湖北省鄂州市梁子湖區(qū)2022年中考二?？荚嚁?shù)學試題（含答案與解析）

梁子湖區(qū)2022年中考第二次模擬考試試題

九年級數(shù)學

派注意事項:

1.本試卷共6頁，全卷滿分120分，考試時間為120分鐘，考生答題全部答在答題卡上,

答在本試卷上無效.

2.請認真核對監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再

將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上.

3.答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應的答案標號涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案，答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位

置，在其他位置答題一律無效.

4.作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.-2022的絕對值是（）

1

A.-2022B.2022CD.

-圭2022

2.下列計算正確的是（）

2a3.2=B.（一/）3=“6c.（2a）3=6/54

A.aaD.CL+。。

3.如圖所示的幾何體的俯視圖是（）

/正面

AB.D.

0ZDcS

4.下列幾何圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

A.角B.等腰三角形C.平行四邊形D.正八邊形

k

5.若點A（-3,a）,B（-1,h）,C（2,c）都在反比例函數(shù)y=一僅＞0）的圖象上，貝ija,h,c的大

小關系是（）

A.b>a>cB.c>h>aC.c>a>hD.a>h>c

6.如圖，用尺規(guī)作NAOB的平分線可以按如下步驟進行：①以點。為圓心，線段加為半徑畫弧，交OA

于點M,交于點N；②分別以點M,N為圓心，線段”為半徑畫弧，兩弧在/AOB的內(nèi)部相交于點

C；③畫射線OC.射線OC即為所求.以下關于線段〃?，〃的長說法正確的是（）

A.m>0,n>0B.m>0,nVgMNC.m>0,〃>gMND.以上都不對

7.為落實“雙減”政策，某校利用課后服務時間舉行趣味運動會.在直線跑道上，甲同學從A處勻速跑向

8處，乙同學從8處勻速跑往A處，兩人同時出發(fā)，到達各自終點后立即停止運動.設甲同學跑步的時間

為x（秒），甲、乙兩人之間的距離為y（米），y與x之間的函數(shù)關系如圖所示，則圖中f的值是（）

C.14D.16

8.如圖，點4,B,C,力在。。上，AOLBC于點E,若N8￡>C=150。，AE長為2+6，則弦BC的長為

()

A.2B.73C.2GD.4

9.次函數(shù)y=ar2+bx+c的部分圖像如圖，其對稱軸是直線x=l.下列結論：①abc>0；②按>4〃c；③4a+

2b+c>0；④3b—2c>0；⑤關于x的一元二次方程以2+法+c=。（〃/））有兩個不相等的實數(shù)根.其中正

確結論的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

10.如圖，在RtZ\ABC中，NC=90。，48=10,BC=8,點尸是AC上一點，且AF：FC=2：1,點E是

邊8c上一動點.將沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB的距離的最小值是（）

A.1.2B.1C.V2D,3.2

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.計算日斤的結果是.

12.學校志愿者協(xié)會組織圖書義賣活動，將所售款項捐贈給山區(qū)貧困學生.在這次義賣活動中，九（2）班

共售書50本，具體情況如下表：

售價（元/本）3456

數(shù)目（本）12111215

在該班所售圖書價格組成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)是.

13.一元二次方程6=0的兩根分別為即，及，則工3十也?的值為______.

14.如圖，菱形O4BC一個頂點A在反比例函數(shù)y=的圖象上，且AB=4,ZB=60°,則k的

15.在半徑為2的。。中,弦AB長為2百，點C為。O上一點且不與點A,8重合，則N4CB的度數(shù)為

16.如圖，正方形ABCD的邊長為8,E是邊BC上一動點(與B,C不重合)，連接AE.G是8c延長線

上一點，過點E作AE的垂線交/。CG的平分線于點F,則△<:￡：/面積的最大值是.

三、解答題(本大題共8小題，共72分)

17.先化簡，再求值：￡+2竺+1+(，+1)+口,其中機=2.

m~~\mm—1

18.如圖，正方形ABC。中，點E,F分別在邊AB,8c上，且AE=BF.連接OE,AF交于點G.

