數(shù)學(xué)建模教程模型馬氏鏈模型

數(shù)學(xué)建模教程模型馬氏鏈模型第一頁，共三十八頁，2022年，8月28日馬氏鏈模型系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機的從一時期到下時期的狀態(tài)按一定概率轉(zhuǎn)移下時期狀態(tài)只取決于本時期狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率已知現(xiàn)在，將來與過去無關(guān)（無后效性）描述一類重要的隨機動態(tài)系統(tǒng)（過程）的模型馬氏鏈(MarkovChain)——時間、狀態(tài)均為離散的隨機轉(zhuǎn)移過程第二頁，共三十八頁，2022年，8月28日通過有實際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性質(zhì)例1.人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態(tài)，設(shè)對特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8,而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為0.7，11.1健康與疾病

人的健康狀態(tài)隨著時間的推移會隨機地發(fā)生轉(zhuǎn)變保險公司要對投保人未來的健康狀態(tài)作出估計,以制訂保險金和理賠金的數(shù)額

若某人投保時健康,問10年后他仍處于健康狀態(tài)的概率第三頁，共三十八頁，2022年，8月28日Xn+1只取決于Xn和pij,與Xn-1,

…無關(guān)狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性

120.80.20.30.7第四頁，共三十八頁，2022年，8月28日n0a2(n)0a1(n)1設(shè)投保時健康給定a(0),預(yù)測a(n),n=1,2…設(shè)投保時疾病a2(n)1a1(n)0n時狀態(tài)概率趨于穩(wěn)定值，穩(wěn)定值與初始狀態(tài)無關(guān)3…

0.778…

0.222…

∞

7/9

2/9

0.70.770.777…0.30.330.333…

7/9

2/9

狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移120.80.20.30.710.80.220.780.22第五頁，共三十八頁，2022年，8月28日1230.10.0210.80.250.180.65例2.健康和疾病狀態(tài)同上，Xn=1~健康,Xn=2~疾病p11=0.8,p12=0.18,p13=0.02死亡為第3種狀態(tài)，記Xn=3健康與疾病

p21=0.65,p22=0.25,p23=0.1p31=0,p32=0,p33=1第六頁，共三十八頁，2022年，8月28日n0123a2(n)00.180.1890.1835

a3(n)00.020.0540.0880

a1(n)10.80.7570.7285設(shè)投保時處于健康狀態(tài)，預(yù)測a(n),n=1,2…不論初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3；一旦a1(k)=a2(k)=0,a3(k)=1,則對于n>k,a1(n)=0，a2(n)=0,a3(n)=1,即從狀態(tài)3不會轉(zhuǎn)移到其它狀態(tài)。狀態(tài)與狀態(tài)轉(zhuǎn)移00150

0.12930.0326

0.8381

第七頁，共三十八頁，2022年，8月28日馬氏鏈的基本方程基本方程第八頁，共三十八頁，2022年，8月28日馬氏鏈的兩個重要類型1.正則鏈~從任一狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達另外任一狀態(tài)（如例1）。w~穩(wěn)態(tài)概率第九頁，共三十八頁，2022年，8月28日馬氏鏈的兩個重要類型2.吸收鏈~存在吸收狀態(tài)（一旦到達就不會離開的狀態(tài)i,pii=1）,且從任一非吸收狀態(tài)出發(fā)經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移能以正概率到達吸收狀態(tài)（如例2）。有r個吸收狀態(tài)的吸收鏈的轉(zhuǎn)移概率陣標(biāo)準(zhǔn)形式R有非零元素yi~從第i個非吸收狀態(tài)出發(fā)，被某個吸收狀態(tài)吸收前的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。第十頁，共三十八頁，2022年，8月28日11.2鋼琴銷售的存貯策略

