三角函數(shù)看不懂

三角函數(shù)看不懂第一頁，共四十頁，2022年，8月28日(二)能力訓練點1．三角函數(shù)的積化和差與和差化積，這兩種互化，對于求三角函數(shù)的值、化商三角函數(shù)式及三角函數(shù)式的恒等變形，都有重要的作用，它們的作用和地位在三角函數(shù)值的變形中是十分重要的．2．積化和差與和差化積公式的推導過程本身也運用了許多重要的教學思想和方法，在課堂教學中應作為重要一環(huán)給予足夠的重視．(三)德育滲透點數(shù)學學習中，處處充滿辯證法，和差化積與積化和差看似是一對矛盾，但它們又處在對立統(tǒng)一體中，這些公式中，從左到右為積化和差，而從右到左則成為和差化積．在實際應用，他們又是相輔相成的，通過這一內容的教學，使學生受到一次辯證法實例的教育，不失為一個好時機．第二頁，共四十頁，2022年，8月28日二、教學重點、難點1．教學重點：理順三角公式變換的相互關系，掌握積化和差與和差化積公式的推導過程，并能用它們解決一些實際問題，以及用好用活2．教學難點：(1)公式的推導．(2)公式的應用．(3)三角式的恒等變換的一般規(guī)律．三、課時安排4課時．四、教與學過程的設計第三頁，共四十頁，2022年，8月28日第一課時三角函數(shù)的積化和差

(一)復習和、差角的正弦與余弦公式師：前階段我們已學習了和差、倍、半角的三角函數(shù)的公式，請問學生回憶一下這些三角公式的推導，變換過程．生：所有這些三角公式都是從一個公式演化而來的，主要是證明了兩角和的余弦函數(shù)公式．之后，利用換元法以及誘導公式，同角三角函數(shù)之間的關系等而導出一系列公式來，他們相互之間是有緊密關系的．師：和、差、倍、半角的三角函數(shù)是一組十分重要的公式，它們在解決三角恒等變換等方面有許多重要應用．但是，光是這些關系還不足以解決問題，今天我們還要進一步把握它們的內在聯(lián)系，尋求新的關系式．(二)引入新課請學生說出正、余弦的和差角公式(板書)第四頁，共四十頁，2022年，8月28日sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4)師：請同學們注意觀察這四個公式，考慮一下能否利用這些公式得出一些新關系來．生1：把(1)式與(2)式相加可得sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ．生2：把(1)式與(2)式相減可得sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ．師：(3)、(4)兩式作類似的加、減還可以得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ，cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．師：若把這四個關系式整理一下，即可得到第五頁，共四十頁，2022年，8月28日以上這四個公式的特征是把三角函數(shù)的積的形式轉化為三角函數(shù)的和、差的形式，我們把上述公式稱為三角函數(shù)的積化和差公式．積化和差公式的功能可以把三角函數(shù)的一種形式(積的形式)轉化為另一種形式(和差的形式)，這種轉化可以使得一些我們無法解決的問題變成可能解決的問題，它們在三角式的變換中有很重要的作用．現(xiàn)在請同學們先翻開課本P．227，先看看這段課文，特別是注意公式的函數(shù)，函數(shù)名、角的形式等特征，記好這四個公式(五分鐘閱讀，讓學生記憶)．第六頁，共四十頁，2022年，8月28日師：現(xiàn)在暫停讀書，這幾個公式形式比我們過去學過的其他三角公式要復雜一些，記好用好這些公式得有一段過程，當然，千萬不要死記硬背，適當做一些練習，掌握這些公式的實際應用，是可以逐步掌握它們的．讓我們看看以下的例題．例題求sin75°·cos15°的值．請同學們想想有什么辦法可以解決這個問題？生1：考慮到75°±15°都是特殊角，所以想到使用積化和差公式解決之．師：很好，用我們剛剛學過的積化和差公式可以很方便地解決這個問題，請大家想想是否還有其他解法？生2：由于75°與15°互為余角，所以可以采用以下的解法．第七頁，共四十頁，2022年，8月28日生3：由于75°與15°可以由45°與30°組合而成，所以只要用到和差角的三角函數(shù)公式就可以解決了．師：從這個例題的幾種解法，我們可以看出，三角函數(shù)求值或恒等變換，往往可以從不同角度考慮，進而使用不同的三角公式，獲得問題的解決，可謂殊途同歸，但是我們考慮問題時，一定要根據(jù)條件及結論、選擇適當?shù)姆椒?，以求問題的解決．現(xiàn)在，請同學們取出課堂練習本，完成以下的幾個練習．(三)課堂練習1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值，2．求cos37.5°·cos22.5°的值，第八頁，共四十頁，2022年，8月28日學生練習、教師巡視、答疑，對一些有困難的學生作些提示，適當時候，安排幾個學生作板演．練習題解法：1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°2．cos37.5°·cos22.5°第九頁，共四十頁，2022年，8月28日而sin20°·sin40°·sin80°第十頁，共四十頁，2022年，8月28日(四)課堂小結本節(jié)課，我們學習了三角函數(shù)的積化和差公式，雖然這些公式是新出現(xiàn)的，但它和過去學習的一些三角公式有密切的關系，所以首先應理清他們的內在聯(lián)系，這組公式的功能可以把三角函數(shù)的積的形式轉化為和差的形式，通過例解及課堂練習，同學們也開始發(fā)現(xiàn)這組公式的作用，希望同學們在今后的學習中記好、用好這一組公式五、作業(yè)P．231中3；P．236中1、2．六、板書設計第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日第二課時三角函數(shù)的和差化積

