（課標(biāo)通用）2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布大題沖關(guān)理

PAGE第十一章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布高考中概率與統(tǒng)計(jì)問題的熱點(diǎn)題型1．概率與統(tǒng)計(jì)是高考中相對(duì)獨(dú)立的一個(gè)內(nèi)容，處理問題的方式、方法表達(dá)了較高的思維含量．該類問題以應(yīng)用題為載體，注重考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)及閱讀理解能力、分類討論與化歸轉(zhuǎn)化能力．2．概率問題的核心是概率計(jì)算．其中事件的互斥、對(duì)立、獨(dú)立是概率計(jì)算的核心，排列組合是進(jìn)行概率計(jì)算的工具．統(tǒng)計(jì)問題的核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得及分析方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數(shù)字特征，但近兩年新課標(biāo)全國卷突出回歸分析的考查．3．離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的考查是歷來高考的重點(diǎn)，難度多為中低檔類題目，特別是與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的滲透，背境新穎，充分表達(dá)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性．熱點(diǎn)一統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式求線性回歸方程，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的根本思想、方法，在選擇題或填空題中常涉及頻率分布直方圖、莖葉圖及樣本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、方差)的考查．[典題1]一次考試中，五名學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)?nèi)缦卤硭荆簩W(xué)生A1A2A3A4A5數(shù)學(xué)成績(jī)x(分)8991939597物理成績(jī)y(分)8789899293(1)要從5名學(xué)生中選2人參加一項(xiàng)活動(dòng)，求選中的學(xué)生中至少有一人的物理成績(jī)高于90分的概率；(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)和散點(diǎn)圖說明物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．如果具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y與x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01)；如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)說明理由．參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))；回歸直線的方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)；參考數(shù)據(jù)：eq\x\to(x)＝93，eq\x\to(y)＝90，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝40，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝24，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝30，eq\r(40)≈6.32，eq\r(24)≈4.90.[解](1)從5名學(xué)生中任取2名學(xué)生的所有情況為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共10種情況．其中至少有一人的物理成績(jī)高于90分的情況有(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共7種情況，應(yīng)選中的學(xué)生中至少有一人的物理成績(jī)高于90分的概率為eq\f(7,10).(2)變量y與x的相關(guān)系數(shù)是r＝eq\f(30,\r(40)×\r(24))≈0.97.可以看出，物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)高度正相關(guān)．散點(diǎn)圖如下圖：從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，并且在逐步上升，故物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)正相關(guān)．設(shè)y與x的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(30,40)＝0.75，eq\o(a,\s\up6(^))＝90－0.75×93＝20.25，所以y與x的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋20.25.1．求解線性回歸方程時(shí)，要熟悉公式中每個(gè)量的實(shí)際含義，要有很強(qiáng)的計(jì)算能力，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心，一個(gè)數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，將會(huì)導(dǎo)致整個(gè)求解的錯(cuò)誤．2．對(duì)于非線性回歸方程，可利用換元的方式化為線性回歸方程來求解，然后再寫成非線性回歸方程的形式．[2022·河北石家莊模擬]4月23日是“世界讀書日〞，某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動(dòng)．為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，學(xué)校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其課外閱讀時(shí)間進(jìn)行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均課外閱讀時(shí)間(單位：分鐘)的頻率分布直方圖．假設(shè)將日均課外閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生稱為“讀書迷〞，低于60分鐘的學(xué)生稱為“非讀書迷〞．(1)根據(jù)條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為“讀書迷〞與性別有關(guān)？非讀書迷讀書迷總計(jì)男15女45總計(jì)(2)將頻率視為概率．現(xiàn)在從該校大量學(xué)生中，用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中的“讀書迷〞的人數(shù)為X.假設(shè)每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828解：(1)2×2列聯(lián)表如下：非讀書迷讀書迷總計(jì)男401555女202545總計(jì)6040100K2＝eq\f(100×40×25－15×202,60×40×55×45)≈8.249＞6.635，故有99%的把握認(rèn)為“讀書迷〞與性別有關(guān)．(2)將頻率視為概率，那么從該校學(xué)生中任意抽取1名學(xué)生恰為讀書迷的概率P＝eq\f(2,5).由題意可知，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，P(X＝i)＝Ceq\o\al(i,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3－i(i＝0,1,2,3)．X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)均值E(X)＝np＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5)，方差D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))＝eq\f(18,25).熱點(diǎn)二常見概率模型的概率計(jì)算幾何概型、古典概型、相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率是高考的熱點(diǎn)．幾何概型主要以客觀題形式考查，求解的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)測(cè)度(面積、體積或長(zhǎng)度)；相互獨(dú)立事件、互斥事件常作為解答題的一問考查，也是進(jìn)一步求分布列、期望與方差的根底，求解該類問題要正確理解題意，準(zhǔn)確判定概率模型，恰中選擇概率公式．[典題2]現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲．(1)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列．[解]依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為eq\f(1,3)，去參加乙游戲的概率為eq\f(2,3).設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲〞為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)．那么P(Ai)＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4－i.(1)這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,27).