(1)求證：DELAF-

(2)若點E,F分別為邊AB,8c的中點，正方形ABC。的邊長為2，？.過點8作于點H,求

線段G4的長.

19.疫情防控，人人有責.為了增強未成年學生的疫情防控意識，某中學舉行了一次疫情防控知識競賽活

動(競賽成績?yōu)榘俜种?.數(shù)學興趣小組隨機抽取了部分學生的競賽成績進行了統(tǒng)計分析，制作了如下不

完整的頻數(shù)分布表.請根據(jù)表中信息完成下列問題：

競賽成績分組頻數(shù)頻率

A組（60SrV70）a0.20

8組（70±<80）140.28

C組（808<90）22b

。組(90姿100)40.08

(1)數(shù)學興趣小組共抽取了名學生競賽成績進行了統(tǒng)計分析，頻數(shù)分布表中。=,b

(2)若該校共有1500名學生參加了這次知識競賽活動，估計該校參賽成績不低于80分的有人：

(3)學校要從。組甲、乙、丙、丁四名學生中任選兩人擔任“疫情防控宣傳員”，請用畫樹狀圖或列表

法求恰好選到甲和乙的概率.

20.定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”，例如，點

(2,2)是函數(shù)y=2x—2的圖象的“等值點”

(1)函數(shù)y=2x+2的圖象的“等值點”坐標是；函數(shù))，=N—3X的圖象的“等值點”坐標

是;(直接填結果)

4

(2)設函數(shù)產(chǎn)一*>0),>=—》+匕圖象的“等值點”分別為點A,B,過點8作BCLx軸，垂足為

x

C.當AABC的面積為4時，求b的值.

21.如圖，梁子湖區(qū)天空之境景區(qū)為了方便游客行走準備修建一條南北走向的棧道CD,景區(qū)道路MN與

CO平行.在景區(qū)道路MN上的點A處測得棧道的一端C位于北偏西30。方向，沿景區(qū)道路MN向正北方向

行走6km到達點B,測得棧道的一端C位于北偏西45。方向，棧道的另一端。位于南偏西75。方向.

北

N

(1)求點B到點C距離；

(2)求棧道CO的長度.

22.如圖，PB是。。的切線，切點為點A在。。上，且用=PB.連接A。并延長交。。于點C,交直

線尸8于點E,連接OP.

(1)求證：M是。0的切線；

(2)求證:2ECPB=ACEB；

3

(3)若E8長為4,sinZAEP=~,求線段OP的長.

5

23.通過構造恰當圖形，可以對線段長度、圖形面積大小等進行比較，直觀地得到一些不等關系或最

值，這是“數(shù)形結合''思想的典型應用.

【理解應用】如圖1,AC±BC,CDLAB,垂足分別為C,D,E是AB的中點，連接CE.已知AO=a,

BD=b(0<a<b).

(1)線段CE=_,CD=_(用含a,b代數(shù)式表示)；

（2）比較大小：CD_CE（填“<”、"=”或“〉”）,并用含a,。的代數(shù)式表示該大小關系

為一;

【拓展應用】如圖2,在平面直角坐標系，中，點M,N在反比例函數(shù)y=’（x>0）的圖象上，橫坐標

X

分別為"2,n.設〃=加+〃，q=—+—,記1=—pq.

mn4

(3)當m=l,幾=4時，I=_；當m=3,〃=3時，1=.

（4）通過歸納猜想，可得/的最小值是請利用圖2構造恰當?shù)膱D形，說明你的猜想成立.

24.如圖1,平面直角坐標系xOy中，直線y=一；尤一2與x軸交于點A,與），軸交于點C.拋物線y='

24

/+〃x+c經(jīng)過點A、點C,且與x軸交于另一點8,連接BC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線上一動點.

①當點P在直線AC下方的拋物線上運動時，如圖2,連接4P,CP.求四邊形A8CP面積的最大值及此時

點戶的坐標；

②當點P在x軸上方的拋物線上運動時，過點尸作PMLr軸于點M,連接8P.是否存在點P,使

與△AOC相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.一2022的絕對值是（）

A.-2022B.2022C.-------

20222022

【答案】B

【解析】

【分析】直接根據(jù)絕對值的性質(zhì)計算即可得出答案.

