湖北省武漢市江漢區(qū)八年級下期中數(shù)學試卷

學年湖北省漢市江漢八年級（下期中數(shù)學試一、選題（共小題，每題分，共30分）下列題中有且只一個正確答案請在答題卡將正確案的標號涂.1．（分）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）A．

B．

．

D．2．（分）以下列各組數(shù)為長度的線段，不能構成直角三角形的是（）A．234．11

．6，810D．，12，3．（分）下列各式計算正確的是（）A．

B．

．

D．4．（分）直角三角形的兩條直角邊的長分別為和5，則斜邊長是（）A．3B．．

D．95．（分）已知四邊形ABCD，對角線AC，交于點，下列條件能判定它是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，OB=OD

B．，OA=OCC．AB=BCCD=DAD，∥BC6．（分）若菱形兩條對角線的長分別為6和8則這個菱形的邊長為（）A．5B．．20D147．（分）下列說法錯誤的是（）A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．對角線相等的四邊形是矩．對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形D鄰邊相等的矩形是正方形8．（分）下列命題的逆命題是真命題的是（）A．對頂角相等．若ab，則﹣﹣．若a＞0則

D全等三角形的面積相等9．（分）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E為AD邊中點，若△OED的周長為，則△ABD的周長是（）A．3B．．12D241頁

10．3分）如圖，在矩ABCD中，對角線，BD交于點E，DFAC于F點，若∠ADF=3∠FDC，則∠的度數(shù)是（）A．30°B．．50°D55°二、填題（共6小題，每小3分，共分）11．（分）若二次根式

有意義，則x的取值范圍是．12．（分）已知平行四邊形ABCD中，∠A∠B=50°，則∠

．13．（分）+

=

．14．（分）順次連結菱形各邊中點所得的四邊形必定是．15．（分）如圖，已知平行四邊形，平分∠BAD交邊BC于點E，若BE=5cm，EC=6cm，則平行四邊形的周長是

cm．16．（分）如圖，在△中，∠BAC為鈍角，AFCE都是這個三角形的高，P為AC的中點，若∠B=40°，則∠EPF=

．三、解題（共5題，共分）答題卡指定置上寫必要的演算程或證明過程17．（分）計算下列各題（1）（2）18．10分）已知平行四邊形對角線ACBD交于點O，線段過點O交AD于點E，交BC于點F．求證：OE=OF．19（10分）如圖正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均1，在如圖的網(wǎng)格格點處取A，，C三點，使

，BC=

，AC=

．（1）請你在圖中畫出滿足條件的△ABC；（2）求△ABC的面積；（3）直接寫出點A到線段BC的距離．20（分）在一條南北向的海岸邊建有一港OAB兩支艦隊從O點出發(fā)，分別前往不同的方向進行海上巡查知A艦隊以15海里/時的速度向北偏東40°向行駛，B艦隊以8海里/時的速度向另一個方向行駛，小時后，、B兩支艦隊相距34海里，你知道B艦隊是往什么方向行駛的嗎？21．12分）已知矩形，把BCD沿BD翻折，得△BDG，，所在的2頁

22直線交于點E，過點作DF∥交BC所在直線于點F．（1）如圖1，AB＜，①求證：四邊形BEDF是菱形；②若AB=4，AD=8，求四邊形的面積；（2）如圖2，若AB=8，AD=4，請按要求畫出圖形，并直接寫出四邊形BEDF的面積．四、填題（共4小題，每小4分，共分）22．（分）邊長為a的等邊三角形的面積為．23．（分）若2x﹣1=

，則x﹣x=

．24．（分）如圖，在菱形ABCD中，AB=6∠A=135°點P是菱形內部一點，且滿足S

=

，則PC+PD的最小值是．25．4分）如圖，已知ABC中，

cm，BAC=120°，P在BC上從C向B運動，Q在AB、AC上沿B→A→C運動，P、分別從點C、同時出發(fā)，速度均為1cm/s，當其中一點到達終點時兩點同時停止運動，則當運動時間t=s時，△PAQ為直角三角形．五、解題（共3題，共分）答題卡指完置上寫必要的演算程或證明過程26．（分）（①若

