2023教招面試初中數(shù)學(xué)【說課稿】 一元二次方程的根的判別式

一元二次方程的根的判別式

各位老師：你們好！我是來自甘肅省蘭州市蘭化第一中學(xué)的數(shù)

學(xué)教師宋慶萍，今天我說課的內(nèi)容是：人教社九年義務(wù)教育四年制

初中《代數(shù)》第三冊第十二章第三節(jié)“一元二次方程的根的判別式”。

下面將從三個(gè)方面來匯報(bào)我是如何分析教材和設(shè)計(jì)教學(xué)學(xué)教程的。

一、教材分析方面：

1、本節(jié)教材的地位及作用：

“一元二次方程的根的判別式”一節(jié)，是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一元二

次方程的解法，并對(duì)b2-4ac的作用有所了解的基礎(chǔ)上，來進(jìn)一步研

究它的作用的一個(gè)重要理論內(nèi)容，它是前面知識(shí)的深化與總結(jié)。它

在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，既可以根據(jù)它來判斷一元二次

方程的根的情況，又可以為今后研究不等式，二次函數(shù)，二次曲線

等奠定基礎(chǔ)，并且可以解決許多其它問題。通過這一節(jié)的學(xué)習(xí)，培

養(yǎng)學(xué)生的探索精神和觀察'分析'歸納的能力，以及邏輯思維能力'

推理論證能力，并向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化和分類的數(shù)學(xué)思想，滲透數(shù)學(xué)的

簡潔美。

2、教學(xué)內(nèi)容的確定:

本節(jié)課的主要內(nèi)容是：一元二次方程根的判別式的意義，定理、

逆定理及其應(yīng)用，對(duì)定理的引出我改變了教材中直接推證的方法，

而是通過設(shè)置懸念讓學(xué)生解三種不同的方程的親身感受來發(fā)現(xiàn)定

理，這樣使學(xué)生感到自然、易于授受，對(duì)教材中的例題則有所增加,

例題的設(shè)置由淺入深，這樣安排符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)，使學(xué)

習(xí)內(nèi)容充實(shí)，不單調(diào)。

3、教學(xué)目的；

依據(jù)教學(xué)大綱和對(duì)教材的分析，以及結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ),

本節(jié)課的教學(xué)目的是：

(1)使學(xué)生理解一元二次方程的根的判別式概念；

(2)能運(yùn)用根的判別式在不解方程的前提下，判別方程根的情況,

和進(jìn)行有關(guān)的推理證明；

(3)會(huì)運(yùn)用根的判別式求一元二次方程中字母系數(shù)的取值范圍；

(4)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和邏輯思維能力以及推理論證能力；

(5)向?qū)W生滲透分類的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)的簡潔美。

4、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及關(guān)鍵：

重點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的正確理解和運(yùn)用；

難點(diǎn)：根的判別式定理及逆定理的運(yùn)用。

關(guān)鍵：對(duì)根的判別式定理及其逆定理使用條件的透徹理解。

二、教法與學(xué)法：

本著“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育理念，同時(shí)也為了使學(xué)生都能

積極地參與到課堂教學(xué)中，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，本節(jié)課主要采

用了引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、講練結(jié)合的教學(xué)方法，教法與學(xué)法設(shè)計(jì)了以下八個(gè)

層次；

序號(hào)教師學(xué)生

1設(shè)置懸念，引發(fā)興趣爭先恐后，欲解疑團(tuán)

2設(shè)計(jì)練習(xí)，創(chuàng)設(shè)情境動(dòng)手解題，親身感知

3啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論觀察分析、得出結(jié)論

4引導(dǎo)學(xué)生，理論驗(yàn)證閱讀理解，自學(xué)教材

5揭示定理加深認(rèn)識(shí)

6應(yīng)用定理，解決問題鞏固應(yīng)用，形成技能

7歸納小結(jié)整體把握

8布置作業(yè)鞏固提高

以上八個(gè)層次，是按照“實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——實(shí)踐”的認(rèn)知規(guī)律

設(shè)計(jì)的，它增加了學(xué)生參與的機(jī)會(huì)和體驗(yàn)獲取知識(shí)過程的時(shí)間。從

而有效地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

三、教學(xué)過程

＜一＞、設(shè)置懸念，引發(fā)興趣:

【教師】：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了怎么解一元二次方程，對(duì)嗎？那

么，現(xiàn)在宋老師這兒還有一手絕活，就是：我隨便拿到一

個(gè)一元二次方程的題目，我不用具體地去解它，就能很快

知道它的根的大致情況，不信呀！同學(xué)們可以隨便地出兩

個(gè)題考考我。

【學(xué)生】……

【說明】這樣設(shè)計(jì)，能馬上激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，為后面

發(fā)現(xiàn)結(jié)論創(chuàng)造一個(gè)最佳的心理狀態(tài)。

＜二＞設(shè)計(jì)練習(xí)，創(chuàng)設(shè)情境；

【教師】你們一定很想知道我的絕活是怎么回事吧？那么好，現(xiàn)在

就請同學(xué)們用公式法解以下三個(gè)一無二次方程；你們會(huì)很快發(fā)現(xiàn)我

的奧秘。

用公式法解一元二次方程(用投影儀打出)

(1)X2+3X+1=0(2)4X2-4X+1=0(3)X-2x+5=0

(注：找三名學(xué)生板演，其余學(xué)生在位上做)

【學(xué)生】……

【說明】這樣設(shè)計(jì)，使學(xué)生親身感知一元二次方程根的情況，培

養(yǎng)了學(xué)生的探索精神，變“老師教”為“自己鉆”，從而發(fā)揮了學(xué)生

的主觀能動(dòng)性。

＜三＞啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：

【教師】請同學(xué)們觀察這三個(gè)方程的解題過程，可以發(fā)現(xiàn)：在把

系數(shù)代入求根公式之前，每題都是先確定了a、b、c的值，然后求

出了b?-4ac的值，為什么要這樣寫呢？

【學(xué)生】……

【教師】（1）由此可見：在解一元二次方程aX2+bx+c=0（a—0）時(shí),

代數(shù)式b2-4ac起著重要的作用，顯然我們可以根據(jù)b2-4ac的值符號(hào)

來判斷一元二次方程aX2+bx+c=0的根的情況，因此，我們把b?-4ac

叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號(hào)“△（讀作delta,

它是希臘字母）”來表示，即△=b2-4ac。我們說在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

中還會(huì)遇到：用一個(gè)簡單的符號(hào)來表示一個(gè)數(shù)學(xué)式子的情況，同學(xué)

們要逐漸適應(yīng)這一點(diǎn)。

（2）注意：△寸4砒，應(yīng)△=b-4aco

（3）通過解這三個(gè)方程，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程根的情況

有哪幾種，誰能總結(jié)出來？

【學(xué)生】……

【說明】：這樣設(shè)計(jì)（1）是為了讓學(xué)生明白：b2-4ac的值的符號(hào)

在解一元二次方程中所起的重要作用，從而很自然地引出了根的判

別式概念。

（2）是為了培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的觀察'分析與概括能力并使

學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，真正體驗(yàn)自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的成功樂

趣。

＜四＞引導(dǎo)學(xué)生，理論驗(yàn)證：

【教師】一元二次方程根的情況果真有三種嗎？

請同學(xué)們認(rèn)真閱讀課本P26-27正數(shù)第六行的內(nèi)容，書上從理論

方面給我們做了很好的解釋。

【學(xué)生】……

【說明】這樣設(shè)計(jì)是為了培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，養(yǎng)成嚴(yán)格論

證問題的習(xí)慣以及自學(xué)能力的培養(yǎng)。

〈五〉揭示定理：

【教師】（1）由此我們就得出了：關(guān)于一元二次方程aX，bx+c=O（a

去0）根的判別式定理：

在一元二次方程aX2+bx+c=0（a中0）中，△=b2-4ac

若△＞（）則方程有兩個(gè)不相等的辣若普°勝方程有

J（兩個(gè)）實(shí)2數(shù)根

若a=0則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

若avo則方程沒有實(shí)數(shù)根

（2）我們說：這個(gè)定理的逆命題也成立，即有如下的逆定理：

在一元二次方程aX2+bx+c=0（a^O）中，△:b2-4ac

若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則若方程有(兩個(gè))實(shí)數(shù)

J根，則△》()

若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則△=()

若方程沒有實(shí)數(shù)根，則avo

(3)定理與逆定理的用途不同

定理的用途是：在不解方程的情況下，根據(jù)△值的符號(hào)，用定

理來判斷方程根的情況。

逆定理的用途是：在已知方程根的情況下，用逆定理來確定^

值的符號(hào)，進(jìn)而可求出系數(shù)中某些字母的取值范圍。

(4)注意運(yùn)用定理和逆定理時(shí)，必須把所給的方程化成一般形

式后方可使用。

【說明】這樣設(shè)計(jì)是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)如何用數(shù)學(xué)語言來闡述