【詳解】由題意得：|—2022|=—(—2022)=2022.

故選：B.

【點睛】本題考查了絕對值，解題關鍵是熟練掌握絕對值的性質(zhì).

2.下列計算正確的是()

A.2/-cr=aB.(—a2)3=abC.(2?)3=6a3D.15.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項、積的乘方、同底數(shù)罌的除法法則逐項分析判斷即可.

【詳解】解：A.2a3與"不是同類項，不能進行合并運算，該選項不符合題意；

B.(一標)3=_/,該選項不符合題意；

C.(24=8",該選項不符合題意；

54

D.a^a=a,該選項運算正確，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了合并同類項、積的乘方、同底數(shù)幕的除法法則等知識，解題關鍵是熟練掌握相關

運算法則.

3.如圖所示的幾何體的俯視圖是()

/正面

BcD.

人口^rrfl

【答案】B

【解析】

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在俯視圖中.

【詳解】解：從上往下看，得一個長方形，由3個小正方形組成.

故選B.

【點睛】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.

4.下列幾何圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()

A.角B.等腰三角形C.平行四邊形D.正八邊形

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念即可求得答案.

【詳解】解：A.角是軸對稱圖形不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意：

B.等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

D.正八邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

故選D.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，熟練掌握其概念是解題的關鍵.

k

5.若點4(—3,〃)，B(—1,b),C(2,c)都在反比例函數(shù)y=一(左>0)的圖象上，則a,b,c的大

小關系是()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)中&>0判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點橫坐標的特點即可

得出結論.

k

【詳解】?.?反比例函數(shù)y=2(Z〉0),

函數(shù)圖象的兩個分式分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)〉隨x的增大而減小.

V-3<0,-K0,

???A(-3,a),B(-1,b)位于第三象限，6z<0,b<0,

V-3<-l<0,

/.0>a>b.

V2>0,

???點。(2,c)位于第一象限，

/.c>0,

.\b<a<c.

故選：C.

【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函

數(shù)的解析式是解答此題的關鍵.

6.如圖，用尺規(guī)作NA08的平分線可以按如下步驟進行：①以點。為圓心，線段機為半徑畫弧，交OA

于點M,交OB于點N；②分別以點M,N為圓心，線段〃為半徑畫弧，兩弧在NAOB的內(nèi)部相交于點

C；③畫射線OC.射線OC即為所求.以下關于線段相，〃的長說法正確的是()

A.m>0,n>0B./n>0,n<-MNC.m>0,〃>；MND.以上都不對

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)基本作圖（作一個角的平分線）的方法和步驟進行判斷.

【詳解】解：利用尺規(guī)作圖作一個角的平分線，其步驟為：

第一步，以點0為圓心，任意長度為半徑畫弧，交0A于點M,交08于點N；

第二步，分別以點M,N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在NA0B的內(nèi)部相交于點C；

2

第三步，畫射線0C,射線0C即為/A08的平分線.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖（作一個角的平分線）的知識，熟練掌握基本尺規(guī)作圖方法和步驟是解

題關鍵.

7.為落實“雙減”政策，某校利用課后服務時間舉行趣味運動會.在直線跑道上，甲同學從A處勻速跑向

B處，乙同學從B處勻速跑往4處，兩人同時出發(fā)，到達各自終點后立即停止運動.設甲同學跑步的時間

為x（秒），甲、乙兩人之間的距離為y（米），y與x之間的函數(shù)關系如圖所示，則圖中r的值是（）

5040

A.—B.—C.14D.16

33

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到甲20秒跑完80米，從而可以求得甲的速度，再根據(jù)圖

象中的數(shù)據(jù)，可知甲、乙跑8秒鐘跑的路程之和為80米，從而可以求得乙的速度，然后用80除以乙的速

度，即可得到f的值.

【詳解】由圖象可得,

甲的速度為80+20=4（米/秒），

乙的速度為：80-8-4=10-4=6（米/秒）,

8040

則nl片一=——

63

故選：B.