一、教與學過程設計(一)復習積化和差公式1．請學生復述積化和差公式，教師板書2．部分作業(yè)選講①證明cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α．利用積化和差公式，可得第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日②求cos20°、cos40°、cos80°的值．解法一第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日師：我們知道，每個數(shù)學公式都有兩方面的應用，即正用與逆用．積化和差公式也不例外，那么，積化和差公式的逆用應怎么稱呼呢？生：應稱為三角函數(shù)的和差化積公式．師：確實如此，這節(jié)課，我們就來學習三角函數(shù)的和差化積公式．(二)引入新課由三角函數(shù)的積化和差公式的逆用，我們可得以下幾個公式：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ；sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ；cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ；cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．為了突出這組公式是三角函數(shù)的和差化積公式并能方便地記憶，可作如下的換元：第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日這樣我們就得到如下的三角函數(shù)的積化和差公式和差化積公式與積化和差公式相反，它可以把三角函數(shù)的和差的形式轉化為積的形式，從而獲得問題的解決．如前面評講的作業(yè)，也可以一直由等式的左邊一直推到等式的右邊．第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日例1求sin42°-cos12°+sin54°的值．分析：這是三角中常遇到的問題，由于原題是三個三角函數(shù)的和差形式，自然想到要使用和差化積公式，由于上述問題中現(xiàn)成的同名角函數(shù)為sin42°、sin54°，因而一般做法是將這二個函數(shù)做和差化積(稍停頓)．但本題若采用此法則無后續(xù)手段，問題的解決將十分困難．應該說這種思考的方向是正確的，但我們不是為和差化積而和差化積，而是為問題的解決而和差化積的，一般地說出現(xiàn)多個三角函數(shù)的和差時，應選擇能出現(xiàn)特殊角的一組進行．鑒于此，本題應采取下面的解法．解：原式=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=cos54°-sin18°=2sin36°sin18°．第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日師：進行到此，本題的化簡能進行下去嗎？生：可試著使用正弦函數(shù)的倍角公式化簡．2cos36°sin18°師：本題與前面的例題形式上是差不多的，請大家想一想該怎么解？生：(議論)用和差化積公式化簡應是可行的，由于本題三個函數(shù)都是余弦，而任兩角的和、差都不為特殊角，所以可任選其中的兩個先作和差化積．第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日提問一個學生，可得如下變形師：到此，下一步比較關鍵(指導學生討論)，逐步統(tǒng)一到如下解法：第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日師：本題對初學和積互化的關系式中是比較困難的，采用同樣的方法也可以對1、3兩項或2、3兩項先使用和差化積公式，再利用余弦的倍角進一步完成本題．本題還可以采用積化和差的辦法解決之．第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日(三)小結和差化積公式的左邊全是同名函數(shù)的和或差，只有負數(shù)絕對值相同的同名函數(shù)的和與差才能直接運用公式化成積的形式，如果是一個正弦與一余弦的和或差必須先用誘導公式化成同名函數(shù)后，再運用積化和差公式化成積的形式．無論是和差化積還是積化和差中的“和差”與“積”，都是指得三角函數(shù)間的關系，并不是角的關系，這是必須十分清楚的．三角函數(shù)的和差化積所要求的最后結果，只要是三角函數(shù)的積的形式就可以了，不求形式上的一致．第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日遇到三個或三個以上的三角函數(shù)的和差化積或積化和差，可以先在其中的二個函數(shù)中進行(遇到這種情況多半會組合出特殊角)，然后再與其他的三角函數(shù)繼續(xù)進行下去．今天課上例2的第二種解法主要適用于三角函數(shù)式中的角是等差的，通常分子分母上同乘以公差一半的正弦．二、板書設計第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日第三課時習題課

三角函數(shù)是中學數(shù)學的一個很重要的學習內容，這二章(第三章與第四章)從介紹三角函數(shù)的定義、性質、圖象開始逐步深入，學習的進程高潮迭起，特別是從和、差、倍、半角的三角函數(shù)直到三角函數(shù)的和差化積與積化和差，既充分揭示了三角函數(shù)的內在關系，且每組公式又都有它自身的使用范圍，另外三角函數(shù)這塊內容又是學習其他數(shù)學分支的重要工具，在函數(shù)研究、立體幾何、代數(shù)及解析幾何中都有廣泛的應用，學好三角函數(shù)是學好其他數(shù)學分支的重要基礎．由于三角公式相當多，所以記憶和應用就顯得十分重要，安排兩節(jié)習題課的目的，就是希望通過練習及比較，使學生能熟練掌握進行三角恒等變換的一般方法．(一)復習和差化積與積化和差公式(二)作業(yè)評講1．求cos20°+cos100°+cos140°．第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日=cos40°+cos140°=0．