有意義，則化簡

=

．②化簡：a

2

=

．（2）已知|7﹣9m|+（3）

2

=9m﹣﹣

，求（nm）

．27．12分）已知在菱ABCD中，∠ABC=60°，、N分別是邊BCCD上的兩個動點，∠MAN=60°，AM、AN分別交BD于、F兩點．（1）如圖1，求證：CN=BC；（2）如圖2，過點E作EG∥AN交DC延長線于點G，求證：EG=EA；（3）如圖3，若AB=1，∠AED=45°，直接寫出EF的長．28．（分）如圖，在直角坐標系中，0，3），（3，0，點為射線OB上一動（D不與OB重合以AD為邊在AD右側作正方形ADEF連BF、AE相交于點G．3頁

22222222222222（1）若點D坐標為（+，0，且a+，求F點坐標；（2）在（1）的條件下，AG的長；（3）如圖2，當D點在線段延長線上時，若BF=14，求BG的長．學湖省漢江區(qū)年（）中學卷參考答案與試題解析一、選題（共小題，每題分，共30分）下列題中有且只一個正確答案請在答題卡將正確案的標號涂.1．（分）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）A．

B．

．

D．【分析斷一個二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據(jù)最簡二次根式的定義進行或直觀地觀察被開方數(shù)的每一個因（或因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2，且被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)是多項式時要先因式分解后再觀察．【解答】解：A、

=3故A錯誤；B、

是最簡二次根式，故B正確；、D

=2=

，不是最簡二次根式，故C錯誤；，不是最簡二次根式，故D錯誤；故選：B．【點評題考查了最簡二次式的定義判斷最簡二次根式的過程中要注意：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．2．（分）以下列各組數(shù)為長度的線段，不能構成直角三角形的是（）A．234．11

．6，810D．，12，【分析欲求證是否為直角三角形利用勾股定理的逆定理即可這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解答】解：A、2+3=13≠，故不是直角三角形，故正確；B、+1=2=），故是直角三角形，故錯誤；、6

2

+8

2

=100=10

2

，故是直角三角形，故錯誤；4頁

222222D5+12=169=13，故是直角三角形，故錯誤．故選：A．【點評本題考查勾股定理的逆定理的應用判斷三角形是否為直角三角形已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．3．（分）下列各式計算正確的是（）A．

B．

．

D．【分析根據(jù)同類二次根式的定義二次根式的乘法二次根式的性質逐一計算即可得．【解答】解：A、2

﹣

=

，此選項錯誤；B、、

=

=

，此選項正確；，此選項錯誤；D

、

不是同類二次根式，不能合并，此選項錯誤；故選：B．【點評本題主要考查二次根式的混合運算解題的關鍵是熟練掌握二次根式的混合運算順序和運算法則．4．（分）直角三角形的兩條直角邊的長分別為和5，則斜邊長是（）A．3B．．

D．9【分析】利用勾股定理即可求出斜邊長．【解答】解：由勾股定理得：斜邊長為

，故選：．【點評題考查了勾股定理練掌握勾股定理理解勾股定理的內容是關鍵．5．（分）已知四邊形ABCD，對角線AC，交于點，下列條件能判定它是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，OB=OD

B．，OA=OCC．AB=BCCD=DAD，∥BC【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法，一一判斷即可解決問題．【解答】解A、∵AB∥，∴BAO=DCO，∠∠CDO，∵OB=OD，∴△ABO△DCO，∴OA=OC，，能判定四邊形ABCD是平行四邊形，正確；5頁

B、AB=CD，OA=OC不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，錯誤；、AB=BC，CD=DA不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，錯誤；DAB=CD，AD∥不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，錯誤；故選：A．【點評此題主要考查了平行四邊形的判定關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理．6．（分）若菱形兩條對角線的長分別為6和8則這個菱形的邊長為（）A．5B．．20D14【分析菱形的對角線垂直且互相平分四個邊長相等兩條對角線的一半和菱形的邊構成直角三角形，從而可求出菱形的邊長．【解答】解：∵菱形兩條對角線的長分別為和8．∴菱形兩條對角線的一半長分別為3和4．∴菱形的邊長為：

