2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸題押題

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.【閱讀】如圖1,四邊形O4BC中，O4=a,OC=8,BC=6,ZAOC=ZBCO=90°,

經(jīng)過(guò)點(diǎn)。的直線/將四邊形分成兩部分，直線/與OC所成的角設(shè)為0,將四邊形0/8C

的直角/0C8沿直線/折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)。處，我們把這個(gè)操作過(guò)程記為"[6,a].

【理解】

若點(diǎn)。與點(diǎn)4重合，則這個(gè)操作過(guò)程為FZ[45°,8]；

【嘗試】

（1）若點(diǎn)。與04的中點(diǎn)重合，則這個(gè)操作過(guò)程為FZJ45°,161；

（2）若點(diǎn)。恰為的中點(diǎn)（如圖2）,求。的值；

【應(yīng)用】

經(jīng)過(guò)心[45°,操作，點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，若點(diǎn)E在四邊形。/8。的邊N8上，直線/

與相交于點(diǎn)R試畫(huà)出圖形并解決下列問(wèn)題：

①求出a的值；

②若尸為邊O/上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸E、PF,請(qǐng)直接寫(xiě)出尸￡+PE的最小值.（備注：等腰

直角三角形的三邊關(guān)系滿足1：1：夜或企：V2：2）

解：（1）點(diǎn)。與。1的中點(diǎn)重合，如圖1,

由折疊得：NCOP=NDOP=45°,NC=NODP=90°,

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：.CP=PD,

?：OP=OP,

ARtAOCP^RtAOr>PQHL),

：.OC=OD=S,

???。為04的中點(diǎn)，

OA=。=16,

則這個(gè)操作過(guò)程為砥45°,16］；

故答案為：45°,16；

(2)延長(zhǎng)MD、OA,交于點(diǎn)N,如圖2.

VZAOC=ZBCO=90°,

???N40C+N8co=180°,

:?BC〃0A,

：.ZB=ZDAN.

在△BOM和△4DN中，

2B=乙DAN

BD=AD,

、乙BDM=乙ADN

:.4BDM%AADNCASA),

：.DM=DN.

VZ0DM=Z0CM=9Q°,

???根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得0M=0N,

，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NMOZ)=NNOD

第2頁(yè)共12頁(yè)

由折疊可得NMO0=NA/OC=e,

：.ZCOA=3Q=90°,

???9=30°；

【應(yīng)用】

①過(guò)點(diǎn)8作5”，04于點(diǎn)用如圖3.

VZCOA=90°,ZCOF=45°,

.'.ZFOA=45°.

???點(diǎn)8與點(diǎn)E關(guān)于直線/對(duì)稱，

：.ZOFA=ZOFB=90°,

：.ZOAB=45°,

：.ZHBA=90°-45°=45°=/HAB,

:,BH=AH.

9：COVOA,BH.LOA,

：.CO//BH.

■:BC〃OA,

???四邊形BCOH是平行四邊形，

:?BH=C0=8,0H=CB=6,

：.OA=OH+AH=OH+BH=6+8=14.

:?a的值為14.

②過(guò)點(diǎn)8作8HJ_04于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)尸作。力的對(duì)稱點(diǎn)0,連接40、EQ,0B,如圖4,

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則有/。4。=/見(jiàn)。=45°,QA=FA,

：.ZQAF^=90Q.

在R3HA中，AB=y/BH2+AH2=8&.

在RtZ\0E4中，ZAFO=90°,ZAOf=ZOAF=45°

:.AF=OF=%=7五,

：.AQ=AF=l>/2.

在RtA0C5中，0B=VOC2+BC2=V82+62=10.

在RtAOFB中，BF=AB-AF=8a-7V2=V2.

由折疊可得EF=BF=V2,

：.AE=AF-EF=1^2-V2=672.

在RtAQ4E中，

E2

EQ2=42+4Q2=(6A/2)2+(7V2)=170.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：

當(dāng)點(diǎn)E、P、0三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF=PE+PQ最短,最小值為線段E。長(zhǎng).

J.PE+PF的最小值的是gU.

2.如圖，力8是的直徑，/8=4,點(diǎn)P是上方圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接力尸，作NR18

的平分線/C,交。。于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作8，/尸交N尸的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O.

(1)求證：C。是0。的切線；

(2)當(dāng)4P=2時(shí),四邊形/PCO是平行四邊形；

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(3)連接。尸交ZC于點(diǎn)"，連接。尸，當(dāng)為P=2或2/時(shí);△(?￡＞尸與△/OA/相似.

圖1

?.?/C是NR/5的平分線，

：.ZCAP^ZCAO,

"：OA=OC,

：.NOAC=ACAO=NCAP,

J.OC//AD,

'JAPA.CD,

：.COVCD,

是。。的切線;

(2)由(1)知，OC//AP,

如果四邊形/PCO是平行四邊形，則OC=/P,

即AP=%8=2,

故答案為2；

(3)如圖2,延長(zhǎng)。。交圓于點(diǎn)4,連接尸”,

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D

—r

\'；j

\\z,

圖2

???CD是OO的切線，

：.ZPCO+ADCP=9Q°,

：C//是直徑，

ZCPH=90°=ZCPO+ZOPH=ZPCO+ZOHP,

：.ZDPC=ZOHP=APAC,

若△CZ)P與△4OM相似，則存在/4WO=90°或/4OM=90°兩種情況，

①當(dāng)N/MO=90°時(shí)，

"：ZCAP=ZCAO,ZPMA=ZOMA=90a,AM=AM,

:.叢MAP咨&MAO(AAS),

：.PM=OM,

*.Q=OC,OMA,AC,

：.AM=MC,

...四邊形/尸CO為平行四邊形，而。

.?.四邊形"CO為菱形，

貝I」AP=AO=%8=2；

②當(dāng)//。陽(yáng)=90°時(shí)，

則△/OP為等腰直角三角形，

故/尸=何。=2或；

故答案為：2或2企.