【點睛】本題考查函數(shù)圖像，解答本題的關鍵是求出甲、乙的速度.

8.如圖，點A,B,C,。在。。上，40J_BC于點￡,若NBDC=150。，AE長為2+6，則弦BC的長為

()

A.2B.6C.D.4

【答案】A

【解析】

【分析】連接AB,AC,OB,OC,可得△08C是等邊三角形，N8OE=30。，設。。的半徑為r,求出OE

=—r，然后根據(jù)AE長求出，即可解決問題.

2

【詳解】解：如圖，連接48,AC,OB,OC,

VZBDC=150°,

.??ZBAC=180°-150°=30°,

JZBOC=2ZBAC=60°,

OB=OC,

???△08C是等邊三角形，

OELBC,

；?/BOE=30。,

設。。的半徑為r,則OA=OB=r,

???在"kOM中，BE=-f

2

?：AE=OA+OE=r+—r=2+6,

2

/.r=2,即08=2,

；.BC=0B=2,

故選：A.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，作出合適

的輔助線求出半徑r是解題的關鍵.

9.次函數(shù)y=or2+6x+c的部分圖像如圖，其對稱軸是直線x=l.下列結論：?abc>0；②〃>4“c；③4a+

2h+c>0；④3b—2c>0；⑤關于x的一元二次方程五+云+仁=〃(a#0)有兩個不相等的實數(shù)根.其中正

確結論的個數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】利用拋物線的圖像與性質(zhì)逐一分析即可，由開口方向可以判斷①，由對稱軸可以判斷②，令42

可以判斷③，令4-1可以判斷④，聯(lián)合直線y=a可以判斷⑤.

【詳解】解：???圖像開口向下，

:對稱軸是直線41,

.一=1,

2a

?b=-2aX),

,圖像與y軸交點在y軸正半軸,

Ac>0,

.\?ahc>0錯誤；

由圖像可知拋物線與x軸有兩個交點，

**?△=b1—4ac>0，

???②〃>4々。成立；

*/當x=2時，y>0,

???③4Q+2/?+CX）成立；

由圖可知，當x=T時，yVO,

**?ci-b+c^O,

：.---h+c<Q,

2

.?.④36-2c>0成立；

'：a<0,

.??拋物線與直線y=”有兩個交點，

⑤關于x的一元二次方程ax2+bx+c=a{a關0）有兩個不相等的實數(shù)根成立，

故選：C.

【點睛】本題考查了拋物線的圖像與性質(zhì)，解題關鍵是能根據(jù)圖像的開口方向、圖像與坐標軸的交點等情

況求出解析式中的字母參數(shù)的取值條件.

10.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=10,8c=8,點尸是AC上一點，且4F：FC=2：1,點E是

邊8c上一動點.將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊的距離的最小值是（）

A.1.2B.1C.72D.3.2

【答案】A

【解析】

【分析】延長FP交AB于M,當FP_LAB時，點尸到AB的距離最小，證明△AFMs/vlBC,根據(jù)相似比

的性質(zhì)得到竺=也，求出尸M,即可解決問題.

ABBC

【詳解】解：如圖，延長FP交AB于當尸尸_LA8時，點尸到A8的距離最小.（點尸在以尸為圓心CF

為半徑的圓上，當尸尸，48時，點尸到48的距離最?。?/p>

VZA=ZA,ZAMF=ZC=90°f

.AF_FM

?no,BC=8,ZC=90°,

：.AC=6f

9：AF：FC=2：1,

：.CF=2fAF=4t

,4__FM_

"T0--8-，

解得：FM=3.2,

??,將沿直線EF翻折，點C落在點尸處，

???PF=CF=2,

；.PM=FM?PF=L2,

???點尸到邊43距離的最小值是1.2.

故選：A.

【點睛】本題考查翻折變換、最短問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理.垂線段最短等知識，解題

的關鍵是正確找到點P位置.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.計算而豕的結果是一一.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】J（—3）2+3|=3,

故答案為3.

【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)值=同是解題的關鍵.