鋼琴銷售量很小，商店的庫存量不大以免積壓資金

一家商店根據(jù)經(jīng)驗估計，平均每周的鋼琴需求為1架存貯策略：每周末檢查庫存量，僅當(dāng)庫存量為零時，才訂購3架供下周銷售；否則，不訂購。

估計在這種策略下失去銷售機會的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少。

背景與問題第十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日問題分析

顧客的到來相互獨立，需求量近似服從波松分布，其參數(shù)由需求均值為每周1架確定，由此計算需求概率存貯策略是周末庫存量為零時訂購3架周末的庫存量可能是0,1,2,3，周初的庫存量可能是1,2,3。用馬氏鏈描述不同需求導(dǎo)致的周初庫存狀態(tài)的變化。動態(tài)過程中每周銷售量不同，失去銷售機會（需求超過庫存）的概率不同。

可按穩(wěn)態(tài)情況（時間充分長以后）計算失去銷售機會的概率和每周的平均銷售量。

第十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日模型假設(shè)鋼琴每周需求量服從波松分布，均值為每周1架

存貯策略：當(dāng)周末庫存量為零時，訂購3架，周初到貨；否則，不訂購。

以每周初的庫存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉(zhuǎn)移具有無后效性。

在穩(wěn)態(tài)情況下計算該存貯策略失去銷售機會的概率，和每周的平均銷售量。

第十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日模型建立

Dn~第n周需求量，均值為1的波松分布

Sn~第n周初庫存量(狀態(tài)變量)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律

Dn0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣

……第十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日模型建立

狀態(tài)概率

馬氏鏈的基本方程正則鏈

穩(wěn)態(tài)概率分布w滿足wP=w已知初始狀態(tài)，可預(yù)測第n周初庫存量Sn=i的概率n,狀態(tài)概率

第十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日第n周失去銷售機會的概率

n充分大時

模型求解

從長期看，失去銷售機會的可能性大約10%。1.估計在這種策略下失去銷售機會的可能性D

0123>3P0.3680.3680.1840.0610.019第十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日模型求解

第n周平均售量從長期看，每周的平均銷售量為0.857(架)

n充分大時

需求不超過存量,銷售需求需求超過存量,銷售存量

思考：為什么這個數(shù)值略小于每周平均需求量1(架)?2.估計這種策略下每周的平均銷售量第十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日敏感性分析

