2022屆北京市高三下學(xué)期仿真測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022屆北京市育才學(xué)校高三下學(xué)期仿真測試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.集合尸={xeZ|OVx<3},M={xe/?|.r<9|,則Pc"=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x|O<x<3}D.{x|0MxM3}

【答案】B

【分析】本題首先可以確定集合戶與集合〃中所包含的元素，然后根據(jù)交集的相關(guān)性

質(zhì)即可得出結(jié)果.

【詳解】因為/V9,即-3MxM3,

所以M={xeR|-34x43},

因為P={xeZ|04x<3},

所以PcM={0,1,2},

故選：B.

【點睛】本題考查交集的相關(guān)性質(zhì)，交集是指兩個集合中都包含的元素所組成的集合,

考查推理能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是簡單題.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)”含對應(yīng)的點位于(

)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

z_2/_2Z(1+Q-2+2i

【詳解】=-l+i

\-i(l-z)(l+i)2

二復(fù)數(shù)2=烏對應(yīng)的點位于第二象限

\-1

故選B

點睛：復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軌復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的

事寫成最簡形式.

3.已知”=log32,ft=201,則()

C=3L

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

【答案】D

【分析】三個數(shù)分別和1比較大小，再結(jié)合單調(diào)性比較，即可得三個數(shù)的大小.

010,50,5

【詳解】a=log32<log33=l,1</?=2<2<3=c

所以

故選：D

4.在(x-a)’的展開式中，爐的系數(shù)為()

A.6B.12C.24D.48

【答案】B

【分析】由(X-女)"展開式的通項，由廠=2得出Y的系數(shù).

【詳解】(X-a)4展開式的通項為C04-[-應(yīng))'

由4一廠=2,解得r=2,則X?的系數(shù)為=6x2=12

故選：B

5.設(shè)向量Z=(coscr,sin/?),則“問=「'是”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用平面向量的模長公式、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得

出結(jié)論.

【詳解】充分性：取a=?,￡=印則2="(?2岡11與)=；，--,此時同=葭

但aw",充分性不成立；

必要性：若a=￡,貝!]a=(cosa,sin/?)=(cosa,sine),所以忖=1,必要性成立.

因此，“忖=1”是"a=4”的必要而不充分條件.

故選：B.

6.記S,,為數(shù)列的前〃項和.若％="(8-數(shù)(“=12…),則()

A.｛q｝有最大項，｛1｝有最大項B.有最大項，｛*｝有最小項

C.｛4｝有最小項，｛S,｝有最大項D.｛4)有最小項，｛S.｝有最小項

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析｛a,,｝的最大項，再分析伍,』的符號，據(jù)此

分析可得｛SJ的最大項，即可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛〃,｝,紇=〃(8-〃)=8”-/,

對于二次函數(shù)，y=-x2+8x,其開口向下，對稱軸為x=4,即當(dāng)x=4時，y=-x?+8x

取得最大值，

對于■〃｝,〃=4時,〃〃最大;

且當(dāng)L,〃<8時，an>0,當(dāng)〃=8時，an=0,當(dāng)〃>8時，?！?lt;0,

故當(dāng)〃二7或8時，S“最大，

故｛/｝有最大項，｛SJ有最大項;

故選：A.

r2xx>0

7.己知函數(shù)f(x)=''"則函數(shù)y=/(x)-泗的零點個數(shù)是

I—x,x<0n)

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】由題意可知，函數(shù)y=/(x)-少的零點個數(shù)等價于函數(shù)f(x)與函數(shù)y=/的

圖象的交點個數(shù)，作出函數(shù)/(X)與函數(shù)y=2忖的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.

【詳解】令/(x)—2忖=0,得f(x)=2忖,

則函數(shù)y=〃x)-2兇的零點個數(shù)等價于函數(shù)〃x)與函數(shù)y=/的圖象的交點個數(shù)，

2\x>0

...》=2n=。］丫，作出函數(shù),f(x)與函數(shù)丫=2兇的圖象如下圖所示：

國,

由圖象可知，兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)為2,故函數(shù)y=f(x)-2W的零點個數(shù)為2.

故選：C.

【點睛】方法點睛：判定函數(shù)/(x)的零點個數(shù)的常用方法:

(1)直接法：直接求解函數(shù)對應(yīng)方程的根，得到方程的根，即可得出結(jié)果;

（2）數(shù)形結(jié)合法：先令〃x）=0,將函數(shù)“X）的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的根，進

而轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，結(jié)合圖象，即可得出結(jié)果.

