數(shù)值分析冪法

數(shù)值分析冪法第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四章代數(shù)特征值問題第一節(jié)特征值的估計和數(shù)值穩(wěn)定性第二節(jié)冪法和反冪法第三節(jié)求實對稱矩陣特征值的雅可比（Jacobi）方法第四節(jié)求矩陣全部特征值的QR方法第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日第一節(jié)特征值的估計和數(shù)值穩(wěn)定性一、格希格林圓盤(Gerschgorin)第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日二、特征值問題的穩(wěn)定性第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日第二節(jié)冪法和反冪法

一、冪法

求矩陣的按模最大的特征值與相應的特征向量。

它是通過迭代產生向量序列，由此計算特征值和特

征向量。第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日

第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日（4-8）

第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日定理4-2

證明

由遞推公式（4-8），有第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日兩種特殊情況第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日冪法小結第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日二、冪法的加速

因為冪法的收斂速度是線性的，而且依賴于比值,當比值接近于1時，冪法收斂很慢。冪法加速有多種，介紹兩種。第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日3、Rayleigh商加速第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日三、反冪法

反冪法是計算矩陣按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相應特征向量的最有效的方法。第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日可以證明反冪法計算格式第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日四、利用原點平移的反冪法求任一特征值和特征向量第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三節(jié)求實對稱矩陣特征值的雅可比（Jacobi）方法Jacobi方法是用來求實對稱矩陣的全部特征值和對應特征向量的一個古典算法。Jacobi方法的基本思想是對做一系列的正交相似變換，使其非對角元素收斂到零，從而使該矩陣近似為對角矩陣，得到全部特征值和特征向量。所用的矩陣為Givens矩陣，也稱Jacobi旋轉矩陣。第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日一、Givens矩陣第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日二、利用Givens變換陣將實對稱矩陣A相似化簡為對角陣Jacobi算法的基本思想:

第四十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日第四十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日(2)計算矩陣C第四十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日（3）計算矩陣A的特征向量第四十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日三、Jacobi法的改進（