=5故選：A．【點評本題考查菱形的性質知道菱形的對角線垂直且互相平分四個邊長相等．7．（分）下列說法錯誤的是（）A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B．對角線相等的四邊形是矩．對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形D鄰邊相等的矩形是正方形【分析根據(jù)平行四邊形的判定菱形的判定及正方形的判定逐一判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確；B、對角線互相平分且相等的邊形是矩形，錯誤；、對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，正確；D鄰邊相等的矩形是正方形，正確；故選：B．【點評本題考查了命題與定理掌握平行四邊形的判定菱形的判定及正方形6頁

的判定是解答本題的關鍵．8．（分）下列命題的逆命題是真命題的是（）A．對頂角相等．若ab，則﹣﹣．若a＞0則

D全等三角形的面積相等【分析】根據(jù)逆命題的概念分別寫出各個命題的逆命題，判斷即可．【解答】解：A、對頂角相等的逆命題是相等的角是對頂角，是假命題；若a＜b，則﹣2a＞﹣2b的逆命題是若﹣2a﹣，則＜b，是真命題；若a＞0則

的逆命題是若，則a＞0是假命題；全等三角形的面積相等的逆命題是面積相等的兩個三角形全等，是假命題；故選：B．【點評本題考查的是命題的真假判斷正確的命題叫真命題錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．9．（分）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E為AD邊中點，若△OED的周長為，則△ABD的周長是（）A．3B．．12D24【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，可得AB=2OE，題意，，根據(jù)OE+OD+DE=6可得2OE+2OD+2DE=12，即+BDAD=12【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD=OB，∵AE=ED，∴AB=2OE，BD=2OD，AD=2DE，∵OE+OD+DE=6∴2OE+2OD+2DE=12，∴+BDAD=12，∴△ABD的周長為12，故選：．【點評本題考查平行四邊形的性質三角形的中位線定理等知識解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．10．3分）如圖，在矩ABCD中，對角線，BD交于點E，DFAC于F點，若∠ADF=3∠FDC，則∠的度數(shù)是（）7頁

A．30°B．．50°D55°【分析根據(jù)∠ADC=90°求出∠CDF和∠ADF，根據(jù)矩形性質求出ED=EC，推出∠BDC=∠DCE求出∠BDC，即可求出答案．【解答】解：設∠ADF=3x°，∠FDC=x°∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴x+，x=22.5°，即∠FDC=x°=22.5°∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°，∴∠DCE=90°﹣∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=2EC，BD=2ED，，∴ED=EC，∴∠BDC=∠DCE=67.5°，∴∠BDF=BDC﹣∠CDF=67.5°22.5°=45°，∴∠DEC=90°﹣45°=45°故選：B．【點評】本題考查了矩形性，三角形的內角和定理的應用，關鍵是求出∠BDC和∠CDF的度數(shù)，注意：矩形的對角線互相平分且相等．二、填題（共6小題，每小3分，共分）11．（分）若二次根式

有意義，則x的取值范圍是

x≥

．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，可得x﹣20，解不等式求范圍．【解答】解：根據(jù)題意，使二次根式

有意義，即x﹣2≥0解得x≥故答案為：x≥【點評】本題考查二次根式的意義，只需使被開方數(shù)大于或等于即可．12．（分）已知平行四邊形ABCD中，∠A∠B=50°，則∠115°8頁

．

【分析利用平行四邊形的鄰角互補和已知∠A∠B=50°，就可建立方程求出兩角．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，∠A+∠B=180°，又有∠A﹣∠B=50°，把這兩個式子相加即可求出∠A=∠C=115°，故答案為：115°【點評本題考查了平行四邊形的性質角互補對角相等建立方程組求解．13．（分）+

