第四界數(shù)學(xué)建模網(wǎng)絡(luò)挑戰(zhàn)賽第二階段特等與一等1423隊(duì)題

2011年第四屆“互動杯”數(shù)學(xué)中國 客機(jī)水面迫降時的姿 關(guān)鍵 水面迫 機(jī)翼升 粘滯阻 波浪 要姿態(tài)接觸水面是相對最好的選擇通過前面的討論，我們已經(jīng)知道飛機(jī)在平靜水面迫降時飛機(jī)的受力情況和運(yùn)動情況飛機(jī)在接觸水面之前我們通過近似主要考慮了空氣對機(jī)機(jī)受到的重力和水對它的粘滯阻力，進(jìn)而確定它落水后的運(yùn)動情況從而確定客機(jī)在河面上迫降時，以何種姿態(tài)接觸水面是相對最好的選擇之前討論的是在水面平靜的理想情況下的飛機(jī)迫降，我們知道水面始終保持平靜是不現(xiàn)實(shí)的由于風(fēng)對水的作用以及其他一些原因，水面上經(jīng)常會產(chǎn)生波浪所以，我們在討論飛機(jī)在水面迫降時就必須考慮到波浪對飛機(jī)的作用面的討論中我們把飛機(jī)與輪船對比，同樣的，在這里我們?nèi)园扬w機(jī)和輪船對比來研究波浪力對飛機(jī)的作用參考輪船在水中受波浪力的作用來研究飛機(jī)在水中受波浪力的作用利用參考文獻(xiàn)計(jì)算得到波浪力對其進(jìn)行無量綱化處理得到求得的波浪力帶入之前的中計(jì)算得到飛機(jī)落水時的方向與波浪的方向之間的（填寫參賽隊(duì)號（填寫所選題目英Indiscussingthesecurityissuesoflargeaircraftdlandingonthewater,themostimportantquestionisthathowtheaircraftlandingonthewatercanwegetthebestresults.Accordingtothepreviousdiscussion,wealreadyknowtheconditionsofdandmovementoftheaircraftwhenitbemadeadlandingincalmwater.Wehavegottheknowledgeofthemainconsiderationbytheairliftofthewingbeforetheneincontactwithwaternearly;wesimplifiedtheaircraftasacylindermodelwhenitfellintothewater.Thenwemaketheysisofit,wemainconsideratethegravityandwaterbytheaircraft'ssticktoitdelay,andtodeterminethemovementwhenitfellintothewater.Todeterminethesecurityissuesoflargeaircraftdlandingonthewater,themostimportantquestionisthathowtheaircraftlandingonthewatercanwegetthebestresults.Wehavediscussedtheissueofaircraftlandingonthecalmwatersurfaceundertheidealconditions,weknowthatwaterisalwayscalmisnotrealistic.Theroleofwaterduetowindandotherreasons,thewateroftenproducewaves.Therefore,wediscussthequestionthatwhentheaircraftmadeadlandinginthewatertobetakenintoaccounttheroleofwavesontheaircraft.Inthepreviousdiscussion,wecompareaircraftandships，herewearecomparedtoaircraftandshipstostudytheeffectofwavesontheaircraft.Referencevesselinthewaterbywavetostudytheroleofaircraftinthewaterbywaveloads.Calculatedbyreferencetothedimensionlesswavesprocessingofitstruevalueandestimatedvaluebytheratio,butalsobythemoreaccuratemeasurementdatacanbecalculatedtoobtainthewaves.Toobtainthewavescalculatedintotheformula，wecangettheanglebetweenthepropagationdirectionandthedirectionwhentheaircraftfellintothesea.二、問題分隨著現(xiàn)代社會飛速發(fā)展，國際間的交流越來越頻繁飛機(jī)逐漸成為人們生活中的不可或缺的交通工具同時，隨著海域上空空間的開發(fā)，海域上空的航線在逐漸增加，如大型客機(jī)在水域上方飛行,如果出現(xiàn)全部發(fā)動機(jī)同時停車或者燃油耗盡的情況,必須進(jìn)行水上迫降 迫降過程中,飛機(jī)會受到很大的水體沖擊力,發(fā)生不同程度的破壞給乘客和機(jī)組成員的生命安全帶來極大對于飛機(jī)在水面上迫降的問題首先我們應(yīng)保證機(jī)體不受過大損傷主要是保證機(jī)艙里的人員安全也就是說水面對飛機(jī)的反沖力應(yīng)當(dāng)盡量小因此,世界各國都把水上迫降內(nèi)容編制進(jìn)客機(jī)的適航規(guī)范,將其作為取得適航證的一個重要條件飛機(jī)進(jìn)行水上迫降,其表面壓力分布沖擊力運(yùn)動速度和運(yùn)動姿態(tài)以及水面形狀等均隨時間發(fā)生快速變化,是一類典型的物體高速沖擊水面的問題影響規(guī)律俯仰角增加,飛機(jī)水上迫降過程中的最大縱向力單調(diào)增加,最向力、最大低頭力矩和表面最大沖擊壓力均先增加后減小,因此該飛機(jī)適宜以較大俯仰角進(jìn)行階段達(dá)到最大值，隨后迅速下降，最后保持穩(wěn)定同時，隨著降落速度、飛行速度和降落仰角的增大，機(jī)身壓強(qiáng)的最大值也隨之增大與降落速度和降落仰角相比，飛行速度滑平板摩擦阻力這樣，當(dāng)已知船飛機(jī)模型的水線長，速度，及濕表面積就可以利用平板摩擦阻力來計(jì)算飛機(jī)摩擦阻力保證乘客和機(jī)組人員的人身安全作為飛機(jī)的設(shè)計(jì)者和來說，他們的職保證飛機(jī)完整性飛機(jī)的發(fā)明和制造都需要很大的一筆花銷，在以保證乘客降落速度、飛行速度和降落仰角的增大，機(jī)身壓強(qiáng)的最大值也隨之增大與降落速度和三、模型的假飛機(jī)接觸水面時的豎直速度為vy四、定義與符號的說 FmFn的矢量 ML gAB v 13.Oyz K(z)zδxLC S 在該處長度為 fPk機(jī)身與波 五、模型的建立與求 假設(shè)，飛機(jī)與水平面的夾角為，飛機(jī)機(jī)身與海浪 方向夾角為 可得出以下：FmF1Pcosk （1-FnP F2(,k （1- 方向一致;F2(,k)是側(cè)面水流對飛機(jī)側(cè)面的水壓力，是粘滯阻力系數(shù)與k首先是F1的求解在豎直方向上的運(yùn)動是一個變速運(yùn)動，假設(shè)在飛機(jī)接觸水面時的豎直速度為

