線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性

線性系統(tǒng)理論系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性第一頁，共五十八頁，2022年，8月28日5.1Lyapunov意義下的運動穩(wěn)定性

5.1.1系統(tǒng)的運動與平衡系統(tǒng):,如果存在某個狀態(tài),滿足:則稱為系統(tǒng)的一個平衡點或平衡狀態(tài)。令則為系統(tǒng)的平衡點的集合。中的孤立點稱為系統(tǒng)的孤立平衡點。第二頁，共五十八頁，2022年，8月28日例5.1.1

考慮下述定常線性系統(tǒng)容易求得其平衡點集為顯然，即為三維空間中的超平面，是一個稠密集。第三頁，共五十八頁，2022年，8月28日5.1.2Lyapunov意義下的運動穩(wěn)定性定義的任一初態(tài)

為Lyapunov意義下穩(wěn)定的，如果對給定的任一實數(shù)定義

（Lyapunov意義下的穩(wěn)定性）

設:為系統(tǒng)

的一個平衡狀態(tài)，稱都對應地存在一個實數(shù)使得由滿足不等式

出發(fā)的受擾運動都滿足不等式

第四頁，共五十八頁，2022年，8月28日第五頁，共五十八頁，2022年，8月28日的穩(wěn)定等價于一致穩(wěn)定，但對時變系統(tǒng)，出現(xiàn)的受擾運動都是Lyapunov意義下為穩(wěn)定的。

的穩(wěn)定并不意味著其為一致穩(wěn)定，而且，從實際的角度而言，常要求一致穩(wěn)定，以便在任一初始時刻定義

（Lyapunov意義下的一致穩(wěn)定性）在上述Lyapunov意義下的穩(wěn)定性定義中，如果的選取無關(guān)，則進一步稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。對于定常系統(tǒng)，的選取只依賴于而與初始時刻

第六頁，共五十八頁，2022年，8月28日第七頁，共五十八頁，2022年，8月28日1、是Lyapunov意義下為穩(wěn)定的，即滿足上述關(guān)于穩(wěn)定的定義。定義

（Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性）動力學系統(tǒng):的一個平衡狀態(tài)2、對

出發(fā)的受擾運動都同時滿足不等式

稱為是漸近穩(wěn)定的，如果和任意給定的實數(shù)對應地存在實數(shù)使得由滿足不等式的任一初態(tài)第八頁，共五十八頁，2022年，8月28日第九頁，共五十八頁，2022年，8月28日和定義5.1.4（Lyapunov意義下的一致漸近穩(wěn)定性）

如果在上述Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性定義中，實數(shù)依賴于初始時刻，那么稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。的大小都不第十頁，共五十八頁，2022年，8月28日第十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日的一個平衡狀態(tài)，如果以狀態(tài)空間中的任一有限點定義

（Lyapunov意義下的大范圍漸近穩(wěn)定性）設都是有界的，且成立

則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為系統(tǒng)為初始狀態(tài)的受擾運動是大范圍漸近穩(wěn)定的。第十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日

（Lyapunov意義下的不穩(wěn)定定義）

設

的任一初態(tài)出發(fā)的運動滿足不等式的一個平衡狀態(tài)，如果對于不管取多么大的有限實數(shù)為系統(tǒng)，都不可能找到相應的實數(shù)

，使得由滿足不等式則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的。第十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日第十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日

（指數(shù)穩(wěn)定的定義）設的一個平衡狀態(tài)，如果對于任意的有限實數(shù)使得由滿足不等式

的任一初態(tài)出發(fā)的運動滿足不等式為系統(tǒng),都存在相應的實數(shù)和

則稱平衡狀態(tài)為指數(shù)穩(wěn)定的。第十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日

（全局指數(shù)穩(wěn)定的定義）

設的一個平衡狀態(tài)，如果對于任意的有限實數(shù)

的任一初態(tài)出發(fā)的運動滿足不等式為系統(tǒng)，都存在相應的實數(shù)和使得由滿足不等式

則稱平衡狀態(tài)為全局指數(shù)穩(wěn)定的。第十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日5.1.3關(guān)于穩(wěn)定性定義的幾點說明1.穩(wěn)定性的主體--平衡點

穩(wěn)定性是動力學系統(tǒng)的性質(zhì),穩(wěn)定性是針對系統(tǒng)的平衡狀態(tài)而言的,只有對于具有惟一平衡點或者是其所有平衡狀態(tài)為同時穩(wěn)定或不穩(wěn)定的系統(tǒng)言及系統(tǒng)穩(wěn)定與否才有意義.2.穩(wěn)定性定義中的初始時刻--一致性問題

初始時刻的影響決定了穩(wěn)定性是否一致的問題.第十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.穩(wěn)定性定義中的吸收域