=4

．【分析】首先化簡二次根式，進而計算得出答案．【解答】解：原式=

+3=4

．故答案為：4

．【點評】此題主要考查了二次根式的加減運算，正確化簡二次根式是解題關鍵．14．（分）順次連結菱形各邊中點所得的四邊形必定是矩形．【分析根據(jù)三角形的中位線定理首先可以證明順次連接四邊形各邊中點所得四邊形是平行四邊形再根據(jù)對角線互相垂直即可證明平行四邊形的一個角是直角，則有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【解答】解：如圖，四邊形ABCD是菱形，且EF、G、H分別是AB、BC、、AD的中點，則EH∥FG∥BD，EF=FG=BD；EF∥HG∥AC，EF=HG=AC，⊥BD故四邊形EFGH是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∠HEF=90°∴邊形EFGH是矩形．故答案為：矩形．【點評本題主要考查了菱形的性質和矩形的判定定理正確理解菱形的性質以及三角形的中位線定理是解題的關鍵．15．（分）如圖，已知平行四邊形，平分∠BAD交邊BC于點E，若BE=5cm，EC=6cm，則平行四邊形的周長是9頁

32cm．

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質得到BC的長，再根據(jù)∠BAE=∠DAE=BEA，即可得到AB=BE=5cm，進而得出平行四邊形的周長．【解答】解：∵在?ABCD中，BE=5cm，EC=6cm，∴BC=11cm，∵AE平分∠BAD，AD∥BC，∴∠BAE=∠DAE=∠，∴AB=BE=5cm，∴?的周長為2（AB+BC）16=32（cm）．故答案為：32．【點評本題主要考查了平行四邊形的性質等腰三角形的判定在平行四邊形中當出現(xiàn)角平分線時一般可構造等腰三角形進而利用等腰三角形的性質解題．16．（分）如圖，在△中，∠BAC為鈍角，AFCE都是這個三角形的高，P為AC的中點，若∠B=40°，則∠EPF=100°．C到PF=AC=PCPE=AC=PC，根據(jù)等腰三角形的性質、三角形的外角的性質計算即可．【解答】解：∵CE⊥BA，∠B=40°，∴∠C=50°，∵AF⊥，CE⊥BA，P為AC的中點，∴PF=AC=PC，PE=AC=PC，∴∠PFC=∠PCF∠PEC=PCE，∴∠EPF=2∠PCF+2∠∠C=100°，故答案為：100°【點評本題考查的是直角三角形的性質掌握在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．三、解題（共5題，共分）答題卡指定置上寫必要的演算程或證明過程17．（分）計算下列各題10

（1）（2）【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘除法則運算；（2）先把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式=12；（2）原式=3

﹣【點評題考查了二次根式混合運算把各二次根式化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算再合并即可在二次根式的混合運算中如能結合題目特點靈活運用二次根式的性質選擇恰當?shù)慕忸}途徑往能事半功倍．18．10分）已知平行四邊形對角線ACBD交于點O，線段過點O交AD于點E，交BC于點F．求證：OE=OF．【分析由四邊形ABCD是平行四邊形，可ADOA=OC繼而可利用ASA判定△AOE≌△COF，繼而證得OE=OF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥，OA=OC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．【點評此題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．19（10分）如圖正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均1，在如圖的網(wǎng)格格點處取A，，C三點，使

，BC=

，AC=

．（1）請你在圖中畫出滿足條件的△ABC；（2）求△ABC的面積；（3）直接寫出點A到線段BC的距離．【分析（1在正方形網(wǎng)格中，根據(jù)勾股定理畫出線AB，BCAC，從而畫出11

22222222△ABC；（2）利用分割法求三角形的面積即可；（3）利用三角形的面積公式，可求點B到線段AC的距離．【解答】解：（1）△ABC如圖所示：（2）S

△

=3××2×2﹣×2×3×4×．（3）作AH⊥BC于H．∵S

△

=BCAH=5

，∴AH=

，∴點A到線段BC的距離為

．【點評考查了勾股定理，三角形的面積等知識，關鍵是熟練掌握勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．20（分）在一條南北向的海岸邊建有一港OAB兩支艦隊從O點出發(fā)，分別前往不同的方向進行海上巡查知A艦隊以15海里/時的速度向北偏東40°向行駛，B艦隊以8海里/時的速度向另一個方向行駛，小時后，、B兩支艦隊相距34海里，你知道B艦隊是往什么方向行駛的嗎？【分析】直接利用勾股定理逆定理結合方向角分析得出答案．【解答】解：如圖所示：由題意可得：OA=30海里，OB=16海里，AB=34海里，∵30+16=34，∴AO