F1tMvy vyv= （1- （3（4）F1= （1-得到?jīng)_力的最小值Fmin圖（一圖（a）AB叫做翼弦，以機(jī)身為參考系，空氣相對于飛機(jī)而流動，翼弦與氣流方向的夾角叫沖角由于機(jī)翼特有的橫截面形狀以及微小的沖角，氣流經(jīng)過機(jī)翼上下兩側(cè)流動的情況不同緊靠上側(cè)繞過機(jī)翼的氣流通翼尾部形成如圖（b）所示的渦旋，稱啟動渦旋流體最初沒有角動量又未受到外力矩的作用，其角動量應(yīng)守恒既然其中一部分受到渦旋，則流體的另一部分必然要沿反方向旋轉(zhuǎn)，以保持總角動量守恒，這反方向的旋轉(zhuǎn)便是圍繞機(jī)翼的環(huán)流，如圖些黏性流體問題的一種有效方法現(xiàn)在把機(jī)翼附面層以外流體當(dāng)作沒有黏性，空氣低速流動時，又可將空氣看作是不可壓縮的，即附面層以外的空氣為理想流體再假設(shè)氣流12ghp相同如不考慮機(jī)翼上下的高度差，對于圖（b）122221112

12

p2用表u示擾動的氣流速度，并粗略認(rèn)為機(jī)翼上下因環(huán)流而引起的速度的大小相等并等于v,且與氣流u方向平行，由速度合成得 u v環(huán) 2uv環(huán)式中的v環(huán)與機(jī)翼的形狀有關(guān)這一已表明機(jī)翼上下有壓強(qiáng)差，足以說明升力的來下面進(jìn)一步求升力表達(dá)式在機(jī)翼選取坐標(biāo)系Oyzyzzzdz的元升力，現(xiàn)用dF圖（二 ( p1) 2uv環(huán) （1-.式中2環(huán)y是z的函數(shù)，叫做機(jī)翼z處的環(huán)流，現(xiàn)用 K(z)表示 K(z)=2b

（1- 0uK （1-b表示機(jī)翼長度將上式中常數(shù)ub u0K （1-b 如機(jī)翼是長為b寬為a的長方形，則上式為 ubK而

（1-（1-F嚇1/2v2 （1-破碎波等各種變形后疊加而成關(guān)于大尺度結(jié)構(gòu)物上的波浪荷載,現(xiàn)有的理論及計(jì)算方照現(xiàn)有的理論及計(jì)算方法計(jì)算作用在大直徑薄殼圓筒上的波浪場與實(shí)際并不吻合多元線性回歸分析可以研究多個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系,而且通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)變換多元線性回歸分析也可以研究多個變量之間的非線性相關(guān)關(guān)系作用在大直徑薄殼圓筒上的波浪荷載顯然與波浪要素及結(jié)構(gòu)尺寸相關(guān)只要有大量的現(xiàn)場觀測數(shù)據(jù)或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),我們就可以通過多元線性回歸的方法對波浪荷載進(jìn)行研究,而不需要考慮結(jié)構(gòu)物周圍的波浪形態(tài)回歸分析已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)、生活及科研中,本文作者在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,將多元線性回歸分析引入波浪研究中,對作用在大直徑薄殼上的波浪荷載進(jìn)行了 作用于大直徑薄殼圓筒上的波浪荷載的大小與多個因素有關(guān)波浪與結(jié)構(gòu)相互作用破碎波等疊加而成,要考慮上述所有因素通過波浪理論來求解非常為此擬通過模型實(shí)驗(yàn)對于作用在結(jié)構(gòu)物上的波浪力及其力矩的大量實(shí)測數(shù)據(jù),采用多元線性回歸分析方法來得到相應(yīng)的簡單可行的表達(dá)式,并且可以用此來驗(yàn)證圓柱殼結(jié)構(gòu)在波浪力作1]PMH0、筒前波高H、波數(shù)k、PP0P1kdp2kap3kh0p4h0/ （2-MM0M1kdM2kaM3kh0M4h0/ （2-模型的多元指自變量有多個,即kd、ka、kh0、h0/h,而因變量P或M是 量實(shí)驗(yàn)測得的各變量的值Pi、Mi、kidi、kiai、kih0i、h0i/hi為變量P、Mkdkakh0h0h及其彎矩ML對其進(jìn)行無量

M MM 方程(2-1)、(2-2)是 的平面,稱為P、M對kd、ka、kh0h0h的回歸平面,

Pjj0,1234)其中P0是寫,以下將Pj變?yōu)閖)