12.學校志愿者協(xié)會組織圖書義賣活動，將所售款項捐贈給山區(qū)貧困學生.在這次義賣活動中，九（2）班

共售書50本，具體情況如下表：

售價（元/本）3456

數(shù)目（本）12111215

在該班所售圖書價格組成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)是.

【答案】5元

【解析】

【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念求解.

【詳解】解：???共有50本圖書，

.?.從小到大排列第25本和第26本圖書價格的平均值為中位數(shù)，

即中位數(shù)為：二=5（元）.

2

故答案為：5元.

【點睛】本題考查了中位數(shù)的知識，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個

數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的

平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

13.一元二次方程x2—2x—6=0的兩根分別為XI,X2,則XF+Q?的值為.

【答案】16

【解析】

【分析】利用根與系數(shù)的關系得到兩根的和與積，再將所求代數(shù)式變形轉(zhuǎn)換為積與和的形式即可求解.

【詳解】解：由題可知：%+赴=2,菁3=一6，

=（玉+/一2X1?r2

=22-2x（-6）

=16.

故答案為：16

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，完全平方公式的變形，解題關鍵是牢記根與系數(shù)的關

系，即以2+灰+「=0（0。0）的兩根之和為—2,兩根之積為￡.

aa

k

14.如圖，菱形OABC的一個頂點A在反比例函數(shù)丁=一（％。0）的圖象上，且AB=4,ZB=60°,則k的

x

值為.

【答案】473

【解析】

【分析】過點A作AO_LOC于。，連接AC,根據(jù)題意可得AABC和△AOC為等邊三角形，根據(jù)等邊

k

三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求得OO,AD，則可求得點A的坐標，代入反比例函數(shù))，=—(%*0)可求

x

得％的值.

【詳解】解：過點A作ADLOC于。，連接AC,如圖所示，

由菱形043C,AB=4,NB=60。,

.?.AB=O4=3C=0C=4,ZB=ZAOC=60°,

:.^ABC和△AOC為等邊三角形，

/.OD=-OC=2,

2

在放△AOD中，ZADO=90°,AO=4,OD=2,

AD=yjACf-OD2="2-22=2G，

，點A的坐標為(2,2J5),

2V3=1,解得左=4百，

二”的值為46，

故答案為：4坦.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理，解

題關鍵求出點A的坐標.

15.在半徑為2的。。中，弦AB長為2百，點C為。。上一點且不與點A,8重合，則NACB的度數(shù)為

【答案】60?；?20°

【解析】

【分析】如圖，當點。在優(yōu)弧A8上時，作。D_L4?于D，根據(jù)垂徑定理得

2

在RlAAOD中利用銳角三角函數(shù)可求出NQW=30°,則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到乙4。8=120。，然后

根據(jù)圓周角定理求解，當點C在劣弧AB上時，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖，當點。在優(yōu)弧上時，作OD_LAB于。，則AD=6O=LAB=4X2K=K

22

在RtAAOD中，=AD=6

..cosNOAZ）------——，

OA2

:.ZOAD=30°,

???ZAOB=180°-2ZOAB=120°,

ZACB=-ZAOB=GO0,

2

當點C在劣弧AB上時，ZACB=1800-ZACB=120°,

綜上所述，N4cB的度數(shù)為60°或120°.

故答案為:60?；?20°

【點睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形、三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，在

同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；垂直于弦的直徑平分

弦，且平分弦所對的兩條弧；圓內(nèi)接四邊形的對角互補；會運用垂徑定理構建直角三角形，記住特殊角的

三角函數(shù)值是解題關鍵.

16.如圖，正方形ABCD的邊長為8,E是邊BC上一動點（與8,C不重合），連接AE.G是BC延長線

上一點，過點E作AE的垂線交NOCG的平分線于點凡則面積的最大值是.

【解析】

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明出尸G=CG,設CE=x,則BE=8-x,再利用同角的余

角相等，判斷出N84E=NFEG,進而得出得出一=——，然后求出FG=8-x,再根據(jù)

EGFG

三角形的面積公式求出△日?小的面積，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值.

