【高三專(zhuān)題】高三高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案：離心率（三）

高三數(shù)學(xué)微專(zhuān)離心率（三）與向量相關(guān)的離心率問(wèn)題例1.已知橢圓，點(diǎn)，右焦點(diǎn)，橢圓上存在一點(diǎn)M，使得，且，則該橢圓的離心率為解：設(shè)，∵，.已知是橢圓與雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，是它們的∴，即，∴，∴①.∵，又，∴與共線(xiàn)，∴②.由①②得③，把③代入橢圓得，∴，∴，∴，故，∴，∴橢圓的離心率.練習(xí)1.設(shè)是橢圓上一點(diǎn),是其左,右頂點(diǎn),,則離心率解:由題意知,∴,∵,∴,∴,又,∴,∴,∴,∴,∴.例2.已知、分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),若雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)滿(mǎn)足且,則雙曲線(xiàn)的離心率為解析：

設(shè),則,∴,∴,由余弦定理可得,練習(xí)2.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，若，則。解：由題意可知，在中，，所以，又，所以有，即，進(jìn)而得出，又由橢圓定義可知，,解得所以.∵,∴,∴,∴.例3.雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)作一條直線(xiàn)與兩條漸近線(xiàn)分別相交于,兩點(diǎn),若,,則雙曲線(xiàn)的離心率為解:

如圖所示,連接,又由,且為的中點(diǎn),所以,因?yàn)?即,所以為線(xiàn)段的中點(diǎn),又由于為的中點(diǎn),所以,所以,所以,又由直線(xiàn)與是雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn),則,所以,則,所以雙曲線(xiàn)的離心率為練習(xí)3.設(shè)是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),若雙曲線(xiàn)右支上存在一點(diǎn)p，使（o為坐標(biāo)原點(diǎn)）,且,則雙曲線(xiàn)的離心率為解:取的中點(diǎn)，則由得，.在中，為的中位線(xiàn)，所以，所以.又由雙曲線(xiàn)定義知，且，所以，解得，故應(yīng)選D．例4.設(shè)是雙曲線(xiàn)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線(xiàn)的離心率為。解：因?yàn)椋?，所以，，）所?又，由雙曲線(xiàn)的定義得，所以，在中，

，即，所以

，所以．練習(xí)4.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)且與軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn),直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,若,則橢圓的離心率為。解:如圖,由題意,,,,∵,,∴,.∴,代入橢圓,,由,整理得:,解得,橢圓的離心率.例5.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在該曲線(xiàn)的右支上，且，，則雙曲線(xiàn)的離心率為解：由已知及雙曲線(xiàn)的定義可得，即，則，設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為，由余弦定理可得，即，所以，故雙曲線(xiàn)的離心率為.練習(xí)5.橢圓為橢圓的左、右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn),,且成等比數(shù)列,則橢圓的離心率為解析：

設(shè),則.由橢圓的定義得,即.又∵成等比數(shù)列,∴,∴,∴,整理得,即.五.典型例題（教師講解）1.一個(gè)公共點(diǎn)，且，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)過(guò)，若橢圓的離心率為，雙曲線(xiàn)的離心率為，則的最小值為解：

由已知可得，根據(jù)橢圓定義可知

，雙曲線(xiàn)定義知，即，即，那么

，所以

的最小值是.2.設(shè),分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn).若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn),使,且,則雙曲線(xiàn)的離心率為解:

由題可設(shè),,,則由雙曲線(xiàn)的定義得,又,∴在中,,∴.4.已知橢圓：的焦距為，左焦點(diǎn)為，若直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且,則該橢圓的離心率是解析：

，得，∴，設(shè)，∵，∴，∴,，∴，∴，∴，∴．5.已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，，，則該雙曲線(xiàn)的離心率為解:由正弦定理可得：不妨設(shè)，，,結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義有：，，雙曲線(xiàn)的離心率為：.6.設(shè)是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上,若且,則雙曲線(xiàn)的離心率為。解:由題意得,是直角三角形,由勾股定理得,即,∴,,且,解方程得.8.過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)作斜率為1的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)于兩點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為解析：設(shè)直線(xiàn)的方程為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，將直線(xiàn)的方程與漸近線(xiàn)方程聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以有，即，所以離心率。9.已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,若為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn),且,則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是解析：

