版考研數(shù)學(xué)三歷年真題及答案2000路上的幸福哥

入學(xué)統(tǒng)一考數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)（一11

2xx2dx 4曲面x22y23z221在點(diǎn)(1,-2,2)的法線方程 x1y2z2 y

1x1 已知方程組 a2x23無解，則a 2x 3 設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立 A和B都不發(fā)生的概率為1，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)9A不發(fā)生的概率相等,則 3設(shè)f(x),g(x)是于零的可導(dǎo)函數(shù),且f(x)g(x)f(x)g(x)0,則當(dāng)ax時(shí),

f(x)g(b)f(x)g(x)

ff

f(x)g(a)f(x)g(x)

ff設(shè)S:x2y2z2a2z0,S1為S在第一卦限中的部分，則 xdS4 (B)ydS4 (C)zdS4 (D)xyzdS4S

設(shè)級(jí)數(shù)un收斂,則必收斂的級(jí)數(shù) n (A)1

u

(C)u2n1u2n (D)unun1

設(shè)n維列向量組1,2,mmn線性無關(guān)，則n維列向量組1,?m線性無關(guān)的 向量組1,2,m1m向量組1,?m可由向量組a1,? 向量組a1, am可由向量組1,?m等A=a

與矩陣B

等設(shè)二維 量X,Y服從二維正態(tài)分布,則 量XY與XY不相

EX2EX2EY2EY

(C)EX2EY2 (D)EX2EX2EY2EY1x求lim2x

sinx)

11

2解：

sinx)lim(2exexsinx)

?21 exlim(2ex1sinx)lim(2ex1sinx)214 ?44故原式1

1

1

?5 2設(shè)zf(xy,)g(),其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),

： yff g ?22

y

x x y2f12 y2 y y2f22 x2 x3f

f'

x

g

3 ?53 y2

32 32

xdyL

y

y2

,Q4x2

4x2

(4x2y2)2

x (xy00.?1x

([0,2],C取逆時(shí)針方向 ?2由格 有

xdyydx0 ?4LC4x即得xdy

xdyydx

212d ?62 4x22

4x2 S dxdy0,fx在(0,+)內(nèi)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)S

fx1fS解：由題設(shè) 得0xf(x)dydzxyf(x)dzdxSV(xf(x)f(x)xf(x)e2x)dV， ?1分其中VS圍成的有界閉區(qū)域，當(dāng)有向曲面S的法向量指向外側(cè)時(shí)，取“+”號(hào)，當(dāng)有向曲VS的法向量指向內(nèi)側(cè)時(shí)，取“－”號(hào).S 1xf(xf(xxf(xe2x x0 ? 1f(x

(1)f(x) e

(11)dx (1 ex

f

e2xe

dxC

e2x.xexdx (exC.?5

由于limf(x)lime2xCex1故必有l(wèi)im(e2 x)0即C10，從而C1

于是f(x)

?7nn 求冪級(jí)數(shù)

nn1

) [1(2n)解：因?yàn)?[3(2) 1 ?2n[3n1(2)n1](n n3[1(2)n1](n 3所以收斂半徑為3，收斂區(qū)間為(3,3) ?3 當(dāng)x3時(shí)，因 ，

1x3處發(fā)散.?43n(2)n

1=(1)n1

3n

1

()1 與 3

n1

， ?6設(shè)有一半徑為R的球體p0是此球的表面上的一個(gè)定點(diǎn),球體上任意一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到P0距離的平方成正比(比例常數(shù)k>0),求球體的中心位置.記所考慮的球體為以射線OP0x軸建立直角坐標(biāo)系，P0的坐標(biāo)為(R0,0)x2y2z2R2.設(shè)的重心位置為(x,y,z)，由對(duì)稱性，得y0,z ?2xk[(xR)2y2z2]dVx k[(xR)2y2z2 而[(xR)2y2z2]dV(x2y2z2)dV R