???四邊形A8CQ是正方形，

.??ZDCB=ZDCG=90°,

???"是NOCG的角平分線，

:.NFCG=45。,

?：FG1.BG,

：.NCFG=45。,

：.FG=CG,

設CE=x,則BE=8?.T,

：.EG=CE+CG=x+FG,

???四邊形ABC。是正方形，EF±AEf

：.ZB=ZG=ZAEF=90°f

：.ZBAE+ZAEB=90°,NAEB+NFEG=90。,

???ZBAE=ZFEG9

VZ^=ZG=90°,

.?.△BAE^AGEF；

,ABBE

.?----------,

EGFG

.88—x

"x+FG~~FGJ

AFG=8-x,

???SAECf=gxCExFG=gxx?(8-x)=-g(/-8x)=-g(x-4)2+8,

v-i<o,

.?.當EC=4時，SAECF最人=8.

故答案為：8.

【點睛】主要考查了正方形的性質(zhì)，角平分線，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式以及二次函

數(shù)求最值，判斷出△BAEs^GEF是解本題的關鍵.

三、解答題(本大題共8小題，共72分)

nr+2m+

17.先化簡，再求值：L(ll)+^，其中m=2.

m~~\m+m—1

2/71-3

【答案】上一，1

m-l

【解析】

【分析】把分式的除法轉(zhuǎn)化為乘法,進行約分，再計算分式的加法，最后代入相應的值運算即可.

【詳解?】解一原式=,叱1、.上-+匚

+m+1m—1

mni—3

=-----+------

m-1m-1

2m-3

=-------?

"2-1

2x2-3

當機=2時，原式=--------=1.

2-1

【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，解答的關鍵是對分式相應的運算法則的掌握與應用.

18.如圖，正方形A8CZ)中，點E,尸分別在邊A8,BC上，且4E=BF.連接DE,A/交于點G.

(1)求證：DEA.AF；

(2)若點E,產(chǎn)分別為邊AB,BC的中點，正方形ABC。的邊長為2逐.過點8作BH_LAF于點H,求

線段GH的長.

【答案】(1)見解析(2)2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，運用互余的性質(zhì)，證明絲△ABF,后利用互余性質(zhì)證明即可.

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用三角函數(shù)，平行線分線段成比例定理求解即可.

【小問1詳解】

?.?四邊形4BC。是正方形，

.,.AD=BA,NDAE=NABF=90°,

；AE=BF,

：.^DAE^/\ABF(SAS),

ZEAG=ZADG,

,：NE4G+/GA￡>=90°,

???ZADG+ZGA￡>=90°,

JZAGD=90°,

：.DE1.AF.

【小問2詳解】

?/四邊形ABC。是正方形，

：.AD=BA=BCtNDAE=/ABF=90°,

??,點E,尸分別為邊48,BC的中點，正方形A8CO的邊長為2石.

..AE=BF=—AB=—BC=\/5,

22

.,.△DAE^AABF(SAS),

：.ZEAG=ZADGf

VZEAG+ZGAD=90°,

???N4OG+NG4&90。，

???ZAGD=90°f

：.DE±AF,

AEEG1

tanZADE=tanZEAG=-----=------

ADAG2

???EG2+AG2=5,

解得AG=2,

：.EG//BH,

.AEAG

??,一一.,，

EBGH

"：AE=EB,

：.GH=AG=2..

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，平行線分線段成比例定理，熟

練掌握正方形的性質(zhì)，靈活運用三角函數(shù)，平行線分線段成比例定理是解題的關鍵.

19.疫情防控，人人有責.為了增強未成年學生的疫情防控意識，某中學舉行了一次疫情防控知識競賽活

動(競賽成績?yōu)榘俜种?.數(shù)學興趣小組隨機抽取了部分學生的競賽成績進行了統(tǒng)計分析，制作了如下不

完整的頻數(shù)分布表.請根據(jù)表中信息完成下列問題：

競賽成績分組頻數(shù)頻率

4組（60%<70）a0.20

B組（70SrV80）140.28

C組（80夕＜90）22b

。組(90人100)4008

(1)數(shù)學興趣小組共抽取了名學生的競賽成績進行了統(tǒng)計分析，頻數(shù)分布表中。=,b

(2)若該校共有1500名學生參加了這次知識競賽活動，估計該校參賽成績不低于80分的有人；

(3)學校要從。組甲、乙、丙、丁四名學生中任選兩人擔任“疫情防控宣傳員”，請用畫樹狀圖或列表

法求恰好選到甲和乙的概率.