（2

0(j0,1,2,3,

（2- n

kd

kakhh/h 1i

i

i

i

kd(kd)2

k2adk2hdkd(h/h)k

0i ii i

i

i

i

ii Fiii kdk2da(ka)k2haka /h)k

i

i i

0i

i

ii Fiii k k2d k2a (kh)kh /h)k0i 1 i 2 i i i

i0i 4i0i Fii0ii1 0(h0i/hi)1kidi(h0i/hi)2kiai(h0i/hi)3kih0i(h0i/hi)4(h0i/hi

(h/h i

（2-2-5)j

0,1,2,3,4)的最小二乘估計(jì)j( kkk22kkk222

1X

h03/h3 Yy3 2 ? ? 3 h0n/hn 2-5)n汕

kBXTY

·kndn Fii ? y3 汕kan

Fiih/ h/ · /h n

汕Fi(h0ihi ·h01/h1k k k k · /hAXTX 1 nn 2

?＾ ＾h/

/

· /h k ·

/h

n

2-5)AXTXX

(2-＾最小二乘估計(jì)＾(XTX)1X＾＾ ＾

(2- P0P1kdP2kaP3h0P4h0/ (2- M0M1kdM2kaM3h0M4h0/ (2-對于P、M、kd、ka、kh0、h0/h線性相關(guān)顯著性檢驗(yàn)可以通過兩個統(tǒng)計(jì)指標(biāo)來實(shí)施,即樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)R和服從自由度為(k,n-k-1)的F分 中k表示參變量個數(shù),n表示樣本總數(shù)仍然以波浪力為例:現(xiàn)分別記S= ()2 i S=區(qū) )2，S=區(qū) R

Q意義相同),且STSR由STSRSE來構(gòu)造回歸方程的顯著性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量其中樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)R=SR

當(dāng)R1另外服從自由度為（k， SRSRSE

F

（2-對于給定的相關(guān)水平,可以求得與自由度（k， 1）相關(guān)的臨界值入[4],（邱大洪，《波浪=p=MMMF2(,k向的合力便是飛機(jī)摩擦阻力另外由于水具有粘性，旋渦處的水壓力下降，從而改變了沿飛機(jī)表面的壓力分布情況，這種由粘性引起飛機(jī)前后壓力不平衡而產(chǎn)生粘壓阻力因由于飛機(jī)形狀比較復(fù)雜，目前用理論精確計(jì)算飛機(jī)的摩擦阻力尚不能付諸工程實(shí)用為此船舶工程中仍不得不沿用傅汝德相當(dāng)平板假定即飛機(jī)的摩擦阻力與同速度、同長度、同濕面積的平板摩擦阻力相等這一假定是計(jì)算飛機(jī)摩擦阻力的基礎(chǔ)由于飛機(jī)在水中的運(yùn)動與船類似可以利用這一假設(shè)來計(jì)算飛機(jī)在水里運(yùn)動時到摩擦阻力 流xδ流xδ 置— 圖5平板邊界平故平板表面處的水質(zhì)點(diǎn)均被吸附在平板上，平板表面上流速為零隨著與平板表面距離yyδ在相應(yīng)平板各處距離為δ的點(diǎn)，可連成一界面，此界面稱為界層邊界該處與板面的距離作為界層厚度值根據(jù)實(shí)驗(yàn)測定，影響邊界層厚度的主要因素是流速xν為層流而在平板后部，水質(zhì)點(diǎn)互相碰撞，運(yùn)動方向極不規(guī)則，但其平均速度還是沿平板方向前進(jìn)，界層厚度沿板長方向的增長較層流情況為快，這種流動稱為紊流(又稱湍流)實(shí)際上在層流和紊流之間還有一段過渡狀態(tài)稱為過渡流或變流，如圖2-2所示 6x層流狀態(tài)：Re＜(3.5~5.0)×105xx(3.5~5.0)×105＜Rexx湍流狀態(tài)：Rex1xδ=5.2Re2 (3-x