8.已知直線/：奴+勿-3=0經(jīng)過點則原點到點尸（。⑸的距離可以是（）

A.4B.2C.—D.g

22

【答案】B

【分析】分析可知，點P在圓d+（y-1『=4上，利用圓的幾何性質(zhì)可求得|OP|的取值

范圍，即可得出合適的選項.

【詳解】由題意可得僅—2）—3=0,即/+0_1>=4,即點尸在圓

x2+（^-l）2=4上，

?.-02+（0-1）2<4,所以，原點在圓Y+（y_l）2=4內(nèi)，如下圖所示：

圓d+（y-1）2=4的圓心為C（0』），半徑為r=2,

由三角不等式可得IIPC|-|OCg|OP閆PC|+|OC|,即14QH43,

所以，B選項合乎要求.

故選：B.

【點睛】結(jié)論點睛：若點M在圓C內(nèi)，尸為圓C上一點，則廠—|加4〈叫4廠+|國.

9.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，且％=ln2,a2+a3=51n2,則e"+e"2+…+e"”=（）

A.2nB.n2+2nC.2"D.2"+1-2

【答案】D

【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出｛4｝的通項公式，然后代入根據(jù)等比數(shù)列求和

公式求解即可.

【詳解】解：由題意得:

設(shè)｛4｝的公差為d

?;。2+%=5In2

/.出+%=2〃1+3d=5In2

又???at=ln2

/.J=ln2

an=q+伽一l)d=〃In2

又；e"=眇？=2,ea"=enl"2=eln2"=2"

:.e"'+efl：+…+e"”=2+2?+23+…+2”=

故選：D

10.在直角坐標系xOy中,對于點(x,y),定義變換0:將點(x,y)變換為點使得

x—tanci

二an。其中由(一衿.這樣變換°就將坐標系S'內(nèi)的曲線變換為坐標系'◎內(nèi)

的曲線.則四個函數(shù)％=2x(x>0),%=x?(x>0),為=e*(x>0),必=lnx(x>l)在坐標系x°y

內(nèi)的圖象,變換為坐標系”O(jiān)〃內(nèi)的四條曲線(如圖)依次是

A.②，③，①，④B.③，②，④，①C.②，③，④，①D.③，②，①，④

【答案】A

【分析】用x,y表示出a,h,根據(jù)反正切函數(shù)的單調(diào)性得出各自圖象的〃，匕的范圍及

大小關(guān)系，從而得出答案.

[x=tana[a=arctanx

【詳解】解：由人可得,，

[y=tanb[/?=arctany

JT

對于”=ex(x>0),顯然)，3>1,.??b=arctany3>],對應(yīng)的圖象為①;

對于(x>1),a=arctanx>arctanl=—,對應(yīng)的圖象為④；

對于y/和y2,當(dāng)0<x<2時，2x>9,arctan2x>arctaiu2.

即當(dāng)0<a<arctan2時,arctany/>arctan”，

對應(yīng)的圖象為②，)，2對應(yīng)的圖象為③.

故選A.

【點睛】本題考查了反正切函數(shù)的性質(zhì)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

二、填空題

11.已知拋物線C：》2=-2py經(jīng)過點(2,-1),則拋物線的準線方程是.

【答案】y=i

【分析】先將點代入拋物線方程求出P,然后即可得拋物線的準線方程.

【詳解】解：由題意得：

???拋物線C：*2=-2萬經(jīng)過點(2,—1)

.-.4=-2px(-l)=2p,解得p=2

準線方程為y.=i

故答案為：y=i

12.設(shè)片，鳥為雙曲線C：4-^=1(a>0)的左、右焦點，點尸為雙曲線C上一

a16

點，|「用-忸圖=4,那么雙曲線C的離心率為.

【答案】小

【分析】根據(jù)雙曲線定義知。=2,再由雙曲線參數(shù)關(guān)系求得c=2不，即可求離心率.

【詳解】由題意歸周一歸段=勿=4,則。=2,

Xa2+b2=c2?則c=2y/5>

所以雙曲線C的離心率為e=￡=石.

a

故答案為：75

13.如圖，樓長為1的正方體ABC￡)-A&GR中，P為線段AB上的動點(不含端點),

則下列結(jié)論正確的序號是.

①平面RAP，平面AAP；②44PA的取值范圍是；

③三棱錐B廠D.PC的體積為定值；④DCJRP.

【答案】①③④

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系判斷①，舉反例判斷②，利用體積公式，判斷③，利用垂直

關(guān)系的轉(zhuǎn)化判斷④.