發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，如何將感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，以及加深學(xué)生對(duì)兩

個(gè)定理的認(rèn)識(shí)，為定理及逆定理的正確運(yùn)用做好鋪墊。

<六>應(yīng)用定理，解決問題：

【教師】下面我們就來學(xué)習(xí)兩個(gè)定理的應(yīng)用。

例1:不解方程判別下列方程根的情況。

1>2X2+3X-4=02>16g2+9=24y

3>5(X2+1)-7X=04>X2+2圓+

分析；要判別方程根的情況，根據(jù)定理可知；就是要確定△值

的符號(hào)，

解:略

小結(jié)(1)綜上可知：運(yùn)用根的判別式定理時(shí)，必須先把方程化

為一般形式，并認(rèn)準(zhǔn)a、b、c的值；

(2)在確定△值的符號(hào)時(shí)，可不必算出△的具體數(shù)值，只要能

確定出△值的符號(hào)即可。

例如：對(duì)于第2)小題中△的值可作如下處理，比較簡便，△

二(-24)2-4X16X9=24-22X42X32=24-242=0

(3)由此可知：判別方程根的情況時(shí)，不必求出方程的根。

學(xué)生練習(xí)：P28/3、4、5

補(bǔ)充練習(xí)：不解方程，判別下列方程根的情況，

(2m2+1)X2-2mx+1z:0

例2：求證：關(guān)于X的方程52+1)X2-2mx+(m2+4)=0,沒有實(shí)數(shù)

根。

分析：提出兩個(gè)問題：1＞是誰決定了方程有無實(shí)數(shù)根？

2》現(xiàn)在要證方程無實(shí)數(shù)根只要證明什么就行了？

解：略

小結(jié)(1)運(yùn)用根的判別式定理來判斷：含有字母系數(shù)的一元二次

方程根的情況的一般步驟是:

①把方程化為一般形式，確定a、b、c的值，計(jì)算△；

②用配方法等將△變形，使之符號(hào)明朗化后，判斷△的符號(hào)。

③根據(jù)根的判別式定理，寫出結(jié)論。

(2)注意關(guān)于△的變形；一般情況下，△由配方或因式分解后能

變形成214+2「但+2),(a+2)；_(a+2)2等形式;那么△的符號(hào)

就明朗了，即可判斷其符號(hào)。

學(xué)生練習(xí);P29/BE3]

注意：以上兩組練習(xí)時(shí)，學(xué)生板演，其余學(xué)生在位上做；板演后

如果發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)或有其他解法，下面同學(xué)可主動(dòng)上去糾正或?qū)懗鲎约?/p>

的不同解法，然后教師進(jìn)行講評(píng)。

思考題：已知關(guān)于X的方程X2+2(a+1)x+(a?+4a-5)=0,當(dāng)a取

何正整數(shù)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？

分析：要解決這個(gè)問題，應(yīng)先假設(shè)方程有實(shí)根，然后根據(jù)根的

判別式的逆定理，得出0,再由解這個(gè)不等式，從而求出a的

取值范圍，進(jìn)而得出a的正整數(shù)解。

解：略

注意：本思考題是讓學(xué)生自己分析，教師只幫助學(xué)生理清思路，

最后讓學(xué)生自己完成。

【說明】這樣設(shè)計(jì)，主要是為了給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)知識(shí)運(yùn)用遷移及

鞏固的機(jī)會(huì)，同時(shí)也為了吸引和調(diào)動(dòng)全班同學(xué)參與到積極動(dòng)腦，各

抒已見的活躍氣氛中來。

＜七＞歸納小結(jié)

【教師】（1）今天我們是在一元二次方程解法的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了

根的判別式的應(yīng)用，它在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要地位，是中考命

題的重要知識(shí)點(diǎn)，所以必須牢固掌握好它。

（2）注意根的判別式定理與逆定理的使用區(qū)別：一般當(dāng)已知△值

的符號(hào)時(shí)，使用定理；當(dāng)已知方程根的情況時(shí)，使用逆定理。

(3)一兀二次方程aX，bx+c=O(a^O)(A=b2-4ac)

判別式

根的情況定理與逆定理

，情況

Xb“F二b±@_(X\手xj△＞0＜=＞有兩

△>02a△e0＜=＞有

個(gè)不等實(shí)數(shù)根

（