δ (3- 飛機(jī)表面是個三維曲面，水流經(jīng)過時，也會產(chǎn)生邊界層由于飛機(jī)表面縱向和橫向曲率的影響，飛機(jī)周圍的三維邊界層與平板的二維邊界層有明顯的不同其主要差別在假定，機(jī)翼邊界以內(nèi)縱向壓力處處相等，而飛機(jī)邊界層內(nèi)則存在縱向壓力梯度即首部壓力高，中部較低而尾部又相應(yīng)有所升高由于流體的粘性作用，在這種縱向壓力分布情況下，不管尾部是否出現(xiàn)界層分離，均使尾部的壓力較首部壓力有所下降因而飛機(jī)相比亦存在差異但是飛機(jī)摩擦阻力的成因、特性與平板情況基本相同，因此飛機(jī)摩擦物體的邊界層問題仍然是十分的因此，目前計(jì)算飛機(jī)摩擦阻力均不得不以光滑平板摩擦阻力系數(shù)為基礎(chǔ)先介紹一下光滑平板摩擦阻力系數(shù)計(jì)算，然后說明飛fRf

1.328Re (3-ρυ22船工程實(shí)際，因其對應(yīng)的雷諾數(shù)范圍為：Re＜(3.5~5.0)×105一般船舶的雷諾數(shù)在yδoδ設(shè)δ為距平板前端x處的界層厚度，根據(jù)牛頓第二定律，作用在平板上的摩擦阻力等于單位時間內(nèi)的動量損失而動量損失率等于單位時間內(nèi)在xdy與速度損失(υ-u)的乘積所以由平板前端至x處一段內(nèi)單位寬度平板的摩擦阻力為：δ ρudy(υ (3- 這里υ為邊界層外的速度，ux 0τd (3-xτρdδu(υu)d (3-dx τρυ2dδu(1u)ddx0 τρυ2d (3-dθδu(1udy0 Lx0θ0；xL時，θR Lρυ2dθdxρυ2θdθρυ2

L d

(3- 2 ρυL2由此可見，如能確定邊界層內(nèi)的速度分布，則平板紊流摩擦阻力即可導(dǎo)出通常在運(yùn)用動量積分方程解決界層問題時，界層內(nèi)的速度分布情況是假定的由于所假定的速度分布形式不同，導(dǎo)出的光滑平板紊流阻力系數(shù)計(jì)算也不相同，由于飛機(jī)在從可以把這個過程中的速度分布看成指數(shù)分布速度為指數(shù)分布的計(jì)算方法如下：u(y

(3- 根據(jù)邊界層的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對于不同的雷諾數(shù)，nRe＜2×107時，n7，1Cf=0.072/

(3- Re1/

(3-在“相當(dāng)平板”假定的前提下，應(yīng)用平板摩擦阻力來計(jì)算飛機(jī)的摩擦阻力面積S就可以利用平板摩擦阻力來計(jì)算飛機(jī)摩擦阻力

LW1，速度Vs，及濕實(shí)踐證明，飛機(jī)表面粗糙度對摩擦阻力的影響是很顯著的對飛機(jī)阻力來說，由于R(CΔC)1ρυ2 （3- (1)圍長l，并沿船長方向積分即得： 02ld （3-必進(jìn)行縱向斜度的修正其理由如下：ddRfαdd某點(diǎn)處的 部摩擦阻力系數(shù)C，在該處 度為dL'的微面積 圖8飛機(jī)濕表面面積的計(jì) 為dRC1ρυ22ld

（3- 11 11 L dRcosαL

C

2ldLcosα

C2ldL

ρυC （3-

其中，濕面積S系按(24f，F(xiàn)2=Rf （3-Rf是上式的飛機(jī)在水中的摩擦力，為飛機(jī)的仰角四求解Fmn標(biāo)，即飛機(jī)外壁所受壓力最小換句話說，就是飛機(jī)所受總的壓力的一次求導(dǎo)為零，由FF2F （4-我們先把函數(shù)看作是k的函數(shù),F對kFmn k先將式下展開化簡

F2F2F F2F2P2tan2cos22PFtancosP2sin2coscos2PFtan2F m根據(jù)以上F的值式下可看為cosk的一元二次方程，在第一段問題中，我們知道m(xù)FmnF'

<0, F所以，我們求出的cosk

coskk

P(tan2