【答案】(1)50,10,0.44

(2)780(3)-

6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)8組的頻數(shù)與頻率求得總數(shù)，根據(jù)總數(shù)求得。力；

(2)用1500乘以C,。所占比例的和，即可求解；

(3)根據(jù)列表法求概率即可求解.

【小問1詳解】

4

解：總數(shù)為：——=50(人)，

0.08

0=50—14—22-4=10,h=1-0.2-0.28-0.08=0.44,

故答案為：50,10,0.44；

【小問2詳解】

1500x^^=780

50

故答案為：780；

【小問3詳解】

列表如下，

甲乙丙T

甲甲乙甲丙甲丁

乙乙甲乙丙乙「

丙丙甲丙乙丙丁

T丁甲「乙丁丙

恰好選到甲和乙的概率為2二=:1

【點睛】本題考查了頻數(shù)分布表，樣本估計總體，列表法求概率，掌握以上知識是解題的關鍵.

20.定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”，例如，點

(2,2)是函數(shù)>=2%—2的圖象的“等值點”

(1)函數(shù)y=2x+2的圖象的“等值點”坐標是；函數(shù)y=N—3x的圖象的“等值點”坐標

是；(直接填結果)

4

(2)設函數(shù)產(chǎn)一(x>0),y=—圖象的“等值點”分別為點A,B,過點B作BCLx軸，垂足為

x

C.當△48C的面積為4時，求6的值.

【答案】(1)(—2,-2)；(0,0),(4,4)

(2)8或-4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“等值點”的定義計算即可；

(2)先根據(jù)“等值點”的定義求出A、B、C的坐標，再表示出△ABC的面積列方程，求解即可.

【小問1詳解】

(1)當y=2x-\-2=x時，y=x=-2

...函數(shù))，=2%+2的圖象的“等值點”坐標是(-2,-2)

當y=x2—3x=x時，解得引=0,*2=4,

/.y=x=0或y=x=4

函數(shù)y=/—3x的圖象的“等值點”坐標是(0,0),(4,4)

故答案是：(-2,-2),(0,0),(4,4)；

【小問2詳解】

4

當y=-=x(x>0)時，y=x=2

x

4

.?.函數(shù)y=—(X>0)的圖象的“等值點”A坐標是(2,2)

X

,,,b

當y=_x+8=x時，y-x--

hb

.?.函數(shù)y=一%+人的圖象的“等值點”8坐標是(耳,,)

TBCLx軸，垂足為C.

點坐標為(2,0)

2

BC=|||,點4到BC的距離為2-1

「\bcbA

S——x—x2—=4

△AAR8Cc222

整理得忙一叫=32

〃一4。=±32

解得4=8,仇=-4.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)與新定義“等值點''綜合運用、解一元二次方程，綜

合性較強，解題關鍵是理解并運用新定義.

21.如圖，梁子湖區(qū)天空之境景區(qū)為了方便游客行走準備修建一條南北走向的棧道景區(qū)道路MN與

C。平行.在景區(qū)道路上的點A處測得棧道的一端C位于北偏西30。方向，沿景區(qū)道路MN向正北方向

行走6km到達點B,測得棧道的一端C位于北偏西45。方向，棧道的另一端。位于南偏西75。方向.

北

N

(1)求點B到點C的距離；

(2)求棧道C。的長度.

【答案】(1)℃+3夜)km

⑵6>/3km

【解析】

【分析】⑴過C作CELAB于E,在Rt/\ACE得至?。軦E=#>CE，在Rt/XBCE得到

BC=gCE,CE=BE,即可利用求出CE的長，進而求出點B到點C的距離.

(2)先求得ZCBD=60°,ADCF=45°,再過力作DF±BC于F,解即可.