82

2d

rsindr

R ?4 x[(xR)2y2z2]dv2Rx2dV2R(x2y2z2dV8R6?6

故x .因此.球體的重心位置為(

0,0) ?74直角坐標(biāo)系，則球面的方程為x2y2z22Rz.設(shè)的重心位置為(x,y,z)，由對(duì)稱性，得x0,y0 ?2kz(x2y2z2)dVz k(x2y2z2(x2y2z2 42d2d2Rcosr4sindr32 ?4 z(x2y2z2

42d2d2Rcosr5sin 6 3

20

sind 3

?6故z5R.因此.球體的重心位置為(0,0,5R) ?7 fx在0,上連續(xù)，且f(x)dx0,f(xcosxdx0，試證：在0, 1,2f(1f(20x證一：F(x)

f 0x ?1F(0)0,F(0. 0 f(x)cosxdx cosxdF(x)F(x)cosx F(x)dcosx F(x)sinxdx 所以存在(0,F(sin0.如若不然，則在(0,F(xsinxF(x)sinx恒為負(fù)，均與0F(x)sinxdx .但當(dāng)(0,)時(shí)，sin0，F(xiàn)()0.由上證得F(0)F()F() (0) ?4F(1)F(2)0，即f(1)f(2)0 ?6證二：由0f(x)dx0知存在10,f(10.因若不然，則在(0,f(x)恒為正，或f(x)恒為負(fù)，均與0f(x)dx ?1若在(0,f(x0x1，則由0f(x)dx0f(x (0,1)與(1,內(nèi)異號(hào)，不妨設(shè)在(0,1f(x)0，在(1,f(x)0 0f(xcosxdx與0f(x)dx0及cosx在[0,001f(x)(cosx f(x)(cosxcos)dx f(x)(cosxcos)dx0，得 ?51 1從而推知，在(0,)內(nèi)除1外，f(x)0至少還有一個(gè)實(shí)根 故知存在1,2(0,12，使f(1)f(2)0 ?6注：證法一中的和證法二中的1也可用積分中值定理得到 00 設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A* 00，且ABA1BA13E，其中E為4階單 10030 解一：由|A*||A|n1，有|A|38，得|A|2. ?2分又(AE)BA13E，有(AE)B3A.從而A1(AE)B3E，由此得(EA1B3E，即(E

|A

)B3E，亦即(2EA*)B6E又2EA*為可逆矩陣，于是B6(2EA*)1 ?4 0

1 0 0 0 由2EA* 0，有(2EA*)1 10 0 0 16 6 60 0

0 6103 1

?6解二：由|A*||A|n1,有|A|38,得|A|2 ?2 0 0 0 0又AA*|A|E，得A|A|(A*)12(A*)12 .?3 0 可見AE為可逆矩陣，于是由(AE)BA13E，有B3(AE)1 ?4AE

1 0 0 0 0

0010000010000010

?5 3 4 4 3

2 0 0 0

0B

0 ?63 0 0 0 1 4 3 4

162成為熟練工.設(shè)第年月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為x和 xn量 ynxn1 xn xn1 xn求 與y的關(guān)系式并寫成矩陣形式： =Ayn1 n

n1 n驗(yàn)證1,2 1 12x1 2

xn1當(dāng)y1時(shí)，求 1 2

n1 5x2 y

6 5

?2 3

5(6xnyn 9x2y 2 2 10 5 xn1 5xn 5化簡得 ，即

3

A

3 ?3 x y n1 n 10 5 5

5令P(,) 1，則由|P|50，知,線性無關(guān) A

4

1,故A的特征向量，且相應(yīng)的特征值 11 因A 2，故為A的特征向量,且相應(yīng)的特征值

?4 1 2 21xn1 xn 2xn nx1 n2 AyA AyA1 ?5n1 n n1 1 2 0 0由P1AP ,有AP P1 ?6 2 2

24

1 1n1 1 1 1 1 ( 44(又P1 ，故An 5 4

5 1 ()n 5 1 1n 2 1( 14()1 8 1n

x

2 1 3(因此n1An ?8yn1 1 102 1n 3()2 p0p1，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，解：記q1p，X的概率分布為P{Xi}qi1 i ?3XEX