在漸近穩(wěn)定性的定義中表征了穩(wěn)定平衡狀態(tài)所允許的初值擾動范圍,稱為平衡狀態(tài)的吸收域。它決定了漸近穩(wěn)定性的全局性和局部性，即當可取為整個維空間時，相應的穩(wěn)定性便是全局穩(wěn)定的，否則為局部漸近穩(wěn)定的。第十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日4.幾種穩(wěn)定性之間的關(guān)系5.Lyapunov穩(wěn)定性與微分方程解關(guān)于初值的連續(xù)性依賴性在微分方程理論中,解的適定性,即解的存在性,惟一性及它對初值的連續(xù)依賴性,是一個非常重要的內(nèi)容.第十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日5.1.4Lyapunov第二方法的主要定理Lyapunov把動力學系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法歸納為本質(zhì)不同的兩種方法,分別稱為Lyapunov第一方法(間接法:通過對線性化方程的穩(wěn)定性分析給出原非線性系統(tǒng)在小范圍內(nèi)穩(wěn)定性的信息)和第二方法(直接法:通過構(gòu)造一類似于“能量”函數(shù),分析它及其一次導數(shù)的定號性而獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關(guān)信息)第二十頁，共五十八頁，2022年，8月28日均具有一階連續(xù)偏導數(shù)。

中包含原點1.2.3.定義5.1.9

設為是定義在的一個封閉有限區(qū)域；上的一個標量函數(shù)。如果

關(guān)于和有界正定，即存在兩個連續(xù)的和滿足

非減標量函數(shù)并使得對任何和有:

第二十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日則稱上的一個（時變）正定函數(shù)。進一步，如果具有無窮大性質(zhì)。

是定義在，則稱正定函數(shù)第二十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日1.2.3.對于任何上的一個時不變正定函數(shù)。

定義5.1.10

設為中包含為定義在上的一個標量函數(shù)。如果原點的一個區(qū)域；對于向量的所有分量均有連續(xù)偏導數(shù)。有，則稱為定義在進一步，如果，則稱正定函數(shù)具有無窮大性質(zhì)。

第二十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日

如果存在包含原點的某鄰域有界正定函數(shù)的全導數(shù)在上為有界半負定的（或負定的），則該系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的（或一致漸近穩(wěn)定的）。

和定義在上的一個

，它沿著系統(tǒng)第二十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日上的一個有界正定函數(shù)定理5.1.2

如果存在一個具有無窮大性質(zhì)的定義在，它沿著系統(tǒng)

的導數(shù)在上一致有界一致負定，則該系統(tǒng)的零平衡點為全局一致漸近穩(wěn)定的。

第二十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日內(nèi)為半負定的（或負定的），則該系統(tǒng)的零平衡點為局部穩(wěn)定（或漸近穩(wěn)定）的。

如果在原點的某鄰域內(nèi)存在一個正定函數(shù)，它沿著系統(tǒng)的全導數(shù)在第二十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日

如果在原點的某鄰域內(nèi)存在一個正定函數(shù)，它沿著系統(tǒng)的全導數(shù)在內(nèi)為半負定的，但在內(nèi)在系統(tǒng)的非零解上非零，則該系統(tǒng)的零平衡點為漸近穩(wěn)定。第二十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日定理5.1.5

如果在上存在一個具有無窮大性質(zhì)的正定函數(shù)

，它沿著系統(tǒng)的全導數(shù)在

內(nèi)為負定的，則該系統(tǒng)的零平衡點為全局漸近穩(wěn)定的。

第二十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日

如果在原點的某鄰域內(nèi)為正定，則該系統(tǒng)的零解為不穩(wěn)定的。內(nèi)存在一個正定函數(shù)，它沿著系統(tǒng)的全導數(shù)在第二十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日5.2線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定5.2.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的特殊性

如果線性系統(tǒng)的零平衡點穩(wěn)定，則其一切其它非零平衡點亦穩(wěn)定。的零解為漸近穩(wěn)定的，則其必為全局漸近穩(wěn)定。

如果線性系統(tǒng)第三十頁，共五十八頁，2022年，8月28日

線性系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性與全局指數(shù)穩(wěn)定性等價。第三十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日上有界，即存在正常數(shù)5.2.2直接判據(jù)

設的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則系統(tǒng)為：1.穩(wěn)定的充要條件是2.一致穩(wěn)定的充要條件是上一致有界，即存在與無關(guān)的正常數(shù)，使得為系統(tǒng)在，使得

