2kk1a1k2a2...kmam

則必有

...km

March第34件是 大若有k1k2kak ...k 則必有k1k2km設(shè)向量組{a1,a2,…,am}線性無關(guān)， 大k1k2km是一組不全為k1a1k2a2...kmam第34注意：只有一個向a的向量{a線性相關(guān)的充分必要條件是a是零向量。 大當且僅當存k≠0 March第34定理A={a1a2am}(m≥2的充分必要條件是向 大證明（必要性設(shè)a1,a2,…,am線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,km，使得 k1a1k2a2...kmam March第34a1a2am線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,km，使得k1a1k2a2...kmam

r≠0，krar(k1a1...kr1ar1kr1ar1...a1(ka... ...kark rk 大 March

第34設(shè)有一個向量，如ar，能由其余m-1個向量 kr1ar1...k大則存在不全為k1kr-1-1kr+1km所以向量組{a1a2am線性相關(guān) March第34大定理向量組A={a1,a2,…,am}(m≥2)線性相關(guān)由其余m-1個向量線性表示大件推論向量組線性無關(guān)的件向量都是線性獨立的）。大學(xué) March第34推論兩個ab線性相關(guān)的充分必要條件是存在數(shù)k，使得a=kb或b=ka。從而兩個向量的對應(yīng)分量成比例 大例如 b2,4,6,0c{abb=2a大{a,c}線性無關(guān)，因為它們的 March第34任何含有零向量的向因為零向量可以由其余向量線性表（組合系數(shù)全為0）。川大因此，線性無關(guān)組不能含有零向量 March第34n維列A={a1a2am的向量構(gòu)成一個nxm矩陣A=(a1,a2,…,am),不全為零的數(shù)k1,k2,…,k，使得大k1a1k2a2...kmama11

a12 a1m

0 0即

21

22...km

2m

0 n1 n2 nm

第34a11 a12

a1m

00

21

22...km

2m

0 n1

n2...

anm 0 aa ...

2m 2

...

0大學(xué) n2 nm m

March

...

0

第34 ...

0

2m 2 所以k1k2

線性方程 ...

0 n nm m

...

x1 0a ...a

02m 2

的非零解

...

0 大 n2 nm m

March第34定理4(Part設(shè)有n維列向量{a1a2am}，A是向量組所構(gòu)成的nxm矩陣：A=(a1,a2,…,am)。大這組向量線性相關(guān) 大 March第34定理4(Part設(shè)有n維列向量{a1a2am}，A是向量組所構(gòu)成的nxm矩陣：A=(a1,a2,…,am)。大這組向量線性無關(guān) 大 March第34如何證明向量{a1a2am}線性無關(guān)的方法是：假設(shè)有一組數(shù)k1,k2,…,km，使得kak a 證明這組數(shù)全為零k1k2...km

March例13維單位向量

第34 e2(0,1, e3(0,0,1)線性無關(guān)，且任何a=(xyz都可以大 設(shè)有一組數(shù)k1,k2,k3，使 大k1e1k2e2k3e3即1,2,,得(k1k2k3000k1k2k3所以向{e1e2e3線性

March例1證明3維單位

第34 e3(0,0,1)線性無關(guān)，且任何三維向量a=(x,y,z)都可以用這三個向量線性表示 大a(x,y,z)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,x,,)y(,)xeyeze川大 March一般地，n維單位向量e1(1,0,e2,en(0,0,,)

第34同濟五88頁例大線性無關(guān)，且任n維向a=(x1x2都可以用這組向量線性表示a(x,x,...,x x

March例2設(shè)有三3

第34a(a1,a2,a2)b(b1,b2,b3)c(c1,c2,c3)a1a2其混合積[abc]b1b2 大 大證明{abc}a,b,c的線性組合。 March第34a(a1,a2,a2)b(b1,b2,b3)c(c1,c2,c3)證(1)

xaybzc

a1 b1 c1 0xaybzc0 2

2

2 a b c 03 3 c1

cy0 大 2 大學(xué)

cz 0

March

3 證設(shè)xaybzc

第34欲證a1

c1x 0cy0 大

2 cz 0 3因為a1a2b1b2 c2

線性方程abc線性無關(guān)March第34設(shè)dd1d2d3)是任一3維向a1

c1x1 d1因為線

cxd方程

2 2

2 cx d 3 3 3 大有唯一解：x1=k1x2=k2x3=k3所以d可以唯一地表示abc的線性組合dk1ak2b March命 n個n維向a2(a21,a22,...,a2n大

第34 ...an(an1,an2,...,ann線性相關(guān)的充分必要

a21a22...a2n......... March命 n個n維向a2(a21,a22,...,a2n大an(an1,an2,...,ann線性無關(guān)的充分必要

第34a11a12...a21a22...a2n......... March

第341 1 1 2 2 0 a ,a ,a ,b 1

0

3 72 2 1 2 大 判斷a1a2a3的線性相關(guān)性判斷a1a2a3b的線性相關(guān)性

大March1 1 1

第34 2 0a ,a ,a 1

0

3 大 (1判斷a1a2a的線大 1 1 0

0

1 0 3 2 0 1 1

1

March第34(1a1a2a3的線性相關(guān) 1 1 0

0

1

0 大 3 2 0 1

0

線性

0

湛0

xax

xa

0

1a,a, a,a,

線性無關(guān)March第341 1 1 2 2 0 a ,a ,a ,b 1

0

3 72 2 1 2 (2判斷a1a2a3b 3

1 大 2

1 5 12

March第34(2a1a2a3b的線 2 3 1 52 22 7

12大 1

0 0 大0 1

12

12 March 第34(2a1a2a3b的線 3

1 0 大

2

12, ,

1 1

b)線性方程0 0120

有非所以a1a2a3b線性相關(guān)。第34 1 3

1

大

012 2

0 1

因為我們只進行了初等行變換，因此行

簡形的列向量之間的線

列向量之間的線性關(guān)系不變ba1a20 0

0 Youmaycheckthis0

March第34例4設(shè)向量組{a1a2a3線性無關(guān)，b1=a1+a2,b2=a2+a3,試證：向量組{b1b2b3也線性無關(guān)證 x1b1x2b2x3b3欲證 大1(1a2)x2(a2a3)x3(a31)(1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a3 March第34證 x1b1x2b2x3b31(1a2)x2(a2a3)x3(a31)(1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a3系數(shù)全為零x

x 大 xx大

March x1b1x2b2x3b3

第34系數(shù)全為零 x

其系 x1

11

x3

方程組只有零解:向量b1b2b3線性

March第34b1=a1+a2,b2=a2+a3,{b1b2b3也線性無 注意：(b,b,b)(a,a,a)1 023大23

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