2．△ABC中，求證cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC．證明：∵A、B、C為△ABC的三內角．∴A+B+C=π，即C=π-(A+B)．∴原式左邊=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1=2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1=4cos(A+B)cosAcosC-1=-1-4cosAcosBcosC．(三)范例選解例1求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值．分析：本題有兩個平方式，遇到三角函數(shù)的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次處理．第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日(當然也可以把它們視為二個三角函數(shù)的積做積化和差．)作了如下處理后，即成為三角函數(shù)一次式的和差了，自然做和差化積．若又注意到本題的結構，以下解法也是可以考慮的．原式=(sin20°+sin40°)2-sin20°·cos50°=[2sin30°cos10°]2-sin20°·cos50°第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日當然，也可以這樣配方原式=(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°例題2求ctg70°+4cos70°的值．分析：由于本題余切函數(shù)與余弦函數(shù)共存，∴首先應化切為弦，接著自然是要做通分，最后再考慮分子的化簡，由于分子的三角函數(shù)的系數(shù)不同，一拆為二就是必然的了．第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日習題課上，教師主要講以上二例，雖為例解，但應注意調動學生積極思考，注意學生提出的問題以及學生提出的處理方法，若方向對頭應予以肯定，若方法不當也應幫助分析原因．以下幾個練習主要由學生完成，練習題預先寫在幻燈片上，適時安排學生板演，習題課的形式是講講、議議、練練．(四)練習題第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日3．tg10°+sec50°課堂練習題分析及解法：2．類似本題的條件，有兩條路可供選擇，其一是將兩式兩邊分別平方后再相加，但這樣處理所能得到的是cos(α-β)的值，但采用這樣的辦法于事無補．另一條路是把兩個某式左邊的三角函數(shù)分別作和差化積可得到如下關系：第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日3．本題若只是簡單處理，可能會做不下去．到此或許許多人就束手無策了，當然，這樣做如果處理得法，還是會最后得到正確結果的，但是計算太大了．若注意到10°、50°分別與80°、40°互為余角，利用誘導公式可得如下解法．第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日(四)小結三角函數(shù)的恒等變換，由于三角公式較多、用起來也較活，所以應當掌握變形的一般規(guī)律，而一般規(guī)律的獲得主要靠自己的實踐以及理性上的升華。通過一個階段的學習與練習，應是有一定體會的．一般說三角變換問題，首先要關注問題中的角，特別是角的和、差、倍、半關系，當然這些關系也不是一成不變的，如適當時候，我們也可以把α看作是第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日說三角函數(shù)的恒等變換常用的規(guī)則是：化繁為簡、化高為低(降次)，化復合角為單角(和差角公式)，化切割為弦，化大角為小角，和差化積，積化和差。所有這些希望同學們通過自己的實踐慢慢揣摸．，它的功能可以把任意函數(shù)而同角的正、余弦函數(shù)轉化為只含有一個函數(shù)的形狀，這個變換對于函數(shù)三角函數(shù)的性質，諸如確定三角函數(shù)的周期、最值、劃分單調區(qū)間等都是十分有用的，掌握好這個公式在一些看似困難的問題都能巧妙地解決，所以課本P．234中例12的內容單獨安排一節(jié)課．思考：把下列各式化為只含有一個三角函數(shù)的形式．第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日(ii)-sinx+cosx，(iii)asinx+bcosx．∴原式=cos60°sinx-sin60°cosx=sin(x-60°)．師：很好，象這樣的問題只要運用三角函數(shù)的和差角公式即可了，和正弦，那么函數(shù)能分別看作正弦、余弦的應具備什么條件？生：函數(shù)的平方和必須為1．師：那么，函數(shù)的平方和不是1的情況應怎樣操作？后面的練習將第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日這樣這道題也可以這樣處理：原式=sin30°sinx-cos30°cosx=-(cos30°cosx-sin30°sinx)=-cos(x+30°)．雖然這兩種做法的最后結果形式也有差異，但它們實質也是相等的，這兩種解法的結論都符合題意．弦．由于余弦值為正號、正弦值為負號，這樣的角終邊位置在第四象限．∴第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日∴原式=sinxcos300°-cosxsin300°=sin(x+300°)．最后提及的處理方法是解決此類問題的通法，請同學們觀察這種解法的幾何特征，希望大家在處理同類問題時統(tǒng)一地用這種解法．現(xiàn)在再請一位同學提出第二題的處理辦法．生2：由于本題函數(shù)的平方和不為1，為了能將它們轉化為正、余弦值，應考慮到(-1)2+12=2∴可以這樣解決之師：很好，應該說你們已揣摸出解這類題的真諦了，現(xiàn)在看