當(dāng)平均需求在每周1(架)附近波動時，最終結(jié)果有多大變化。

設(shè)Dn服從均值為的波松分布

狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣

0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第n周(n充分大)失去銷售機會的概率

當(dāng)平均需求增長（或減少）10%時，失去銷售機會的概率將增長（或減少）約12%。第十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日11.3基因遺傳背景生物的外部表征由內(nèi)部相應(yīng)的基因決定?；蚍謨?yōu)勢基因d和劣勢基因r兩種。每種外部表征由兩個基因決定，每個基因可以是d,r中的任一個。形成3種基因類型：dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R。基因類型為優(yōu)種和混種,外部表征呈優(yōu)勢；基因類型為劣種,外部表征呈劣勢。生物繁殖時后代隨機地（等概率地）繼承父、母的各一個基因，形成它的兩個基因。父母的基因類型決定后代基因類型的概率完全優(yōu)勢基因遺傳第十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日父母基因類型決定后代各種基因類型的概率父母基因類型組合后代各種基因類型的概率DDRRDHDRHHHRDRH1000011/21/200101/41/21/401/21/23種基因類型：dd~優(yōu)種D,dr~混種H,rr~劣種R完全優(yōu)勢基因遺傳P(DDH)=P(dddd,dr)=P(ddd)P(ddr)P(RHH)=P(rrdr,dr)=P(rdr)P(rdr)=11/2=1/2=1/21/2=1/4第二十頁，共三十八頁，2022年，8月28日隨機繁殖設(shè)群體中雄性、雌性的比例相等，基因類型的分布相同（記作D:H:R）每一雄性個體以D:H:R的概率與一雌性個體交配，其后代隨機地繼承它們的各一個基因設(shè)初始一代基因類型比例D:H:R=a:2b:c（a+2b+c=1),記p=a+b,q=b+c,則群體中優(yōu)勢基因和劣勢基因比例d:r=p:q(p+q=1)。假設(shè)建模狀態(tài)Xn=1,2,3~第n代的一個體屬于D,H,R狀態(tài)概率ai(n)~第n代的一個體屬于狀態(tài)i(=1,2,3)的概率。討論基因類型的演變情況第二十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日基因比例d:r=p:q轉(zhuǎn)移概率矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨機繁殖第二十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日馬氏鏈模型自然界中通常p=q=1/2穩(wěn)態(tài)分布D:H:R=1/4:1/2:1/4基因類型為D和H,優(yōu)勢表征——綠色，基因類型為R,劣勢表征——黃色。解釋“豆科植物的莖，綠色:黃色=3:1”(D+H):R=3:1隨機繁殖第二十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日近親繁殖在一對父母的大量后代中,雄雌隨機配對繁殖，討論一系列后代的基因類型的演變過程。狀態(tài)定義為配對的基因類型組合Xn=1,2,3,4,5,6~配對基因組合為DD,RR,DH,DR,HH,HR狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈模型第二十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日I0RQ狀態(tài)1(DD),2(RR)是吸收態(tài)，馬氏鏈?zhǔn)俏真湣徽摮跏既绾?，?jīng)若干代近親繁殖，將全變?yōu)閮?yōu)種或劣種.計算從任一非吸收態(tài)出發(fā)，平均經(jīng)過幾代被吸收態(tài)吸收。純種(優(yōu)種和劣種)的某些品質(zhì)不如混種，近親繁殖下大約5~6代就需重新選種.近親繁殖第二十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日11.4等級結(jié)構(gòu)社會系統(tǒng)中的等級結(jié)構(gòu)，適當(dāng)、穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的意義描述等級結(jié)構(gòu)的演變過程，預(yù)測未來的結(jié)構(gòu)；確定為達到某個理想結(jié)構(gòu)應(yīng)采取的策略。引起等級結(jié)構(gòu)變化的因素：系統(tǒng)內(nèi)部等級間的轉(zhuǎn)移：提升和降級；系統(tǒng)內(nèi)外的交流：調(diào)入和退出(退休、調(diào)離等).用馬氏鏈模型描述確定性轉(zhuǎn)移問題——轉(zhuǎn)移比例視為概率第二十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日基本模型a(t)~等級結(jié)構(gòu)等級i=1,2,k（如助教、講師、教授）數(shù)量分布n(t)=(n1(t),n2(t),nk(t))ni(t)~t年屬于等級i的人數(shù)，t=0,1,比例分布a(t)=(a1(t),a2(t),ak(t))轉(zhuǎn)移矩陣Q={pij}kk,pij是每年從i轉(zhuǎn)至j的比例第二十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日基本模型第二十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日基本模型~基本模型第二十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日基本模型等級結(jié)構(gòu)a(t)~狀態(tài)概率P~轉(zhuǎn)移概率矩陣第三十頁，共三十八頁，2022年，8月28日用調(diào)入比例進行穩(wěn)定控制問題：給定Q,哪些等級結(jié)構(gòu)可以用合適的調(diào)入比例保持不變a為穩(wěn)定結(jié)構(gòu)第三十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日用調(diào)入比例進行穩(wěn)定控制求穩(wěn)定結(jié)構(gòu)a=(a1,a2,a3)(a1+a2+a3=1)(0.5,0.5,0)a2=a1a3=1.5a2(0,0.4,0.6)a*穩(wěn)定域BB(0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)A可行域A例大學(xué)教師(助教、講師、教授)等級i=1,2,3，已知每年轉(zhuǎn)移比例第三十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日用調(diào)入比例進行穩(wěn)定控制研究穩(wěn)定域B的結(jié)構(gòu)尋求aaQ的另一種形式第三十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日用調(diào)入比例進行穩(wěn)定控制穩(wěn)定域是k維空間中以si

為頂點的凸多面體研究穩(wěn)定域B的結(jié)構(gòu)第三十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日用調(diào)入比例進行穩(wěn)定控制例(0,1,0)(1,0,0)(0,0,1)0.2860.286S