iqi1p(qi)p

iq

qp1q

1 ?5p i2qi1p

2

)

p

(qi) (1q)2

?7

1p ?8

2e2(x),x設(shè)某種元件的使 X的概率密度為f(x;) x

，其中0參數(shù).x1x2xn是X的一組樣本觀測(cè)值，求參數(shù)的最大似然估計(jì)值n22

(xi

xi(i1,2,,

?2nxi(i1,2,nL()0，取對(duì)數(shù)，得lnL(nln22(xidlnL(

2n0，所以L()單調(diào)增 ?4由于必須滿足xi(i1,2,,n)，因此當(dāng)取x1,x2,xn中的最小值時(shí)，L()取最大值，所以的最大似然估計(jì)值為min(x1,x2,,xn) ?6（二limarctanxx1x0ln(12x2 yy(x由方程2xyxydy|x0ln21)dx

x (xx1y2x1exy2x 設(shè)A 0，E為4階單位矩陣，且BEA1(EA)， 00. 0EB1

67 設(shè)函數(shù)f(x) a

在內(nèi),連續(xù)，且

f(x)0，則常數(shù)a,b滿 (A)a0,b (B)A0,B (C)a0,b (D)a0,b設(shè)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x)f(x)2x，且f(0)0， f(0)f(xf(0)f(x點(diǎn)（0f(0)）yf(xf(0)f(x的極值，點(diǎn)（0f(0)）yf(x

6f若

0,,則

(A) (B) (C) (D)具有特解y1ex,yxex,y33ex的3階常系數(shù)齊次線性微分方程 2

yyyyy6y11y6y

yyyyy2yy2y ln1 ，計(jì)算ft ln(1ett解：設(shè)lnxt，則xe，f(t) ?1ln(1ex f(x)dx dxln(1e ln(1e1ex ?3

ln(1e)(11ex)dx ln(1e)xln(1e)x(1ex)ln(1ex)C. ?5分注：若結(jié)論中沒有常數(shù)C1分.xoyD{xy0x1,0y1}及直線lxyt(t0)xS(t)表示正方形D位于直線l左下方部分的面積，試求0S(t)dt(xx 1t

0t解：S(t

1t22t1,1t2 ?22

t所以，當(dāng)0x1xS(t)dtx1t2dt1x3 0 當(dāng)1x2xS(t)dt1S(t)dtxS(t)dt1x3x2x1x 2

x 當(dāng)x2時(shí)，0S(t)dt0S(t)dt2S(t)dtx1 ?4 1 0xx因此

S(t)dt

6 x3x2x x

,1x2 ?5xf(x)x2ln(1xx=0處的nf(n0)(n解一： (uv)(n)u(n)v(0)C1u(n1)vC2u(n2)v

(1)k1(k及[ln(1 (1 (k為正整數(shù)) ?2 2(1)n1(n (1)n2(n (1)n3(n得 (x)

(1

(1

(1

?4f(n0)

nn(n1)(n3)!(1)n1 ?5 ?5f f(n)(0) f(x)f(0) x

x

， 2 n1 n2xln(1x)xx23

n2 x3 x51n1 23

n比較xn的系數(shù)得f(n)(0)(1)n1，所以f(n)(0)(1)n1n! ?5 (本題滿分6分)n 2S(x0|cost|dt（1）當(dāng)n為正整數(shù),且nxn1)時(shí)，證明2nS(x)2(n1)sin 0|cosx|dxS(x ?1又因?yàn)閨cosx|是以 0|cosx|dxn0|cosx|dx2n |cosx|dx2(n1) ?3因此當(dāng)nx(n1)時(shí)，有2nS(x)2(n1) ?4（2）由（1）知，當(dāng)nxn1)

