導(dǎo)數(shù)專題-零點(diǎn)專練-2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（含答案詳解）

導(dǎo)數(shù)專題—零點(diǎn)專練-2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)專題——零點(diǎn)專練1.已知函數(shù)在處取得極值．當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2.若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值．求函數(shù)的極大值；若方程在上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3.函數(shù)．

討論函數(shù)的極值；

當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．4.已知函數(shù)．若在處取得極小值，求實(shí)數(shù)的值；當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．5.已知函數(shù)，．若，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；若，是關(guān)于的方程的兩個(gè)相異實(shí)根，且，是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．6.已知函數(shù)．根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，研究的單調(diào)性．若有唯一零點(diǎn)，求的值．7.已知函數(shù)．

設(shè)，．

求方程的根；

若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

若，，函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，求的值．8.已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．求曲線在點(diǎn)處的切線方程；證明：函數(shù)有唯一零點(diǎn)；判斷方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．9.已知函數(shù)．若有兩個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍若方程有兩個(gè)實(shí)根、，且，證明：．答案和解析1.【答案】解：由題意可得，

所以，

即，

即，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意所以．

當(dāng)時(shí)，，，

所以，，

所以在處的切線方程為，即．

令，則設(shè)，

則與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)．

，

及時(shí)，

時(shí)，

所以在、遞增，在遞減，

又因?yàn)?，?/p>

又當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，只需，即．

所以的取值范圍為．

2.【答案】解：因?yàn)?，所以，由題意知解得所以所求的解析式為；所以，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，所以，由可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，函數(shù)圖象如下所示：

因?yàn)榉匠淘谏嫌腥齻€(gè)零點(diǎn)，即與在上有個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)圖象可知，即．3.【答案】解：，

當(dāng)時(shí)，，在上為單調(diào)增函數(shù)，無(wú)極值，

當(dāng)時(shí)，

由，，在上為單調(diào)增函數(shù)，

由，，在上為單調(diào)減函數(shù)，

所以，，無(wú)極大值．

綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值，

當(dāng)時(shí)，，無(wú)極大值．

由知當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)，

在上為單調(diào)減函數(shù)，，

而，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，

當(dāng)，即時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)，即時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，

綜上：當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn)．

4.【答案】解：因?yàn)椋?/p>

所以，得，

因?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在處取得極小值，符合題意，

故實(shí)數(shù)的值為．

根據(jù)題意，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象的公共點(diǎn)問(wèn)題，

由可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，

又當(dāng)趨近于時(shí)，，且趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，

當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．

5.【答案】解：，，令，解得，

當(dāng)時(shí)，，有，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，有，單調(diào)遞減，

，有，單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

先證．

方程等價(jià)于，

令，則，為曲線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

易知，令，解得，

當(dāng)，有，單調(diào)遞減且，當(dāng)，有，單調(diào)遞增，

又，要使曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)，

，，即，

令，，則，

在上單調(diào)遞減，

，，即，

，即．

再證．

易知，令，解得，

當(dāng)，有，單調(diào)遞增，

當(dāng)，有，單調(diào)遞減，

可設(shè)，要證，即證．

在單調(diào)遞增，即證，

令，

則，

易得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，

，，即，

，綜上所述，．

6.【答案】解的定義域?yàn)?，?duì)任意的，有，

所以函數(shù)為偶函數(shù)

考慮在上的單調(diào)性：，，且，

有

由，得，，，于是，

即，所以在上單調(diào)遞增．

又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減．

綜上所述，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．

解法一：因?yàn)?/p>

將的圖象向左平移個(gè)單位得到，

對(duì)任意的，有，故是偶函數(shù)．

要使有唯一零點(diǎn)，即有唯一零點(diǎn)，而的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，

故，求得．

由可知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，故可知有唯一零點(diǎn)，符合題意，故．

解法二：因?yàn)椋?/p>

，

所以，即為的對(duì)稱軸．

要使函數(shù)有唯一零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)只能為，

即，解得

由可知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，故可知有唯一零點(diǎn)，符合題意，故．

7.【答案】解：函數(shù)．

設(shè)，．

方程，即，即，

可得，解得；

不等式恒成立，

即恒成立．

令，．

不等式化為在時(shí)恒成立．

可得：或

即或，

．

實(shí)數(shù)的最大值為；

，

，

，可得，

令，則是遞增函數(shù)，

又，，

因此，時(shí)，，

因此時(shí)，，，則．

時(shí)，，，則，

則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因此的最小值為

若，時(shí)，，，則，

因此當(dāng)，且時(shí)，，因此在有零點(diǎn)，

則至少有兩個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾．

若，函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，的最小值為，可得，

由，

因此，因此，則，即，，則．

可得．

8.【答案】解：因?yàn)?，所以?/p>

所以，，

所以曲線點(diǎn)處的切線方程．

因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，由，

所以在上單調(diào)遞增，

又，，且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，

所以，有．

綜上所述，函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)．

由可知：在上恒小于零，在上恒大于零．

設(shè)函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，

所以，

因?yàn)?，?/p>

所以，即函數(shù)在上單調(diào)增．

又因?yàn)椋?/p>

，

所以函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，即方程在上存在唯一的根．

當(dāng)時(shí)，，

由于，，則，

所以，

所以函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，即方程在上沒(méi)有根．

綜上所述，方程有且只有一個(gè)實(shí)根．

9.【答案】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意，所以．

由，可得，

設(shè)函數(shù)，其中，

所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

，由可得，列表如下：增函數(shù)極大值減函數(shù)所以函數(shù)的極大值，如下圖所示：

且當(dāng)時(shí)，，

由圖可知：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)