2

+BO

=AB

2

，∴△AOB是直角三角形，∵A艦隊以15海里/小時的速度向北偏東40°方向行駛，∴B艦隊是往南偏東50度方向行駛；或B艦隊是往北偏西50度方向行駛．【點評此題主要考查了勾股定定理的應用以及方向角正確分類討論是解題關鍵．21．12分）已知矩形，把BCD沿BD翻折，得△BDG，，所在的直線交于點E，過點作DF∥交BC所在直線于點F．12

2222（1）如圖1，AB＜，①求證：四邊形BEDF是菱形；②若AB=4，AD=8，求四邊形的面積；（2）如圖2，若AB=8，AD=4，請按要求畫出圖形，并直接寫出四邊形BEDF的面積．【分析】（1）①根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可得結論；②根據(jù)菱形面積公式代入可得結論；（2）畫圖，并根據(jù)面積公式可得結論．【解答】（1）①證明：如圖1，∵∥，DFBE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，由翻折得：∠CBD=∠GBD，∵AD∥，∴∠ADB=CBD，∴∠GBD=∠ADB∴BE=ED∴四邊形BEDF是菱形；②解：設BE=x，則AE=8﹣，由勾股定理得：x=4+（x）x=5，∴四邊形BEDF的面積=ED?AB=54=20；（2）解：如圖2，由1同理得：PD=5，∵∠PAD=∠EGD=90°，EDG=∠，∴△APD∽△GED，∴ED=10∵AD∥，DFBE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴S

=DE?AB=10×8=80．【點評本題是四邊形的綜合題，難度適中，考查了矩形的性質、菱形和平行四邊形的判定及面積三角形相似的性質和判定熟練掌握折疊的性質及利用勾股13

222222222222定理列方程求線段的長．四、填題（共4小題，每小4分，共分）22．（分）邊長為a的等邊三角形的面積為

a

2

．【分析作出等邊三角形一邊上的高利用60°的正弦值可得三角形一邊上的高，乘以邊長除以2即為等邊三角形的面積．【解答】解：如圖作AD⊥于點D∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°，∴AD=ABsinB=a，∴邊長為a的等邊三角形的面積為×a×

a=a，故答案為：

a

2【點評】考查三角形的面積的求法；利用60°的正弦值得到等邊三角形一邊上的高是解決本題的突破點．23．（分）若2x﹣1=

，則x﹣x=

．【分析】根據(jù)完全平方公式以及整體的思想即可求出答案．【解答】解：∵2x﹣1=∴（2x﹣1）=3∴4x﹣4x+1=3

，∴4（x

﹣x）∴x﹣x=故答案為：【點評本題考查二次根式的運算解題的關鍵是熟練運用完全平方公式本題屬于基礎題型．24．（分）如圖，在菱形ABCD中，AB=6∠A=135°點P是菱形內部一點，且滿足S

=

，則PC+PD的最小值是

2

．【分析】如圖在上取一點，使得EC=BC=2，作∥AB，作點關于EF14

的對稱點C′CC交EF于，連接DC′交EF于，連接，此時此時S

△

=

，PD+PC的值最?。窘獯稹拷猓喝鐖D在BC上取一點E，使得EC=BC=2，作EF∥AB，作點C關于EF的對稱點′，′EF于G，連接′交EF于P，連接，此時此時

△

=

，PD+PC的值最?。甈C+PD的最小值=PDPC′=DC，∵四邊形ABCD是菱形，∠A=135°∴∠B=∠CEG=45°，∠BCD=135°∵∠CGE=90°，CE=2∴CG=GE=GC′=

，∴∠GCE=45°，∠′=90°，∴DC′=

=2

，故答案為2

．【點評本題考查軸對稱﹣最短問題，三角形的面積，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題．25．4分）如圖，已知ABC中，cm，∠，點在BC上從C向B運動，Q在AB、AC上沿B→A→C運動，點P、分別從點C、B同時出發(fā)，速度均為1cm/s，當其中一點到達終點時兩點同時停止運動，則當運動時間t=1或2或（