(2)設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)〞為事件B，那么B＝A3＋A4，且A3與A4互斥，∴P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,9).(3)依題設(shè)，ξ的所有可能取值為0,2,4，那么P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\f(2,3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(17,81).所以ξ的分布列為ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)1．此題4個(gè)人中參加甲游戲的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，4人中恰有i人參加甲游戲的概率P＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4－i，這是此題求解的關(guān)鍵．2．解題中常見的錯(cuò)誤是不能分清事件間的關(guān)系，選錯(cuò)概率模型，特別是在第(3)問中，不能把ξ＝0,2,4的事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的互斥事件的概率和．A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位：天)記錄如下：A組：10,11,12,13,14,15,16；B組：12,13,15,16,17,14，a.假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間互相獨(dú)立，從A，B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙．(1)求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率．解：設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個(gè)人〞，事件Bi為“乙是B組的第i個(gè)人〞，i＝1,2，…，7.由題意可知，P(Ai)＝P(Bi)＝eq\f(1,7)，i＝1,2，…，7.(1)由題意知，事件“甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天〞等價(jià)于“甲是A組的第5人，或者第6人，或者第7人〞，記為事件A，且A＝A5∪A6∪A7.由互斥事件的概率公式，那么P(A)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝eq\f(3,7).(2)設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)〞．由題意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝eq\f(10,49).熱點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差及應(yīng)用是數(shù)學(xué)高考的一大熱點(diǎn)，每年均有解答題的考查，屬于中檔題．復(fù)習(xí)中應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用題目的理解與掌握，弄清隨機(jī)變量的所有取值是正確列隨機(jī)變量分布列和求均值與方差的關(guān)鍵，對(duì)概型確實(shí)定與轉(zhuǎn)化是解題的根底，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的核心，在備考中強(qiáng)化解答題的標(biāo)準(zhǔn)性訓(xùn)練．[典題3]甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，假設(shè)賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，那么判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)．[解]用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽〞，Ak表示“第k局甲獲勝〞，Bk表示“第k局乙獲勝〞，那么P(Ak)＝eq\f(2,3)，P(Bk)＝eq\f(1,3)，k＝1,2,3,4,5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(56,81).(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)·P(B2)＝eq\f(5,9)，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝eq\f(2,9)，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝eq\f(10,81)，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝eq\f(8,81).故X的分布列為X2345Peq\f(5,9)eq\f(2,9)eq\f(10,81)eq\f(8,81)E(X)＝2×eq\f(5,9)＋3×eq\f(2,9)＋4×eq\f(10,81)＋5×eq\f(8,81)＝eq\f(224,81).1．求離散型隨機(jī)變量的均值和方差的一般步驟第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值．第二步：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率．第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回憶，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題標(biāo)準(zhǔn)．2．求解離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，關(guān)鍵要過好“三關(guān)〞：一是“判斷關(guān)〞，即依題意判斷隨機(jī)變量的所有可能的取值；二是“求概率關(guān)〞，即利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合內(nèi)容，以及古典概型的概率公式求隨機(jī)變量取各個(gè)值時(shí)的概率；三是“應(yīng)用定義關(guān)〞，即列出隨機(jī)變量的分布列，并利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義進(jìn)行計(jì)算，假設(shè)能判定隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，可利用E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)防止繁雜運(yùn)算，提高解題的準(zhǔn)確性．為備戰(zhàn)2022年奧運(yùn)會(huì)，甲、乙兩位射擊選手進(jìn)行了強(qiáng)化訓(xùn)練．現(xiàn)分別從他們的強(qiáng)化訓(xùn)練期間的假設(shè)干次平均成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：甲：8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3；乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5.(1)畫出甲、乙兩位選手成績(jī)的莖葉圖；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加奧運(yùn)會(huì)封閉集訓(xùn)，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度分析，你認(rèn)為派哪位選手參加合理？簡(jiǎn)單說明理由；(3)假設(shè)將頻率視為概率，對(duì)選手乙在今后的三次比賽成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)，記這三次成績(jī)中不低于8.5分的次數(shù)為X，求X的分布列及均值E(X)、方差D(X)．解：(1)甲、乙兩位選手成績(jī)的莖葉圖如下圖．(2)∵eq\x\to(x甲)＝eq\x\to(x乙)＝8.5，又seq\o\al(2,甲)＝0.27，seq\o\al(2,乙)＝0.405，得seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴選派甲適宜．(3)依題意得，乙不低于8.5分的頻率為eq\f(1,2)，X的可能取值為0,1,2,3，那么X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)))，∴P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3－k＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，k＝0,1,2,3.∴X的分布列為X0123Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)∴E(X)＝np＝3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，D(X)＝np(1－p)＝3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,4).熱點(diǎn)四概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)作為考查考生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)．主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識(shí)和使用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵．復(fù)習(xí)時(shí)要在這些圖表上下工夫，把這些統(tǒng)計(jì)圖表的含義弄清楚，在此根底上掌握好樣本特征數(shù)的計(jì)數(shù)方法、各類概率的計(jì)算方法及數(shù)學(xué)均值與方差的運(yùn)算．[典題4]第一屆全國青年運(yùn)動(dòng)會(huì)某效勞部需從大學(xué)生中招收志愿者，被招收的志愿者需參加筆試和面試，把參加筆試的40名大學(xué)生的成績(jī)分組