2023屆高考數(shù)學(xué)二輪精講三角與向量第9講平面向量的綜合應(yīng)用

/13/13/第9講平面向量的綜合應(yīng)用知識(shí)與方法本專題為平面向量的綜合應(yīng)用.平面向量融“數(shù)”“形”于一體，主要有兩個(gè)作用：①載體作用，利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題；②工具作用，利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問(wèn)題.平面向量具有幾何與代數(shù)的雙重身份，向量的坐標(biāo)表示和運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就為向量和函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合創(chuàng)造了條件.以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式等相結(jié)合的一類綜合問(wèn)題.在解題時(shí)，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，這是解決這類問(wèn)題的一般方法.（1）矩形的性質(zhì)定理：設(shè)O是矩形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則.（2）四邊形對(duì)角線向量定理：已知四邊形ABCD，則.典型例題【例1】若平面向量滿足，且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為，則與的夾角的取值范圍是________.【分析】本題考查平面向量與解三角形，考查兩個(gè)向量的夾角問(wèn)題，三角形面積與不等式的轉(zhuǎn)化.【解析】解法1如圖，向量與在單位圓O內(nèi)，由于，且以向量為鄰邊的平行四邊形的面積為，故以向量為邊的三角形的面積為，故的終點(diǎn)在如圖所示的線段AB上.（且圓心O到AB的距離為）因此夾角的取值范圍.解法2因?yàn)椋?又因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】先利用以向量為鄰邊的平行四邊形的面積，求出關(guān)于的【解析】式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求出夾角的范圍.注意兩個(gè)共起點(diǎn)的向量夾角范圍是.【例2】已知向量滿足，則的最小值是________，最大值是________.【分析】本題求函數(shù)（模的和問(wèn)題）的最值可利用數(shù)形結(jié)合的方法，涉及余弦定理、線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識(shí).【解析】解法1設(shè)向量的夾角為，由得，同理，，則.令，則.據(jù)此可得的最小值是4，最大值是.解法2因?yàn)?，如圖1所示建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以.（下同【解析】1）解法3設(shè)，則.所以.同理，可得最小值是4，最大值是.解法4因?yàn)椋O(shè).問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，求的最值.如圖2，設(shè)，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)或時(shí)，截距最小為4；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，截距最大為.綜上，所求的最小值是4，最大值是.【點(diǎn)睛】對(duì)于，掌握向量模的求解公式.【例3】已知向量，平面向量b滿足，求的最小值.【分析】本題求數(shù)量積的最值，可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值.【解析】因?yàn)?，所以，于?所以.綜上，的最小值為20.【點(diǎn)睛】題中涉及向量的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，通過(guò)變形可以將所求式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.【例4】對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義.若平面向量滿足，a與b的夾角，且和都在集合中，則（）A． B．1 C． D．【分析】本題是新定義問(wèn)題，借助向量的數(shù)量積定義了一種新的向量運(yùn)算，靈活性強(qiáng)，能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】，兩式相乘，可得.因?yàn)椋远际钦麛?shù)，于是，即，所以.而，所以，于是.故選C.【點(diǎn)睛】牢記向量數(shù)量積的定義，結(jié)合向量夾角余弦值的有界性進(jìn)行求解.【例5】在△ABC中，已知AB=4，AC=5，BC=6，點(diǎn)O為△ABC的外心，記，，則（）A. B. C. D.【分析】本題巧妙地將向量的數(shù)量積運(yùn)算與三角形的外心融合，外心是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，也是三角形外接圓的圓心，本題可利用數(shù)量積的幾何意義加以解決.【解析】因?yàn)椋?，所?【點(diǎn)睛】若點(diǎn)O為△ABC的外心，則.向量表示三角形“四心”的相關(guān)結(jié)論：在△ABC中，設(shè)O是△ABC所在平面上一點(diǎn).（1）若，則O是△ABC的外心；（2）若，則O是△ABC的重心；（3）若，則O是△ABC的垂心；（4）若，則O是△ABC的內(nèi)心.【例6】在平面四邊形ABCD中，已知，求的值.【分析】可以取特殊四邊形算出答案.當(dāng)對(duì)角線互相垂直平分時(shí)，可建立坐標(biāo)系求解，一般做法是把所求式中的向量往已知長(zhǎng)度的上轉(zhuǎn)化.【解析】因?yàn)椋?，所?【點(diǎn)睛】求四邊形中的向量數(shù)量積的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化與化歸.【例7】若向量滿足且，求的最小值.【分析】由題意知與垂直，故c的終點(diǎn)軌跡是圓，圓心是終點(diǎn)連線的中點(diǎn)，半徑為，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可求解.【解析】記，則，即.于是點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，如圖，設(shè)圓心為點(diǎn)D，所以.故所求的最小值為2.【點(diǎn)睛】看到數(shù)量積為零，聯(lián)想到向量垂直，嘗試?yán)脭?shù)形結(jié)合的方法解決，注意和是平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng).【例8】已知平面向量滿足，求的最小值.【分析】解法1將不等式平方后出現(xiàn)，借助基本不等式求最小值；解法2用極化恒等式求解.【解析】解法1將平方可得.由于，所以，故，于是.解法2設(shè)，則.又，其中C為線段AB的中點(diǎn).所以.【點(diǎn)睛】由基本不等式求向量數(shù)量積的范圍，類比實(shí)數(shù)中的不等式，向量中也有類似的結(jié)論：.【例9】在△ABC中，若，求△ABC面積的最大值.【分析】由題意BC=6，利用極化恒等式可以求出點(diǎn)A到邊BC中點(diǎn)的距離，結(jié)合公式可求出最大面積.【解析】取邊BC的中點(diǎn)D，由極化恒等式得.又，故DC=3，于是AD=4.故△ABC的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，△ABC的面積有最大值12.【點(diǎn)睛】本題△ABC的一條邊為定值，另外兩條邊所在向量的數(shù)量積用極化恒等式解決.【例10】如圖,已知的斜邊的長(zhǎng)為,且點(diǎn)分別在軸、軸正半軸上滑動(dòng),點(diǎn)在線段的右上方.設(shè),記,分別考慮的所有運(yùn)算結(jié)果,則有最小值,有最大值B.有最大值,有最小值C.有最大值,有最大值D.有最小值,有最小值【分析】本題的實(shí)際背景是含特殊角和的直角三角板在坐標(biāo)系中滑動(dòng)的問(wèn)題,題目新穎,創(chuàng)新性強(qiáng).由于線段的長(zhǎng)為定值,故采用數(shù)量積的極化恒等式對(duì)進(jìn)行變形,從而只需考慮三角形滑動(dòng)時(shí),的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是否存在最值.由聯(lián)想到三點(diǎn)共線,故連接,與線段的交點(diǎn)記為,所以,最后考慮是否存在最值即可.【解析】,取的中點(diǎn)的中點(diǎn),則.又,所以有最大值.連接線段,交于點(diǎn),設(shè),則.又三點(diǎn)共線,所以.又,所以.又,所以,于是有最小值.故選B.【點(diǎn)睛】解本題利用了數(shù)量積的極化恒等式,在三點(diǎn)共線中,相關(guān)向量的系數(shù)和為1.強(qiáng)化訓(xùn)練1.已知平面向量滿足，則與a夾角的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法1設(shè),將平方得,所以,于是.記與的夾角為,則，所以.解法設(shè),則.因?yàn)?所以點(diǎn)在“阿氏圓”上.設(shè)其圓心為,則,半徑.當(dāng)與圓相切時(shí),取最大值.2.已知向量滿足，則的最大值為（）A.4 B. C. D.8【答案】B【解析】解法1：注意向量間的聯(lián)系，令，，則，，

