北師大版選擇性必修第一冊第3章4.3第1課時空間中的角作業(yè)

4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系第1課時空間中的角必備知識基礎(chǔ)練1.(2021山東泰安肥城高二上學(xué)期期中)若兩異面直線l1與l2的一個方向向量分別是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),則直線l1與l2的夾角為()A.30° B.60° C.120° D.150°2.(2021山西呂梁賀昌中學(xué)高二上學(xué)期期中)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=A1A=2,M,N分別是BB1和B1C1的中點(diǎn),則直線AM與CN所成角的余弦值等于()A.52 B.5C.25 D.3.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,則AA1與平面AB1C1所成角的大小為()A.30° B.45°C.60° D.90°4.已知正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,則平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的平面角為()A.30° B.45° C.60° D.90°5.(多選題)如圖,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AE=BC=2,AB=AD=1,CF=87,則(A.BD⊥ECB.BF∥平面ADEC.二面角E-BD-F的平面角的余弦值為1D.直線CE與平面BDE所成角的正弦值為56.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,則異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為.?7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的平面角的余弦值為.?8.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱BC,CC1上的點(diǎn),CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.(1)證明:AF⊥平面A1ED;(2)求二面角A1-ED-F的平面角的正弦值.關(guān)鍵能力提升練9.如圖,在三棱錐C-OAB中,OA⊥OB,OC⊥平面OAB,OA=6,OB=OC=8,CE=14CB,D,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則異面直線DF與OE所成角的余弦值為(A.1010 B.6C.3030 D.10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),F為B1C1上靠近點(diǎn)B1的四等分點(diǎn),則直線AC1與平面EFD1所成角的正弦值為()A.2613 B.22613 C.211.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,E為側(cè)棱BB1上的一點(diǎn),且B1EB1B=13,則直線AE與平面A.255 B.1010 C.312.(2021山東師范大學(xué)附屬中學(xué)高二月考)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在A1B1上,且滿足A1P=λA1B1,當(dāng)直線PN與平面ABC所成的角取得最大值時,A.12 B.22 C.3213.如圖,在三棱錐P-ABC中,△ABC為等邊三角形,△PAC為等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D為AB的中點(diǎn),則異面直線AC與PD所成角的余弦值為.14.(2021福建龍巖高二上學(xué)期聯(lián)考)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=AA1,且C1D與底面A1B1C1D1所成角為60°,則直線C1D與平面CB1D1所成角的正弦值為.?15.如圖,梯形ABCD中,AB=BC=1,AD=2,∠CBA=∠BAD=90°,沿對角線AC將△ABC折起,使點(diǎn)B在平面ACD內(nèi)的投影O恰在AC上.(1)求證:AB⊥平面BCD;(2)求異面直線BC與AD所成的角;(3)求二面角B-AD-C的平面角的余弦值.學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=22,PA=2.(1)取PC的中點(diǎn)N,求證:DN∥平面PAB.(2)求直線AC與PD所成角的余弦值.(3)在線段PD上,是否存在一點(diǎn)M,使得平面MAC與平面ACD所成銳二面角的平面角為45°?如果存在,求出BM與平面MAC所成角的大小;如果不存在,請說明理由.答案：1.B由題意,兩異面直線l1與l2的一個方向向量分別是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),可得|n1|=2,|n2|=2,n1·n2=-1,設(shè)異面直線l1與l2所成的角為θ,則cosθ=|cos<n1,n2>|=|n又因?yàn)?°<θ≤90°,所以θ=60°,即直線l1與l2的夾角為60°.故選B.2.D取AC的中點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OO1∥AA1,交A1C1于點(diǎn)O1,連接OB,以O(shè)B,OC,OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A(0,-1,0),M(3,0,1),C(0,1,0),C1(0,1,2),B1(3,0,2),N32,12所以AM=(3,1,1),CN=32,-12,2,設(shè)直線AM與CN所成角為θ,則cosθ=|cos<AM,CN>|=故選D.3.A4.B5.BC以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AE所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2),F1,2,87,所以BD=(-1,1,0),EC=(1,2,-2),因?yàn)锽D·EC=1則BD與EC不垂直,故選項(xiàng)A錯誤;因?yàn)锳B=(1,0,0)為平面ADE的法向量,又因?yàn)锽F=0,2,87,則BF·AB=0,又因?yàn)橹本€BF?