S(x)2(n1 ?5(n 令x，由準(zhǔn)則得

S(x2 ?6 6水量為V，流出湖泊的水量為V.1999年底湖中A的含量為5m0 .V解：2000年初（令此時(shí)t0）開始，第t年湖泊中污染物A的總量為mm，則在時(shí)間間隔[ttdt]內(nèi)，排入湖泊中的Am0Vdtm0dt m 中A的量 dt dt，因而在此時(shí)間間隔內(nèi)湖泊中污染物A的改變 dm

0 ?0 ?3 由分離變量法解得m

Ce3.代入初始條件m 5m，得C

9m2

于是m

0(19e32

?6令mm0，得t6ln3，即至多需經(jīng)過6ln3年，污染物A的含量將至m0以內(nèi) ?7已知f(x)是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式x1yf(x在點(diǎn)6,f6處的切線方程解：由lim[f(1sinx3f(1sinxlim[8x(x0f(1)3(f10 f(10 ?1又limf(1sinx3f(1sinxlim[8x(x)

x]8 sin x0sin sin設(shè)sinxtlimf(1sinx)3f(1sinx)limf(1t)f(1)3limf(1t)f(1)4f(1) sin f(1)2?4由于f(x5f(x，所以f(6)f(1)0,f(6)f(1)2?6y2(x6)，即2xy120?7yax2a0,x0)y1x2AO和點(diǎn)Ay 1解：當(dāng)x0時(shí)，由y1x2，解得x ,y1a ?11OAy

1 ?111a2 1

V1a a2x4dx x3 x5

5 ?4 1 15(1 2 22a(1 a (1 (4aa2 (1 15(1

(a0)令dV0,并由a0得唯一駐點(diǎn)a4 ?62 32由題意知此旋轉(zhuǎn)體在a4時(shí)取最大值，其最大體積為V

?8

函數(shù)f(x)在0,上可導(dǎo)，f(0)1，且滿足等式f'(x)f(x) xf(t)dt0x1（1）fx（2）x0exf(x解：（1）由題意知(x1)f(xx1)f(xxf(t)dt00.上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得(x1)f(x)(x2)f(x) ?2.設(shè)uf(x)

du

x

uf(xu

Ce xf(0)

x e 1及f f 0，知f 1，從而 1.因此f .4x（2）證法一：x0f(x0f(x又f(0)1，所以f(x)f(0)1 ?5設(shè)(x)f(x)ex，則(0)0,(x)f(x)ex x

exx0時(shí)，(x)0，即(x)單調(diào)增加，因而(x)(0)0f(xex綜上所述，當(dāng)x0時(shí)，成立不等式exf(x) ?8x證法二：0x

(t)dtf(xf(0)f(x1f(xx x

x0t1dt.5注意到當(dāng)x0時(shí)，00t1dt0edt1 ?7因而exf(x) ?81 1 設(shè) 1 T,BT，其中T是的轉(zhuǎn)置，求解方1818

0 2B2A2xA4xB4x1 11/ 0 11解：由題設(shè)得A2 0 0,B 022 ?11 1

11/ 0 1 又A2TT(T)T2A，A48A.代入原方程，得16Ax8Ax16x，即8(A2E)x(其中E為3階單位矩陣 ?3xxxx)Tx

x 12x1x22 ，解其對(duì)應(yīng)的齊次方程組，得通解k2k為任意常數(shù))4 1

1x x2x 2

?5 0.1/ 0.k2x*xk2

0

k為任意常數(shù) ?60 a

1 1 9 112231與向量組12,20,36 1 有相同的秩，且3可由1,2,3線性表示，求ab的解法一：1和2線性無關(guān)，33122，所以向量組1,2,3線性相關(guān)，且秩 ?2 a由于向量組1,2,3與1,2,3具有相同的秩，故1,2,3線性相關(guān)，從而 21011由此解得a3b ?53可由1,2,3線性表示，從而可由1,2線性表示，所以1,23線性相關(guān) 于是 10，解之得2b100，于是得a15,b5 ?7 解法二：3可由1,2,3