3.如圖，在RtZXMC中，ZACB=90°,以斜邊”上的中線8為直徑作。。，與BC交

于點(diǎn)M,與N3的另一個(gè)交點(diǎn)為E,過(guò)M作垂足為M

(1)求證：是。。的切線；

(2)若。。的直徑為5,sinB=*求EQ的長(zhǎng).

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?：OC=OM,

：?/OCM=/OMC,

在RtZVfAC中，CO是斜邊45上的中線,

:?CD=%B=BD,

:./DCB=/DBC,

：,/OMC=/DBC,

：?OM〃BD,

?：MN工BD,

J.OMLMN,

TOM過(guò)O,

???MN是。。的切線；

(2)解：連接。M,CE,圖2

:CO是。。的直徑，

：.ZCED=90°,NDMC=90°,

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即￡m_8C,CELAB,

由(1)知：BD=CD=5f

???M為8C的中點(diǎn)，

3

Vsin^=1,

4

cosB=引

在中，8例=80?cos8=4,

:?BC=2BM=8,

Q9

在Rt/XCEB中，BE=BCsB=等，

：.ED=BE-BD=^32-5=g7.

4.已知NMPN的兩邊分別與。0相切于點(diǎn)/,B,。0的半徑為八

(1)如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)4B之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求//C8的度數(shù)；

(2)如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PC最大時(shí)，要使四邊形/P8C為菱形，N/P8的度

數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若PC交。。于點(diǎn)。，求第(2)問(wèn)中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)(用含，?的式子表示).

圖1

,：PA,P8為。。的切線，

：.ZPAO=ZPBO=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,

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AZAPB+ZAOB=\SO°,

VZAPB=SO0,

AZAOB=\00°,

/.ZACB=50°；

(2)如圖2,當(dāng)N4PB=60°時(shí)，四邊形ZP8C是菱形,

連接。4OB,

由(1)可知，N4OB+N4PB=180°,

VZAPB=60°,

AZAOB=120°,

AZACB=60°=NAPB,

???點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，

：.PC經(jīng)過(guò)圓心，

9：PA,尸8為O。的切線，

:.PA=PB,ZAPC=ZBPC=30°,

又?:PC=PC,

:?△APgXBPC(SAS),

：.ZACP=ZBCP=30°,AC=BC,

：.ZAPC=ZACP=30°,

:?AP=AC,

：.AP=AC=PB=BC,

???四邊形ZP8C是菱形；

(3)???。。的半徑為小

.'.OA=rfOP=2r,

：.AP=V3r,PD=r,

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VZAOP=90Q-ZAPO=60a,

二廂的長(zhǎng)度==^r,

,陰影部分的周長(zhǎng)=以+即+前=V^廿+*=（V3+1+J）r.

5.如圖，必為。。的切線，P8C為。。的割線，于點(diǎn)。，△/Z）C的外接圓與8c

的另一個(gè)交點(diǎn)為E.證明：ZBAE=NACB.

【解答】證明：連接ON,OB,OC,BD.

'：OALAP,ADI.OP,

由射影定理可得：PA2=PD'PO,AD'PDPD.…（5分）

又由切割線定理可得P^=PB?PC,

:.PB?PC=PD，PO,

；.D、B、C、。四點(diǎn)共圓，…（點(diǎn)分）

ZPDB=ZPCO=N（）BC=NODC,NPBD=ZCOD,

JAPBDs^COD,

PDBD八

:.—=—,…（15分）

CD0D

:.BD，CD=PD*OD=AN,

.BDAD

??布二CD'

又NBDA=NBDP+900=NOZ）C+90°=AADC,

:?△BDAS^ADC,

：.ZBAD=ZACD,

：.AB是△4DC的外接圓的切線,

：?NBAE=/ACB.

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6.如圖，點(diǎn)/為夕軸正半軸上一點(diǎn),48兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)/任作直線交拋物線y=#

于P,0兩點(diǎn).

（1）求證：ZABP=AABQ-,

（2）若點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,1）,且NP80=6O°,試求所有滿足條件的直線尸。的函數(shù)

解析式.

【解答】（1）證明：如圖，分別過(guò)點(diǎn)P,。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.

設(shè)點(diǎn)/的坐標(biāo)為（0,/）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,-Z）.

設(shè)直線P0的函數(shù)解析式為歹=h十八并設(shè)尸，0的坐標(biāo)分別為（xp,yp）,（x。，J0）.由

'y=kx+t

y=lx2

x2—kx—t=0,

于是%P%Q=_|t,即t=—^xPxQ.

BCy+t|%p2+t|%p2一|xp%Q|xp(xp-%Q)

PXp

——2=22-2

BDyQ+t-%Q2+t-XQ2--XpXQ-XQ(XQ-