平面所以BF∥平面ADE,故選項(xiàng)B正確;由題意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2),設(shè)平面BDF的一個法向量為m=(a,b,c),則m令b=1,則a=1,c=-74故m=1,1,-74,設(shè)平面BDE的一個法向量為n=(x,y,z),則n令z=1,則x=y=2,故n=(2,2,1),故cos<m,n>=m·二面角E-BD-F的平面角為銳角,因此其余弦值為13故選項(xiàng)C正確;設(shè)直線CE與平面BDE所成的角為θ,則sinθ=|cos<CE,n>|=|CE故選項(xiàng)D錯誤.故選BC.6.925如圖,以D1為坐標(biāo)原點(diǎn),D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系由已知得A1(4,0,0),B(4,4,3),B1(4,4,0),C(0,4,3).∴A1B=(0,4,3),B1C∴cos<A1B,7.28.(1)證明以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)AB=1,依題意得D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4),E1,易得AF=(1,2,1),EA1=-1,-32,4,ED=-1,12,0又因?yàn)镋A1∩ED=E,所以AF⊥平面A1ED.(2)解設(shè)平面EFD的一個法向量為u=(x,y,z),則u又因?yàn)镋F=0,12,1,ED=-1,由(1)可知,AF為平面A1ED的一個法向量,于是cos<u,AF>=u·AF|u||AF|=23所以二面角A1-ED-F的平面角的正弦值為539.B10.D以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則E(1,2,0),F32,2,2,D1(0,0,2),∴EF=12,0設(shè)平面EFD1的法向量n=(x,y,z),則n·EF=0,n·D1F=0,即12x+2z=0,32x+2y=0,取x=4,得n=11.B以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,A1(2,0,3),E(2,2,2),D1(0,0,3),A(2,0,0),∴A1E=(0,2,-1),D1E=(2,2,-1),EA=(0,-設(shè)平面A1ED1的一個法向量為n=(x,y,z),則A即2y-z=0,2x∴cos<n,EA>=n·EA|設(shè)直線AE與平面A1ED1所成角大小為θ,則sinθ=|cos<n,EA>|=310所以cosθ=1-12.A如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則N12,12,∴PN=易得平面ABC的一個法向量為n=(0,0,1),設(shè)直線PN與平面ABC所成的角為θ,則sinθ=|cos<PN,n>|=|PN∴當(dāng)λ=12時,sinθ=255,此時角θ最大.13.24取AC的中點(diǎn)O,連接OP,OB因?yàn)镻A=PC,所以AC⊥OP.因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,所以O(shè)P⊥平面ABC,所以O(shè)P⊥OB.又因?yàn)锳B=BC,所以AC⊥OB.于是以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(22,0,0),C(-22,0,0),P(0,0,22),D(2,所以AC=(-42,0,0),PD=(2,6,-2設(shè)AC與PD所成角為θ,所以cosθ=|cos<AC,PD>|=故異面直線AC與PD所成角的余弦值為2414.155由題意得∠DC1D1即為C1D與底面A1B1C1D1所成的角,∴∠DC1D1=60°∵AB=C1D1=1,∴DD1=3.以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則D(0,0,0),C1(0,1,3),C(0,1,0),B1(3,1,3),D1(0,0,3),則DC1=(0,1,3),CB1=(3,0,3),CD1設(shè)平面CB1D1的一個法向量為n=(x,y,z),則n令x=1,則y=-3,z=-1,即n=(1,-3,-1),設(shè)直線C1D與平面CB1D1所成的角為θ,則sinθ=|cos<DC1,n>|=DC1·n|DC1||n|15.(1)證明在梯形ABCD中,易得AC=DC=2,又AD=2,∴AC2+DC2=AD2,∴AC⊥DC.由題意得BO⊥平面ACD,AC?平面ACD,∴BO⊥AC,又AB=CB,∴O為AC的中點(diǎn).取AD的中點(diǎn)E,連接OE,則AC⊥OE.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OE,OB所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則A22,0,0,B0,0,22,C-22,0,0,D-22,2,0,∴AB=-22∴AB·CD=0,∴AB⊥又AB⊥BC,BC∩CD=C,∴AB⊥平面BCD.(2)解由(1)可得BC=-22,0,-22,AD=∴cosθ=|cos<AD,BC>|=∴θ=60°,即異面直線BC與AD所成的角為60°.(3)解易知平面ACD的一個法向量為OB=設(shè)平面ABD的一個法向量為n=(x,y,z),則n取z=1,則x=y=1,∴n=(1,1,1).則cos<OB,n>=OB·易知二面角B-AD-C的平面角為銳角,∴余弦值為3316.(1)證明取BC的中點(diǎn)E,連接DE,交AC于點(diǎn)O,連接ON,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).∵點(diǎn)N為PC的中點(diǎn),∴N(0,0,1),∴DN=(1,0,1).設(shè)平面PAB的一個法向量為n=(x,y,z),由AP=(0,0,2),AB=(2,0,0),可得n=(0,1,0),∴DN·n=0.又DN?平面PAB,∴DN∥平面PAB.(2)解由(1)知AC=(0,2,0),PD=(-1,1,-2).設(shè)直線AC與PD所成的角為θ,則cosθ=cos<AC,PD>=(3)解存在.設(shè)M(x,y,z),且PM=λP