【小問1詳解】

過C作CE_LAB于E

由題意得：NCBE=45°,NC4E=30°,AB=6

CECE

.?.在RrZXACE中，AE==辰E

tanZCAEtan30°

CECE/CE_CE

------------(r=OCE

在RtABCE中BE=BC=-

tanNCBEtan45°sinZCBEsin45°

AB=AE—BE=辰E-CE=6

解得CE=3也+3

.?.點8到點C的距離BC=也CE=3娓+3V2

小問2詳解】

過。作QELBC于F

由題意得：NOB4=75°,NBCE=45。,

NCBZA60。，ZDCF^45°,

：.CF=DF=y^BF，CD=ODF

BC=CF+BF=3娓+3近

???V35F+BE=3指+30

解得8尸=30

/.DF=CBF=3在

，CD=&DF=

【點睛】此題考查了三角函數(shù)的實際應用中的方向角問題.注意準確構造直角三角形是解此題的關鍵.

22.如圖，尸8是。。的切線，切點、為B,點A在。O上，且以=PB.連接4。并延長交。。于點C,交直

線P8于點E,連接。P.

P

(1)求證：外是。。的切線；

(2)求證：2ECPB=ACEB；

3

(3)若EB長為4,sin/A"=m，求線段0P的長.

【答案】(1)見解析(2)見解析

⑶3亞

【解析】

分析】(1)連接。&證△OAPg^OBP,求出/。42=/。82=90。即可；

ECEB

(2)連接BC,證明OP〃BC,可得——=—，然后根據(jù)OC=?；AC可得結論；

OCPB2

(3)首先根據(jù)EB的長和sin/AEP的值求出0E和。8,進而可得EC的值，然后利用(2)中結論求出

PB即可解決問題.

【小問1詳解】

證明：連接08,

'JPA^PB,PO=PO,OA=OB,

:.△0AP940BP(SSS),

：.ZOAP=ZOBP,

「PB是。。的切線，

：.PBA_OB,即NOBP=90°,

.?.NOAP=90°,即B4_L0A,

朋是。。的切線；

【小問2詳解】

連接BC,則NA0B=2NACB,

:△OAP絲△OBP,

，ZAOP=ZBOP,

：.ZA0B^2ZA0P,

：.ZACB=ZAOP,

：.OP//BC,

.ECEB

??一，

OCPB

'：OC=yAC,

?：2ECPB=ACBE；

【小問3詳解】

VZ(9BE=90°,

設O5=3JG則0E=5x,

：.EB=4x,

,EB4

cosZAEP=---=—,

OE5

VEB=4,

AOE=5,OB=OC=3,

,EC=2,

由(2)可得：2ECPB=AC?EB,即2x2PB=6x4,

JPB=6,

■-0P=yloB2+PB2=V32+62=3石?

【點睛】本題考查了切線判定和性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定

理，解直角三角形以及勾股定理等知識，能夠作出合適的輔助線進行推理判斷是解題的關鍵.

23.通過構造恰當?shù)膱D形，可以對線段長度、圖形面積大小等進行比較，直觀地得到一些不等關系或最

值，這是“數(shù)形結合''思想的典型應用.

【理解應用】如圖1,ACVBC,CDLAB,垂足分別為C,D,E是AB的中點，連接CE.已知AZ）=a,

BD=b（0<a<h）.

（1）線段CE=_,CD=_（用含a,b的代數(shù)式表示）：

（2）比較大小：CD_CE（填“<”、"=”或）,并用含a,b的代數(shù)式表示該大小關系

為一；

【拓展應用】如圖2,在平面直角坐標系xOy中，點M,N在反比例函數(shù)丁=4（尤>0）的圖象上，橫坐標

X

分別為"?，n.設〃=加+〃，q=—F—,記I=一pq.

mn4

（3）當"2=1,"=4時，I=_；當加=3,〃=3時，/=__；

（4）通過歸納猜想，可得/的最小值是—.請利用圖2構造恰當?shù)膱D形，說明你的猜想成立.

圖1圖2

【答案】(1)----,s[ab：(2)<,a+