所以．解法2：(坐標(biāo)法)設(shè)，，則，所以，即．于是．解法3：因?yàn)椋裕?，所以．所以?.設(shè)平面向量滿足，則的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______.【答案】，【解析】由數(shù)量積的余弦定理得．由數(shù)量積的極化恒等式得．4.定義向量的外積：叫做向量a與b的外積，它是一個(gè)向量，滿足下列兩個(gè)條件.（1），且和構(gòu)成右手系（即三個(gè)向量?jī)蓛纱怪保胰齻€(gè)向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致）；（2）的模（表示向量的夾角）.如圖，在正方體中，有以下四個(gè)結(jié)論，正確的有（）A.與的方向相反B.C.與正方體表面積的數(shù)值相等D.與正方體體積的數(shù)值相【答案】C【解析】由向量與的外積的定義逐項(xiàng)判斷即可得到結(jié)果．對(duì)于選項(xiàng)A，在正方體中，，．

根據(jù)向量外積的第一個(gè)性質(zhì)可知與的方向相同，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．

對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)向量外積的第一個(gè)性質(zhì)可知與的方向相反，不可能相等，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C，根據(jù)向量外積的第二個(gè)性質(zhì)可知，則與正方體表面積的數(shù)值相等，故選項(xiàng)正確．對(duì)于選項(xiàng)D，與的方向相反，則，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．5.已知△ABC，AB=2，BC=3，AC=4，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，記，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，設(shè)的內(nèi)切圓與三邊，，的切點(diǎn)分別為，，，則，，．所以．同理，，．又線段，，的長(zhǎng)度相等，所以．6.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知分別是邊的中點(diǎn)，若，設(shè)，則的最大值是________.【答案】【解析】連接線段，，，，可知四邊形為平行四邊形，于是．故，即．所以7.已知平面向量滿足，若對(duì)每一確定的b，的最大值和最小值分別為，則對(duì)任意的b，求的最小值.【解析】設(shè)，，，由得，即，所以點(diǎn)在線段的中垂線上．又，即，所以點(diǎn)在以線段為直徑的圓上．

設(shè)該圓的圓心為點(diǎn)、半徑為，則的最大值，最小值．于是，當(dāng)時(shí)，取得最小值．8.已知平面向量滿足，求的最大值.【解析】由向量模的絕對(duì)值三角不等式可得，，所以，故的最大值為．9.在中,已知,求的最大值.【解析】由數(shù)量積的定義及余弦定理知，．同理得，．已知條件化為，即．由余弦定理及基本不等式得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

因此的最大值是．10.已知兩個(gè)不