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2023年廣東省揭陽市普通高校對(duì)口單招高等數(shù)學(xué)一自考測(cè)試卷(含答案)學(xué)校:________班級(jí):________姓名:________考號(hào):________
一、單選題(20題)1.當(dāng)x→0時(shí),3x2+2x3是3x2的()。A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小但不是等價(jià)無窮小D.等價(jià)無窮小
2.設(shè)y=sinx,則y'|x=0等于().A.1B.0C.-1D.-2
3.設(shè)y=sin(x-2),則dy=()A.A.-cosxdx
B.cosxdX
C.-cos(x-2)dx
D.cos(x-2)dx
4.A.A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對(duì)收斂D.無法判定斂散性
5.
6.設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值,則()
A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0
B.f"(x0)必定不存在
C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0
D.f"(x0)必定存在,不一定為零
7.
8.A.A.
B.
C.
D.不能確定
9.
10.
11.()A.A.
B.
C.
D.
12.設(shè)f(x)=x3+x,則等于()。A.0
B.8
C.
D.
13.
14.方程x2+y2-2z=0表示的二次曲面是.
A.柱面B.球面C.旋轉(zhuǎn)拋物面D.橢球面
15.
16.A.0B.1C.2D.不存在
17.
18.A.收斂B.發(fā)散C.收斂且和為零D.可能收斂也可能發(fā)散
19.設(shè)函數(shù)f(x)=sinx,則不定積分∫f'(x)dx=A.A.sinx+CB.cosx+CC.-sinx+CD.-cosx+C
20.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是()A.A.橢球面B.錐面C.柱面D.平面
二、填空題(20題)21.
22.
23.
24.二元函數(shù)z=x2+y2+1的極小值為_______.
25.設(shè)z=x2y2+3x,則
26.
27.
28.______。
29.
30.
31.
32.函數(shù)y=x3-2x+1在區(qū)間[1,2]上的最小值為______.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
三、計(jì)算題(20題)41.研究級(jí)數(shù)的收斂性(即何時(shí)絕對(duì)收斂,何時(shí)條件收斂,何時(shí)發(fā)散,其中常數(shù)a>0.
42.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間,并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線l的方程.
43.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度
u(x,y)=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.
44.
45.求曲線在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.
46.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.
47.當(dāng)x一0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量,則
48.
49.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi),以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示).設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為
S(x).
(1)寫出S(x)的表達(dá)式;
(2)求S(x)的最大值.
50.將f(x)=e-2X展開為x的冪級(jí)數(shù).
51.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).
52.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e-0.25p,當(dāng)p=10時(shí),若價(jià)格上漲1%,需求量增(減)百分之幾?
53.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值.
54.證明:
55.
56.
57.
58.求微分方程的通解.
59.
60.
四、解答題(10題)61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
五、高等數(shù)學(xué)(0題)71.設(shè)z=exy,則dz|(1,1)(1.1)=___________。
六、解答題(0題)72.
參考答案
1.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為無窮小階的比較。
由于,可知點(diǎn)x→0時(shí)3x2+2x3與3x2為等價(jià)無窮小,故應(yīng)選D。
2.A由于
可知應(yīng)選A.
3.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為微分運(yùn)算.
可知應(yīng)選D.
4.C
5.B
6.A若點(diǎn)x0為f(x)的極值點(diǎn),可能為兩種情形之一:(1)若f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),由極值的必要條件可知f"(x0)=0;(2)如f(x)=|x|在點(diǎn)x=0處取得極小值,但f(x)=|x|在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo),這表明在極值點(diǎn)處,函數(shù)可能不可導(dǎo)。故選A。
7.A
8.B
9.D
10.D
11.A
12.A本題考查的知識(shí)點(diǎn)為定積分的對(duì)稱性質(zhì)。由于所給定積分的積分區(qū)間為對(duì)稱區(qū)間,被積函數(shù)f(x)=x3+x為連續(xù)的奇函數(shù)。由定積分的對(duì)稱性質(zhì)可知
可知應(yīng)選A。
13.C
14.C本題考查了二次曲面的知識(shí)點(diǎn)。x2+y2-2z=0可化為x2/2+y2/2=z,故表示的是旋轉(zhuǎn)拋物面。
15.C解析:
16.D本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限與左極限、右極限的關(guān)系.
由于f(x)為分段函數(shù),點(diǎn)x=1為f(x)的分段點(diǎn),且在x=1的兩側(cè),f(x)的表達(dá)式不相同,因此應(yīng)考慮左極限與右極限.
17.A
18.D
19.A由不定積分性質(zhì)∫f'(x)dx=f(x)+C,可知選A。
20.B對(duì)照二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程可知,所給曲面為錐面,因此選B.
21.(-∞0]
22.00解析:
23.ln2
24.1;本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二元函數(shù)的極值.
可知點(diǎn)(0,0)為z的極小值點(diǎn),極小值為1.
25.2xy(x+y)+3本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).
由于z=x2y2+3x,可知
26.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為連續(xù)性與極限的關(guān)系,左極限、右極限與極限的關(guān)系.
27.>28.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限運(yùn)算。
所求極限的表達(dá)式為分式,其分母的極限不為零。
因此
29.
30.eab
31.
本題考查了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)
32.0本題考查的知識(shí)點(diǎn)為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值問題.
通常求解的思路為:
先求出連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的所有駐點(diǎn)x1,…,xk.
比較f(x1),f(x2),…,f(xk),f(a),f(b),其中最大(小)值即為f(x)在[a,b]上的最大(小)值,相應(yīng)的x即為,(x)在[a,b]上的最大(小)值點(diǎn).
由y=x3-2x+1,可得
Y'=3x2-2.
令y'=0得y的駐點(diǎn)為,所給駐點(diǎn)皆不在區(qū)間(1,2)內(nèi),且當(dāng)x∈(1,2)時(shí)有
Y'=3x2-2>0.
可知y=x3-2x+1在[1,2]上為單調(diào)增加函數(shù),最小值點(diǎn)為x=1,最小值為f(1)=0.
注:也可以比較f(1),f(2)直接得出其中最小者,即為f(x)在[1,2]上的最小值.
本題中常見的錯(cuò)誤是,得到駐點(diǎn)和之后,不討論它們是否在區(qū)間(1,2)內(nèi).而是錯(cuò)誤地比較
從中確定f(x)在[1,2]上的最小值.則會(huì)得到錯(cuò)誤結(jié)論.
33.
34.
35.
36.
37.
38.e2
39.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.
所給級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)情形,
40.
41.
42.
43.由二重積分物理意義知
44.
45.曲線方程為,點(diǎn)(1,3)在曲線上.
因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0.
如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在,則表明曲線y=f(x)在點(diǎn)
(x0,fx0))處存在切線,且切線的斜率為f′(x0).切線方程為
46.解:原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0,
47.由等價(jià)無窮小量的定義可知
48.
49.
50.
51.
列表:
說明
52.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p
∴當(dāng)P=10時(shí)價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,
∴當(dāng)P=10時(shí),價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%
53.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>
注意
54.
55.
56.由一階線性微分方程通解公式有
57.
58.
59.
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