【詳解】???。0，平面44尸，.?.平面。⑶「，平面43尸，①正確；

若尸是AB上靠近4的一個四等分點，。尸=1+哼=/，此時

1/

AP2=A4,2+A,P2-2xPxcos45=-,D.P1+AP2<AD2,此時N.PA為鈍角，

8t

②錯；

由于BP//CR,則3尸〃平面BQC，因此尸的底面是確定的，高也是定值，其

體積為定值，③正確；

而。CLOC；,D\CIIA\B,所以力GJ.AB，且DG，AA,ABnAO=A，所以QG，平

面APR,QJu平面APR,因此。G，AP,④正確.

故答案為：①③④

三、雙空題

14.己知。是△ABC的邊A8的中點，|A￡j|=3,|AC|=2,,ZCAB=-,則

ABAC=;DBDC=

、3

【答案】3---0.75

4

【分析】利用數(shù)量積的定義可得力.品，利用向量的線性表示及數(shù)量積的運算即得.

【詳解】；|4月|=3,|歷|=2,,ZCAB=1,

uimuuinuunuimi

???ABAC=\A8||AC|cosNC48=3x2x-=3,

2

又。是△ABC的邊AB的中點，

一1-------一一.一1—.

：.DB=-AB,DC=AC-AD=AC--AB,

22

：.DBDC=-AB\AC--AB\=-ABAC--AB2=-X3--X32=--.

2[2}24244

3

故答案為：3；——

4

15.已知函數(shù)f(x)=sin"-高(。＞0)在[0,句有且僅有3個零點，則函數(shù)在

[0,句上存在____個極小值點，請寫出一個符合要求的正整數(shù)。的值______.

【答案】13

TT

【分析】首先求。X-J的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，確定極小值點個數(shù)，以及根據(jù)

6

端點值，列不等式求。的范圍.

7CJT冗

,.\t=CDX--e&冗一7,

M6[_66_

JU71

由條件可知y=sinf在區(qū)間?，麗-1有3個零點，

O0_

???由函數(shù)圖象可知：有1個極小值點，兩個極大值點，

冗1319

且2兀工胸——＜3兀,解得：一＜co＜一,

666

其中滿足條件的一個正整數(shù)是3.

故答案為：1；3

四、解答題

16.在AA8C中，cosC=9,,,求。和的值.

從以下三個條件中選兩個，補充在上面的問題中使得三角形存在，并回答問題.

條件①6cosA=8；條件②csinB=2百；③/+c?=,ac.

【答案】答案見解析.

--acsinB=6a

SAABC

【分析】先由條件求出sinC的值；若選①②根據(jù),:"得出匕，再

_1k,「_5,3

3c——tz/?sinC----cib

L8AcRr228

由條件①可分析不滿足條件；由條件③可求出COS8,sin8的值，從而得出角A,若選②③

先求出。再由正弦定理，和面積公式得出答案；若選①③，先求出或再由正弦定理，和

面積公式得出答案.

【詳解】由"SC4

若選①②

=[&CsinB=6"/-&

由r-，則出而=6a，解得b=U

C_1小?八285

SADC=—absinC----cib

MC228

由兒osA=8,則cosA=：=8x（=與＞1,與cosAvl相矛盾，故滿足條件的三角形

不存在.

由③/+c?,則cosB=+'———,則sin8=Jl-cos。B

72ac77

lll4^5^

cosA=—cos（B+C）=—cosBcosC+sinBsinC=-x+x=

7147142

所以A=?7T,

若選②③

-c=----x2-^3—25/3x?—=-=—

則由條件②csinB=2?，貝IsinB4看2

3

_cb.

由正弦定理一f=—不得csinB=AsinC

sinCsinB

即2百=人、迫，則方=?

145

7旦

acsinA5義H49

由正弦定理可得已-—，所以。=------=乙六=一

sinesinAsinC5V310

14

=LcsinA」x"=4973

S^ABC

2252210

若選①③

由上可得cosA='，又由/?8SA=8,則b=16

2

6

16x——

人sinA

由正弦定理可得々=三，則。=_____2_14

sinBsinAsin34G

7

=—basinC=」xl6xl4x^^=40百

SvABC

2214

17.如圖，梯形ABC。所在的平面與等腰梯形A8EF所在的平面互相垂直,

AB//CD//EF,AB±AD,\CD\=\D^=\AF\=\FE\=2,|AB|=4.

⑴求證：〃平面8CE；

(2)求二面角C-BF-A的余弦值；

(3)線段CE上是否存在點G,使得AG_L平面BCF?請說明理由.

【答案】(1)見解析；

⑵當(dāng)；

(3)不存在，理由見解析.

(分析［(1)證明DF//CE.然后證明￡>尸〃平面BCE.