﹣9）

s時，△PAQ為直角三角形．【分析】分三種情形分別求解即可解決問題；【解答】解：①當PAAB時，△PAQ是直角三角形．∵∠B=30°，

，∴PA=1，PB=2，∵BC=3，∴PC=1∴t=1s時，△PAQ是直角三角形．②當PQ⊥AB時，△PAQ是直角三角形．此時BQ=PB，15

222222∴t=∴t=6

（3t，﹣9，∴t=6

﹣9）s時，△PAQ是直角三角形．③當點Q在AC上時，PA⊥AC時，△PAQ是直角三角形，此時PC=2t=2，∴t=2s時，△PAQ是直角三角形．綜上所述，t=1或2或（

﹣9s時，△PAQ是直角三角形．故答案為1或2或（

﹣9．【點評本題考查等腰三角形的性質、解直角三角形、直角三角形的性質、勾股定理等知識題的關鍵是學用分類討論的射線思考問題于中考?？碱}型．五、解題（共3題，共分）答題卡指完置上寫必要的演算程或證明過程26．（分）（①若

有意義，則化簡

=2x﹣5

．②化簡：a

2

=

．（2）已知|7﹣9m|+（3）=9m﹣

，求（nm）．【分析】（①根據(jù)

有意義，可以得到的取值范圍，從而可以化簡題目中的二次根式；②根據(jù)題目中的式子可以a＜0，從而可以解答本題；（2）根據(jù)題意目中的式子可以求得m、n的值，從而可以解答本題．【解答】解：（1）①∵∴x﹣0，得≥5

有意義，∴

=2x﹣5，故答案為：2x﹣5；②a

2

=

，故答案為：

；（2）∵|7﹣9m|+n﹣3）=9m﹣7﹣∴m﹣40得m≥4，∴9m7（n3）=9m﹣7，

，16

22∴（n3=﹣，∴n3=0，﹣4=0，解得，m=4，n=3，∴（nm）=34）=1【點評本題考查二次根式的化簡求值二次根式有意義的條件解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法．27．12分）已知在菱ABCD中，∠ABC=60°，、N分別是邊BCCD上的兩個動點，∠MAN=60°，AM、AN分別交BD于、F兩點．（1）如圖1，求證：CN=BC；（2）如圖2，過點E作EG∥AN交DC延長線于點G，求證：EG=EA；（3）如圖3，若AB=1，∠AED=45°，直接寫出EF的長．【分析】（）如圖1中，在AC上截取，使得．首先證明△BAM≌△CAN，推AM=AN，△AMN是等邊三角形，再證明AMG△NMC即可解決問題；（2）如圖2中，想辦法證明AE=ECEC=EG即可解決問題；（3）如圖3中，將△ABE繞點A逆時針旋轉得到△ADQ首先證明△FQD是特殊直角三角形，設DQ=x，構建方程即可解決問題；【解答】（1）證明：如圖1中，在AC上截取CG，使得．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∴∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵AB=AC，∠∠ACN=60°，∴△BAM≌△CAN∴AM=AN，∵∠MAN=60°，∴△AMN是等邊三角形，∵CM=CG，∠MCG=60°，∴△CMG是等邊三角形，17

∴MA=MN，∵∠AMN=∠GMC=60°，∴∠AMG=NMC，∴△AMG△NMC∴AG=CN，∴BC=AC=CG+AG=CM+CN，即BC=CM+（2）證明：如圖2中，連接EC．∵BA=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE=EC∠BAE=∠BCE，∵EG∥AN，∴∠G=∠AND，∵∠AND=∠CAN+∠+∠，∠ECG=60°+∠，∵∠ECB=∠∠CAN，∴∠ECG=∠AND=∠G，∴EC=EG，∴EA=EG．（3）解：如圖3中，將△繞點A逆時針旋轉120°得到△ADQ，易證△AFE△AFQ，∴∠AEF=∠AQF=45°，∵∠AEB=∠AQD=135°，∴∠FQD=90°，∵∠QDF=ADQ∠ADF=60°，設DQ=BE=x，則，∵AB=AD=1，∠ABD=30°，

x，∴BD=∴x++∴x=∴EF=

，x=，x=

，．18

222222【點評本題考查四邊形綜合題等邊三角形的判定和性質全等三角形的判定和性質、平行線的性質、直角三角形30