高考數(shù)學(xué)三輪沖刺小題必練9 立體幾何(教師版)

小題必練小題必練9：立體幾何1．掌握球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．2．能用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合）的直觀圖．3．能借助長(zhǎng)方體，認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系．4．能從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系．5．能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．1．【2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷】日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為SKIPIF1<0)，地球上一點(diǎn)SKIPIF1<0的緯度是指SKIPIF1<0與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)SKIPIF1<0處的水平面是指過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0垂直的平面．在點(diǎn)SKIPIF1<0處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)SKIPIF1<0處的緯度為北緯SKIPIF1<0，則晷針與點(diǎn)SKIPIF1<0處的水平面所成角為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】畫(huà)出截面圖如下圖所示，其中SKIPIF1<0是赤道所在平面的截線(xiàn)；SKIPIF1<0是點(diǎn)SKIPIF1<0處的水平面的截線(xiàn)，依題意可知SKIPIF1<0；SKIPIF1<0是晷針?biāo)谥本€(xiàn)，SKIPIF1<0是晷面的截線(xiàn)，依題意依題意，晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知SKIPIF1<0、根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義可得SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，也即晷針與點(diǎn)SKIPIF1<0處的水平面所成角為SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)．2．【2020年高考浙江】已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)l，m，n．“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】依題意SKIPIF1<0是空間不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)，當(dāng)SKIPIF1<0在同一平面時(shí)，可能SKIPIF1<0，故不能得出SKIPIF1<0兩兩相交；當(dāng)SKIPIF1<0兩兩相交時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)公理SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0確定一個(gè)平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)公理SKIPIF1<0可知，直線(xiàn)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在同一平面，綜上所述，“SKIPIF1<0在同一平面”是“SKIPIF1<0兩兩相交”的必要不充分條件．【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理SKIPIF1<0和公理SKIPIF1<0的運(yùn)用．一、選擇題．1．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩條不同的直線(xiàn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0③若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0④若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0其中正確命題的序號(hào)是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④【答案】A【解析】對(duì)于①，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．由此可得①是真命題；對(duì)于②，因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故②是真命題；對(duì)于③，設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線(xiàn)，而平面SKIPIF1<0是正方體下底面所在的平面，則有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0成立，但不能推出SKIPIF1<0，故③不正確；對(duì)于④，設(shè)平面SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是位于正方體經(jīng)過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面，則有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，但是SKIPIF1<0，推不出SKIPIF1<0，故④不正確，綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是①和②．2．在正方體SKIPIF1<0中，如圖，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是正方形SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中心．則過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的截面是（）A．正三角形 B．正方形 C．梯形 D．直角三角形【答案】A【解析】如下圖所示，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為正方形SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中心，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)的截面為SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0為正三角形．因此，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點(diǎn)的截面為正三角形．3．某三棱錐的三視圖如圖所示，如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則該三棱錐的體積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由三視圖還原幾體何體如圖，三棱錐SKIPIF1<0是從長(zhǎng)為SKIPIF1<0，寬為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的長(zhǎng)方體中截得，所以SKIPIF1<0．4．如圖，正三角形SKIPIF1<0為圓錐的軸截面，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為弧SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖所示，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0就是直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為弧SKIPIF1<0的中點(diǎn)，可得SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，即直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．5．已知SKIPIF1<0是兩條不重合的直線(xiàn)，SKIPIF1<0是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【解析】對(duì)于A：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤，BCD正確．6．如圖所示，正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則在平面SKIPIF1<0內(nèi)與平面SKIPIF1<0平行的直線(xiàn)（）A．不存在 B．有SKIPIF1<0條 C．有SKIPIF1<0條 D．有無(wú)數(shù)條【答案】D【解析】平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0有公共點(diǎn)SKIPIF1<0，由公理SKIPIF1<0知平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0必有過(guò)SKIPIF1<0的交線(xiàn)SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0內(nèi)與SKIPIF1<0平行的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條，且它們都不在平面SKIPIF1<0內(nèi)，由線(xiàn)面平行的判定定理可知它們都與平面SKIPIF1<0平行．7．如圖，在四面體SKIPIF1<0中，截面SKIPIF1<0是正方形，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0截面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．異面直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0【答案】C【解析】因?yàn)榻孛鍿KIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故A正確；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0截面SKIPIF1<0，故B正確；異面直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角等于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，故D正確．8．已知三棱錐SKIPIF1<0的四個(gè)頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的等邊三角形，若球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0是直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角．∵SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．9．如圖，正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．二面角SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0 D．異面直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角等于SKIPIF1<0【答案】C【解析】對(duì)于A，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故正確；對(duì)于B，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，易證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故正確；對(duì)于C，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，顯然不等于SKIPIF1<0，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為異面直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，故正確．10．在平面五邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．將五邊形SKIPIF1<0沿對(duì)角線(xiàn)SKIPIF1<0折起，使平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的二面角為SKIPIF1<0，則沿對(duì)角線(xiàn)SKIPIF1<0折起后所得幾何體的外接球的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作垂直于平面SKIPIF1<0的直線(xiàn)SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作垂直于平面SKIPIF1<0的直線(xiàn)SKIPIF1<0，則由球的性質(zhì)可知，直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)SKIPIF1<0，即幾何體SKIPIF1<0外接球的球心．取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由條件得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為所得幾何體外接球的半徑．又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故所得幾何體外接球的表面積等于SKIPIF1<0．11．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0為正三角形，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．在棱SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．異面直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0C．二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】D【解析】解：如圖，對(duì)于SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∵側(cè)面SKIPIF1<0為正三角形，∴SKIPIF1<0，又底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即異面直線(xiàn)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于C，∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又依題意平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交，且在平面SKIPIF1<0內(nèi)，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0矛盾，因此SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不垂直，故D錯(cuò)誤．12．在棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)（不含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則線(xiàn)段SKIPIF1<0的長(zhǎng)的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由正方體的性質(zhì)可知，SKIPIF1<0是正四面體，且正四面體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)，∴SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，設(shè)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為正三角形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0不在三角形SKIPIF1<0的邊上，所以SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0．二、填空題．13．已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm2）為SKIPIF1<0，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑（單位：cm）是_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)圓錐底面半徑為SKIPIF1<0，母線(xiàn)長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．14．一個(gè)長(zhǎng)方體被一平面截去一部分后，所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為．【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)幾何體的三視圖得該幾何體的體積為長(zhǎng)寬高分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長(zhǎng)方體體積的一半，即體積為SKIPIF1<0．15．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是平行四邊形，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則平面SKIPIF1<0將四棱錐SKIPIF1<0所分成的上下兩部分的體積的比值為