(2)在平面ABEF內(nèi)，過A作建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz.求出平面BCF的

法向量，平面A8戶的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可.

(3)解法一：求出平面ACE的法向量通過用汨*0,說明平面ACE與平面8c尸不可能垂

直.

解法二：假設(shè)線段CE上存在點G,使得AG_L平面BCF,設(shè)函=4屋，其中入團0,

H.通過AG_L平面8CF,AG〃方得方程組，判斷方程組無解，說明假設(shè)不成立.

【詳解】(1)；CD〃EF,且CE>=EF,

四邊形C。/石為平行四邊形，

DF//CE.

:DFU平面BCE,

。尸||平面3CE.

(2)在平面ABEAl內(nèi)，過A作Az_LAB.

平面ABC￡>_L平面ABEF,平面A8COA平面他所=四，

又Azu平面ABEF,AzA-AB,

Az_L平面ABCD,

：.ADLAB,ADA.Az,AzLAB.

如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-x)，z；

由題意得,A(0,0,0),8(0,4,0),C(2,2,0),E(0,3,?F(O,1,G).

/.fiC=(2,-2,。)，BF=(0,-3,石).

設(shè)平面301的法向量為萬=(x,y,z),則“*二°2x-2j=0

即，

n-BF=0-3y+Gz=0

令y=i,則x=l,z=也,."=(U,?

平面ABF的一個法向量為9=(L0,0),

_n?v石

貝!]coscm』"1；；=、-.

hll7vT|5

/.二面角C—3F—A的余弦值乎.

(3)線段CE上不存在點G,使得AG,平面8C/,理由如下：

f/n-AC=0[2百+2-=°

解法一：設(shè)平面ACE的法向量為沅=(再，加4),則八，即丁占八

[m-AE=0[3)、+>/34=0

令乂=1,則％=-1,z]=-y/3,???而=(一1,1,一百).

*/m?n￥0,

平面ACE與平面8C尸不可能垂直，

從而線段CE上不存在點G,使得AG_L平面8C尸.

解法二：線段CE上不存在點G,使得AGJ?平面BCF,理由如下：

假設(shè)線段CE上存在點G,使得AGL平面8CF,

^CG=ACE>其中&[0,1].

設(shè)GG，%，z?),則有(々一2,%一2,Z2)=(-2/U,&),

；.X2=2-2A.,y2=2+A,Z2=V3A,從而6(2-2九2+/1,&),

：.AG=(2-2A,2+A,y/3A).

：AG_L平面BCF,AG//n.

.七2—2A2+X>/3A,

?有一;—=----=—j=^，

?1173

???上述方程組無解，.?.假設(shè)不成立.

，線段CE上不存在點G,使得AG，平面BCF.

18.在某地區(qū)，某項職業(yè)的從業(yè)者共約&5萬人，其中約3.4萬人患有某種職業(yè)病.為了

解這種職業(yè)病與某項身體指標（檢測值為不超過6的正整數(shù)）間的關(guān)系，依據(jù)是否患有

職業(yè)病，使用分層抽樣的方法隨機抽取了100名從業(yè)者，記錄他們該項身體指標的檢測

6身體指標檢W

（1）求樣本中患病者的人數(shù)和圖中。，6的值；

（2）在該指標檢測值為4的樣本中隨機選取2人，求這2人中有患病者的概率；

（3）某研究機構(gòu)提出，可以選取常數(shù)Xo=〃+O.5若一名從業(yè)者該項身體指標

檢測值大于X。，則判斷其患有這種職業(yè)病；若檢測值小于X。，則判斷其未患有這種職

業(yè)病.從樣本中隨機選擇一名從業(yè)者，按照這種方式判斷其是否患有職業(yè)病.寫出使得判

斷錯誤的概率最小的X。的值及相應(yīng)的概率（只需寫出結(jié)論）.

【答案】（1）樣本患病人數(shù)為40人，a=0.05,6=0.4；

⑵”；

34

⑶X0=4.5,誤判概率為荒21.

【分析】（1）根據(jù)等比例原則求患者人數(shù)，由頻率和為I,列方程求“、b的值；

（2）分別求出樣本中指標檢測值為4的未患病者、患病者人數(shù)，應(yīng)用對立事件概率求

法求概率；

（3）判斷*0=〃+0.5且〃=1,2,3,4,5對應(yīng)的誤判率，即可得結(jié)果.

2

【詳解】（1）由題設(shè)，患病者與未患病者的比例為2:3,故患者人數(shù)為100x1=40人；

由直方圖知：0.1+0.35+0.25+0.15+0.1+a=l,可得a=0.05,

0.1+0.2+0.3+6=1,可得b=0.4.