2

?1 7

0 3 9b 9 9 9 61 1212b 22b-1 22b-

6 7

23b 03b2b-1 10 6 2b 0，得b5 ?4 又1和2線性無關(guān),33122,所以向量組1,2,3的秩為 ?5 10，解之得a15 ?7 （三設(shè)z x y,其中f,g均可微,

z15分) yf f f(sy,y

g()

y

ex 若四階A矩陣與B相似,A

,1,

1則行列式|

E 2341若x 設(shè) 量X的概率密度為f(x)2,若x[3,6],若k使得p{xk} ，則k的值范圍是

9391,若X 設(shè) 量X在區(qū)間[-1,2]上服從均勻分布; 量Y0,若X0,則方差 1,其他 設(shè)對(duì)任意的x,總有(x)f(x)g(x)，且lim[g(x)(x)]0，則limf (A)存在且等于 (B)存在但不等于 (C)一定不存 (D)不一定存設(shè)函數(shù)f(x)在xa處可導(dǎo),則函數(shù)|f(x)|在xa處不可導(dǎo)的充分條件

f(a)0且f'(a)f(a)0且f'(a)

f(a)0且f'(a)f(a)0且f'(a)設(shè)1,2,3AXb的三個(gè)解向量，且秩A)3T,2X1011(A)2 (B)2c1 (C)2c (D)2c561設(shè)A為n階實(shí)矩陣AT是A的轉(zhuǎn)置,則對(duì)于線性方程組(Ⅰ):AXOⅡ):ATAXO必 (Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解器顯示的溫度不低于臨界溫度t0，電爐就斷電,E表示時(shí)間“電爐斷電”，而 (A){T1 (B){T2 (C){T3 (D){T4y2ye2x0y(01y(01解：y2y0的特征方程為220由此求得特征根10,22 ?1對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為yCCe2x ?2 設(shè)非齊次方程的特解為y*Axe2x， ?3 (y*)A2Ax)e2x,(y*4A(1x)e2x.A1，y*1xe2x yy

C1(C

1x)e2x ?52y(0)1和y(0)1代入通解，求得C3,C1y31(12x)e2x x2yx2y4a2x2y

?6D

d，其中Dya a2x2a0yx圍成的區(qū)域D{(r,)| 0,0r2a4I0

x2 4a2x22a 0d0

dr ?24a2r2a4a20I

d2a2(1cos ?42 2 22a( sin2

a ) ?6

假設(shè)某企業(yè)在兩個(gè)相互分割的市場上同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場的需求函數(shù)分別是p1182Q1,p212Q2，其中p1和p2分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場的價(jià)格(單位：萬元/噸)，Q1和Q2分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場的銷售量(即需求量,單位:噸)，并且該企業(yè)生 ，其中Q表示該產(chǎn)品在該產(chǎn)品在兩個(gè)市場的銷售總量，即QQ1Q2.LRCpQpQ(2Q52Q2Q216Q10Q 11 2 4Q16 令 解得Q4,Q5 2Q10 則p110(萬元/噸),p27(萬元/噸). ?2分因駐點(diǎn)(4,5)唯一，且實(shí)際問題一定存在最大值，故最大值必存在駐點(diǎn)處達(dá)到.最大利潤為L24252164105552(萬元 ?3（2）p1p2，于是有約束條件2Q1Q26F(Q,Q,2Q2Q216Q10Q5(2QQ6，?4 F4Q1162令F2Q2100，解得Q15,Q24,2，則p1p2 ?5F2Q1Q26 ?6求函數(shù)y(x1)e 1x2xarctan 1

2e ?1x(,0(0,00y↗↘e↗由此可見，遞增區(qū)間為(,1),(0,)，遞減區(qū)間為(1,0) ?3 極小值為f(0)e2，極大值為f(1)2e4. ?4分由于alimf(x)e，b limf(x)ax2e， alimf(x)1，blimf(x)ax 可見漸近線為；yaxbe(x ?6 y2a2xb2x2 ?7I4sinnxcosxdxn0,12,，求I

n解：由I 40 0

xd(sinx)

n

(sin

n10

1 2)n1n

2有Inn1(2

?2 S(x

xn 1.?3n0n 1x2于是S(x)01tdtln|1x ?42x

(1,1)，則S(2)

