2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)經(jīng)典技巧與方法第14講泰勒展開(kāi)式2

/03/3/第14講知識(shí)與方法泰勒展開(kāi)式是將一個(gè)在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x)利用關(guān)于x-x0的n點(diǎn)睛:泰勒展開(kāi)式為高等數(shù)學(xué)內(nèi)容,在高中階段不要求掌握.1.泰勒展開(kāi)式的形式形式1如果函數(shù)f(x)在定義域I上有定義,且n+1階導(dǎo)數(shù)存在f這里,ox-x我們稱上式為函數(shù)f(x)在點(diǎn)當(dāng)x0=0時(shí),上式變?yōu)閒(x)=∑i形式2如果函數(shù)f(x)在定義域I上有定義,且n+1階導(dǎo)數(shù)存在f(其中Rn+1=f(n+1)(ξ)(n+1)!x-x其中,f(n)(x)表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù),等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)f(x)當(dāng)x0=0時(shí),上式變?yōu)閒(x)=∑i2.常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式由泰勒展開(kāi)式,我們可以得到幾個(gè)常用的初等函數(shù)在x=0處的泰勒展開(kāi)式(1)11-(2)(1+x(3)ex(4)ln?(1+x(5)sin?x(6)cos?x公式(1)1+x+x2+?+xn+oxn=11-xln?(1+即ln?(1+x)=x反過(guò)來(lái),如果對(duì)公式(4)求導(dǎo),則可得到11+x=1-x+x2-?+(-1)nx由于sin?x是奇函數(shù),所以公式(5)右側(cè)只有奇次方項(xiàng);cos?x是偶函數(shù),所以公式(6)右側(cè)只有偶次方項(xiàng).對(duì)公式(5)求導(dǎo),即得公式(6);反之,對(duì)公式(6)求導(dǎo),即得公式(5).對(duì)于公式(5)和(6)中的負(fù)號(hào)全部改為正號(hào)并兩式相加,即可得公式(3).公式(3)可以看作是e=1+1+12!+?+1n!3.常用的泰勒展開(kāi)式的及其應(yīng)用我們從上面的幾個(gè)展開(kāi)式截取片斷,就構(gòu)成了初等數(shù)學(xué)中經(jīng)?？疾榈膶?dǎo)數(shù)不等式:(1)當(dāng)x?0時(shí),ex?1+x+x2(2)當(dāng)x?0時(shí),x-x22?ln?(1+(3)x-x36?sin?(4)1-x22?cos?x(5)1+x(6)當(dāng)0<x<1時(shí),x-1x<ln?x<(7)當(dāng)0<x<1時(shí),12x-1x由ln?x<x-1可得-ln?x>1-x,進(jìn)而ln?1x>1-x?ln?x>1-1x=x典型例題【例1】已知函數(shù)f((1)若x=0恰為f((i)證明:12(ii)求f(x)在區(qū)間(2)若a=1,f(cos?x證明:11【例2】已知函數(shù)f(x)=(x(1)當(dāng)a=1時(shí),求f'(2)當(dāng)a=0時(shí),證明:f【例3】已知函數(shù)f((1)若a=0,證明:當(dāng)-1<x<0時(shí),f(x)<0;(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn),【例4】函數(shù)f((1)若f(x)?0,求(2)m為整數(shù),且對(duì)于任意