(2)由題意，指標檢測值為4的未患病者有100x]x0.15=9人，

2

指標檢測值為4的患病者有100x『0.2=8人；

所以指標檢測值為4的樣本中隨機選取2人，這2人中有患病者的概率的概率

2

P=l-C2=325.

。34

(3)若A為未患病者，4為患病者，B,(i=123,4,5,6)為體指標檢測值為i者，

32

所以100名樣本中，〃(A)=100xg=60,〃(4)=100x^=40,

B2員京線

未患病者62115963

患病者00481216

54

當(dāng)X°=1.5時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、54,誤判率為三^

33

當(dāng)X0=2.5時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、33,誤判率為前

22

當(dāng)X。=3.5時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為4、18,誤判率為益;

21

當(dāng)X0=4.5時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為12、9,誤判率為

27

當(dāng)X()=5.5時，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為3、24,誤判率為擊;

21

綜上，當(dāng)X。=4.5時誤判概率最小為

22

以已知橢圓c：-上一點尸到兩個焦點的距離之和為4,離心

率為g.

(1)求橢圓C的方程和短軸長;

(2)己知點。(7,0),過左焦點[且與不垂直坐標軸的直線交橢圓于A,B,設(shè)直線A3

與橢圓C的另一個交點為E,連接或"求證：6。平分

【答案】⑴短軸長25

(2)證明見解析.

\a=2

【分析】(1)由橢圓定義、離心率可得,,進而求得6=6,即可得橢圓方程和短

\c=\

軸長；

(2)將問題化為證明KF,+左硒=°，令4。為"=Hx+4)聯(lián)立橢圓，應(yīng)用韋達定理、

斜率兩點式并化簡g，即可證結(jié)論.

3=4(,

\a=2l

【詳解】(1)由題意￡=1,貝Ic=1，^b2=a2-c2=3,貝后,

所以三+q=1,短軸長2百.

43

(2)要證片。平分即4月￡>=43片。=/4耳8，如下圖示，

由題意，設(shè)4。為y=Hx+4),聯(lián)立橢圓并整理得：(3+4公口2+32%2%+64--12=0,

uri、i32%264k'-12口...”,2、cmn1i1

所以彳*+4=-------,x.x=-------J3.A=144(1—4/:)>0,BP——<k<—,

AL3+4公*EF3+4&222

y,y_k{x+^),k(x+4)_k[lxx+5(X+X)+8]

而kAF,+kEF,-----A---十------E-----------A--------十-------E------------------A----E----------4-------￡---------

4+1xE+\4+1XE+]xAxE+(xA+xE)+\

128公-24160k232A2+24

又2XX+5(4+/)+8=-----7^------7-=0,

AE3+4/3+4k23+4k2

所以+Am=0，故FQ平分NBF、E,得證.

20.已知函數(shù)/(x)=oln(x+l)+x2(aeR).

(1)當(dāng)a=Y時，

①求曲線y=/(x)在點(0,〃0))處的切線方程;

②求函數(shù)的最小值；

⑵設(shè)g(x)=or-l,證明：當(dāng)a<2時，曲線與g(x)至多有一個交點.

【答案】⑴①)'=Yx,?1-41n2；

(2)證明見解析.

【分析】(1)①應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程；②根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判斷Ax)的單調(diào)性，

進而求最值；

(2)將問題化為判斷時4x)=，(x)-g(x)在(-1,楨>)上至多有一個零點,討論。

結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究Mx)的零點個數(shù)即可.

【詳解】⑴由題意/(x)=Tln(x+l)+/且x>-l,則毛(x)=2犬_C=2(￥+2)(三D,

X+lX+1

①由/(0)=-41n(0+l)+02=0,A0)=-4,故在(OJ(O))處的切線方程y=-4x；

②當(dāng);(x)>0,可得x>l,即f(x)在(1,鐘)上遞增；

當(dāng)ra)<o,可得即在(-U)上遞減;

所以/(X)的極小值也是最小值為/⑴=l-41n2.

(2)令人(x)=/(x)-g(x)=aln(x+l)+x2-如+i且x>-l,則/?、.)_+12),

X+1

當(dāng)aM()時x+l-￡>0,則xw(-l,0),“(x)<0,〃(x)遞減；xe((),+e),/z'(x)>0,/?(x)遞

增；

此時，Mx)>/i(0)=l,即網(wǎng)x)在定義域上無零點;

當(dāng)0<a<2時則<'(x)>0可得x<J或x>0,"(x)<0可得幺一1<x<0,

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