在第三十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日3.漸近穩(wěn)定的充要條件是

4.一致漸近穩(wěn)定的充要條件是存在與無關(guān)的正常數(shù)，使得

考慮下述時變系統(tǒng)第三十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日從而由定理5.2.1顯見該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的。下面將考察該系統(tǒng)的一致漸近穩(wěn)定性。據(jù)定理5.2.1，如果該系統(tǒng)為一致漸近穩(wěn)定，則存在正數(shù)容易求得其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為和滿足也即第三十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日其一致漸近穩(wěn)定性等價于指數(shù)穩(wěn)定性。

推論5.2.1

對于線性系統(tǒng)由于上式右端是一個正數(shù)，而左端收斂到因而為一個矛盾不等式。此即說明該系統(tǒng)為非一致漸近穩(wěn)定的。第三十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日一致漸近穩(wěn)定。

分段連續(xù)，則定理5.2.2

設穩(wěn)定。一致穩(wěn)定。2.1.3.漸近穩(wěn)定。4.第三十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日上的一個分段連續(xù)的實對稱矩陣函數(shù)，它稱為是一致有界和一致正定的，如果存在正實數(shù)5.2.3Lyapunov定理

設為定義在，使成立

第三十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日收斂，且為下述矩陣微分方程

引理5.2.1

是系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定的，為其狀態(tài)

為一致有界，一致轉(zhuǎn)移矩陣。正定的矩陣，則積分

對于任何的唯一解。

第三十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日有唯一的實對稱、一致有界和一致正定的矩陣解的元均為分段連續(xù)，一致有界的實函數(shù)。則原點平衡狀態(tài)為一致漸近穩(wěn)定的充要條件是對任意給定的一個實對稱、一致有界和一致正定的時變矩陣。

考慮線性時變系統(tǒng)為其唯一的平衡狀態(tài)，Lyapunov矩陣微分方程：。

第三十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日推論5.2.2

設為上的一致有界分段連續(xù)矩陣，且

則系統(tǒng)一致漸近穩(wěn)定。

第四十頁，共五十八頁，2022年，8月28日5.3線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

直接判據(jù)與Hurwitz定理

對于系統(tǒng)有以下結(jié)論：1.該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有非正實部，且其具有零實部的特征值為其最小多項式的單根，也即在矩陣A的Jordan標準型中，與A的零實部特征值相關(guān)聯(lián)的Jordan塊均為一階的。2.該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣的所有特征值均具有負實部。第四十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日

，則1.矩陣A稱為Hurwitz穩(wěn)定的，如果矩陣A的所有特征值均具有負實部。2.矩陣A稱為臨界Hurwitz穩(wěn)定的，如果矩陣A是非Hurwitz穩(wěn)定的，但它的所有特征值均具有非正實部，且其具有零實部的特征值為其最小多項式的單根。定義5.3.1

設第四十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日均大于0。這里，。Hurwitz定理

給定實系數(shù)多項式

其所有根均在復平面左半平面的充要條件是下述行列式

第四十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日因而該系統(tǒng)為非漸近穩(wěn)定的。由于矩陣本身為對角陣，即其Jordan標準型為其自身，而特征值0例5.3.1考慮下述定常線性系統(tǒng)顯然其特征值為和所在的兩個Jordan塊均為一階的，故該系統(tǒng)穩(wěn)定。第四十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日5.3.2Lyapunov定理

定常線性系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣方程

對任意給定的正定對稱矩陣都有唯一正定對稱解

矩陣方程有唯一正定對稱解的充要條件，是矩陣的特征值都有負實部。

第四十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日階正定對稱矩陣推論5.3.2

任意給定以及正數(shù)，矩陣方程

有唯一正定對稱解的充要條件是矩陣的每個特征值滿足不等式

第四十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日漸近穩(wěn)定的充要條件是，對任意給定的，當定理5.3.3

定常系統(tǒng)階非負定對稱矩陣能觀測時，矩陣方程

有唯一對稱正定解。

第四十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日

存在具有正實部特征值的階實矩陣和具有互異特征值的階反對稱矩陣，使得對于任何均有

對于任何具有正實部特征值的階實矩陣和具有互異特征值的階反對稱矩陣，系統(tǒng)

均為不穩(wěn)定的。5.3.3關(guān)于”凍結(jié)法”的討論第四十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日5.4二階動力學系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.4.1二階動力學系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述二階動力學系統(tǒng)的穩(wěn)定性由其自由系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全決定。如果令系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第四十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日5.4.2預備引理則系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

引理5.4.1

設均為階實方陣，且

1.

2.

3.

4.能觀

第五十頁，共五十八頁，2022年，8月28日5.4.3充分判據(jù)定理

二階動力系統(tǒng):漸近穩(wěn)定的充分條件是:第五十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日表達，其參數(shù)矩陣為例5.4.1考慮兩個衛(wèi)星交會時的控制問題。設目標衛(wèi)星