由已知得,即,,因?yàn)?即,所以,又雙曲線(xiàn)的離心率為,所以雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是,選B.10.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別是.過(guò)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于兩點(diǎn).若，且，則雙曲線(xiàn)的離心率是解：連接，因?yàn)?，，設(shè)，則，，，.由，得，則，即，即，解得.所以，.在中，，得，所以雙曲線(xiàn)的離心率.10.設(shè)是雙曲線(xiàn)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線(xiàn)的離心率為解：因?yàn)榧?，設(shè)，則，取中點(diǎn)，可知，，設(shè)在第一象限，則，所以，所以.11.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)右焦點(diǎn)作其漸近線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為,交雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn),若,且,則雙曲線(xiàn)的離心率為解：依題可知,不妨設(shè)漸近線(xiàn)方程為,代入點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得,從而,又由雙曲線(xiàn)的定義可知,所以在中,由余弦定理得,化簡(jiǎn)得,即,所以離心率為.故選A.12.設(shè),是雙曲線(xiàn):(,)的左,右焦點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為,若,則的離心率為解析：

雙曲線(xiàn):(,)的一條漸近線(xiàn)方程為,∴點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離,即,∴,,∵,∴,在三角形中,由余弦定理可得,∴,即,即,∴,故選:C.13.設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,過(guò)且斜率為的直線(xiàn)交于,兩點(diǎn),若,則的離心率為.解：∵直線(xiàn)過(guò)且斜率為,∴直線(xiàn)的方程為,與雙曲線(xiàn)聯(lián)立,消去,可得,設(shè),,∴,,由,∴∴代入上式得,,消去并化簡(jiǎn)整理得,將代入化簡(jiǎn),得。解得.14.如圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于,;兩點(diǎn),且.若,且,則橢圓的離心率的取值范圍為.解：

如圖,連接,由,,得.由橢圓的定義,得,,進(jìn)而,于是,解得,故.由勾股定理得,從而,兩邊除以,得若記,則上式變成.由,得,即,所以,即.14.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),,分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上且位于第一象限,點(diǎn)在軸上的投影為,且有(其中),的連線(xiàn)與軸交于點(diǎn),與的交點(diǎn)恰為線(xiàn)段的中點(diǎn),則橢圓的離心率為解析：

設(shè),則,,由題意得的橫坐標(biāo)為,由,得,∴,∵,,∴直線(xiàn)的方程為,令,則,∴,∴直線(xiàn)的方程為,∵直線(xiàn)的方程為,∴點(diǎn),∵恰為線(xiàn)段的中點(diǎn),∴,整理可得,則.13.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)的左、右支于另一點(diǎn)，若，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為解：

因?yàn)?，由雙曲線(xiàn)的定義得，，解得，，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，可得，在中，由余弦定理得即，所以雙曲線(xiàn)的離心率.14.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,過(guò)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)于兩點(diǎn),且與其中一條漸近線(xiàn)垂直,若,則該雙曲線(xiàn)的離心率是()解析：

如圖所示,設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為,由于雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為,則,分別將直線(xiàn)方程與漸近線(xiàn)方程聯(lián)立得,,,則有,化簡(jiǎn)得到,則雙曲線(xiàn)離心率.15.設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作與軸垂直的直線(xiàn)交兩漸近線(xiàn)于兩點(diǎn)，且與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則該雙曲線(xiàn)的離心率為解析：曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，焦點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，所以，解得，又由，得，解得，所?16.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)的左、右支于另一點(diǎn),若，且，則雙曲線(xiàn)的離心率為解析：

由題意，，由雙曲線(xiàn)的定義可得，，可得，，又，，得四邊形為平行四邊形，所以，又，可得，在中，由余弦定理得，則，即，得，所以雙曲線(xiàn)的離心率.故選B.17.

如圖，已知雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切線(xiàn)為，切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左支交于點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線(xiàn)的離心率為解析：

設(shè)，由題意得，，，又和垂直，所以，即，所以，又，所以，所以離心率為.已知雙曲線(xiàn)的右支