2 2 2 22

n0n

ln從而

4sinnxcosxdxln(200

2) ?6八、(8分)可由1,2,3線性表出，且表示唯一不能由1,2,3線性表出解法一：設(shè)有一組數(shù)k1,k2,k3,使得k11k22k33 ?1 該方程組的系數(shù)行列式|A

a4 ?2當(dāng)a4時(shí)|A|0可由1,2,3線性表出,且表示唯一?3當(dāng)a4時(shí), 11 b 2b

3bc 若3bc 則秩(A)秩(A)，方程組無解，不能由1,2,3線性表出 ?5當(dāng)a4，且3bc1時(shí)，秩(A秩(A231,2,3線性表出，但表示不唯一 ?6解得k1tk22tb1k32b1t為任意常數(shù)因此有t1(2tb1)2(2b1)3 ?8解法二：設(shè)有一組數(shù)k1,k2,k3，使得k11k22k33. ?1分 11 abA b 1 ?2 2

c5b 當(dāng)2a0時(shí),即a4時(shí)，秩(A秩(A32當(dāng)2a0，即a42A A 1 13bc 若3bc1,則秩(A)秩(A),方程組無解,不能由1,2,3線性表出 ?5f(x,x,,x)(xax)2(xax)2 x)2(xax)2 1 2 n1 n其中i 1,2,,n為實(shí)數(shù)，試問：當(dāng)a1,a2,an滿足何種條件時(shí)，二次f(x1x2xn)為正定二次型x1a1x2xax 2當(dāng)且僅當(dāng) ?2 x n110 10 001 0 1(1)n1aaa01 所以，當(dāng)1(1)n1aaa0xx,x1 f(x1x2xn ?8即當(dāng)aaa(1)n時(shí),二次型f(x,x,,x)為正定二次型 ?91 0.50，1.25，0.80，2.00X的簡單隨機(jī)樣本值.已知YlnXEXEX為byu 解：(1)Y的概率密度為f(y) ,y 于是(令tybbEXEey

yu2 ?2

1

(t

et

2dy 2

1 2 ?3

e2 ?4當(dāng)置信度為10.95時(shí),0.05.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的水平為0.051)于1.96.故由YN(1)4

Y }0.95，?5其中Y1(ln0.5ln0.8ln1.25ln2)1ln10.P{0.980.98}0.95 從而(0.98,098)就是的置信度為0.95的置信區(qū) ?6由ex 0.95P{0.48 1.48}P{e0482

2e1 ?7因此b的的置信度為0.95的置信區(qū)間為(e048,e148) ??8 是二隨 ； 量X

1,若A出現(xiàn)，,Y

試證明隨量X和Y不相關(guān)的充分必要條件是A與B相互獨(dú)立解：P(A)p1P(B)p2P(AB)p12.由數(shù)學(xué)期EXP(A)P(A)2p11,EY2p2?2EXY.XY1和1P{XY1}P(AB)P(AB)2p12p1p2?3P{XY1}1P{XY1}p1p22p12?4EXYP{XY1}P{XY1}4P122p12p2?5從而Cov(X,YEXYEXEY4P124p1p2CovX,Y0當(dāng)且僅當(dāng)P12p1p2?7即X和Y不相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)AB相互獨(dú)立?8（四x1 xdx 22 x13 若a0,b0均為常數(shù)，則limaxbxx x0

設(shè)1,0,1TATn為正整數(shù)，則|aEAn|a2a2n)|BE| 設(shè)A,B,C三個(gè)兩兩獨(dú)立,則A,BC相互獨(dú)立的充分必要條件 A與BC獨(dú) (B)AB與AC獨(dú)(C)AB與AC獨(dú)

ABAC三、(本題滿分6分)已知zuv,u x2y2,varctany，求dzx解：ZZuZ