【數(shù)學(xué)】2023屆高考文科一輪專題復(fù)習(xí)之高效測試33：基本不等式及其應(yīng)用

第頁高效測試33：根本不等式及其應(yīng)用一、選擇題1.設(shè)a＞0，b＞0.假設(shè)eq\r(3)是3a與3b的等比中項，那么eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A.8B．4C．1D.eq\f(1,4)解析：由題意有(eq\r(3))2＝3a·3b?a＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))(a＋b)＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為4.答案：B2.假設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x＞2)在x＝a處取最小值，那么a＝()A.1＋eq\r(2)B．1＋eq\r(3)C.3D．4解析：當(dāng)x＞2時，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(1,x－2)(x＞2)，即x＝3時取等號，即當(dāng)f(x)取得最小值時，x＝3，即a＝3，選C.答案：C3.設(shè)x，y∈R，a＞1，b＞1.假設(shè)ax＝by＝3，a＋b＝2eq\r(3)，那么eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值為()A.2B.eq\f(3,2)C．1D.eq\f(1,2)解析：由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝log3(ab)≤log3(eq\f(a＋b,2))2＝1，應(yīng)選C.答案：C4.當(dāng)x＞2時，不等式x＋eq\f(4,x－2)≥a恒成立，那么實數(shù)a的()A.最小值是8B．最小值是6C.最大值是8D．最大值是6解析：x＋eq\f(4,x－2)＝(x－2)＋eq\f(4,x－2)＋2≥4＋2＝6，又x＋eq\f(4,x－2)≥a恒成立，故a≤6，所以a的最大值為6答案：D5.x＞0，y＞0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，假設(shè)x＋2y＞m2＋2m恒成立，那么實數(shù)m的取值范圍是()A.m≥4，或m≤－2B．m≥2，或m≤－4C.－2＜m＜4D．－4＜m＜2解析：∵x＞0，y＞0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即4y2＝x2，x＝2y時取等號，又eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，此時x＝4，y＝2.∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y＞m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min＞m2＋2m成立，即8＞m2＋2m，解得－4＜m＜2.答案：D6.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用為800元．假設(shè)每批生產(chǎn)x件，那么平均倉儲時間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A.60件B．80件C.100件D．120件解析：假設(shè)每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，那么每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用是eq\f(800,x)，存儲費用是eq\f(x,8)，總的費用是eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)時取等號，即x＝80.答案：B二、填空題7.log2a＋log2b≥1，那么3a＋9b的最小值為__________．解析：log2a＋log2b＝log2(ab)．∵log2a＋log2b≥1，∴ab≥2且a＞0，b＞0.3a＋9b＝3a＋32b≥2eq\r(3a·32b)＝2eq\r(3a＋2b)≥2eq\r(32\r(2ab))≥2eq\r(32×2)＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b，即a＝2，b＝1時等號成立．∴3a＋9b的最小值為18.答案：188.假設(shè)實數(shù)x、y滿足x2＋y2＋xy＝1，那么x＋y的最大值是__________．解析：∵xy≤eq\f(1,4)(x＋y)2，∴1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－eq\f(1,4)(x＋y)2＝eq\f(3,4)(x＋y)2，∴(x＋y)2≤eq\f(4,3)，∴－eq\f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq\f(2\r(3),3)，當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(\r(3),3)時，x＋y取得最大值eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過坐標(biāo)原點的一條直線與函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)的圖象交于P，Q兩點，那么線段PQ長的最小值是__________．解析：由題意知：P、Q兩點關(guān)于原點O對稱，不妨設(shè)P(m，n)為第一象限中的點，那么m＞0，n＞0，n＝eq\f(2,m)，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋eq\f(4,m2))≥16(當(dāng)且僅當(dāng)m2＝eq\f(4,m2))，即m＝eq\r(2)時，取等號)，故線段PQ長的最小值是4.答案：4三、解答題10.設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點，假設(shè)A、B、C三點共線，求eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.∵a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(2a＋b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即b＝2a時等號成立．∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為8.11.如下圖，要設(shè)計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目(即圖中陰影局部)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與寬的尺寸(單位：cm)能使矩形廣告面積最?。拷馕觯悍椒ㄒ唬涸O(shè)矩形欄目的高為acm，寬為bcm，那么ab＝9000.①廣告的高為a＋20，寬為2b＋25，其中a＞0，b＞0.廣告的面積S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋2eq\r(25a·40b)＝18500＋2eq\r(1000ab)＝24500.當(dāng)且僅當(dāng)25a＝40b時等號成立，此時b＝eq\f(5,8)a，代入①式得a＝120，從而b＝75，即當(dāng)a＝120，b＝75時，S取得最小值24500，故廣告的高為140cm，寬為175cm時，可使廣告的面積最?。椒ǘ涸O(shè)廣告的高和寬分別為xcm，ycm，那么每欄的高和寬分別為x－20，eq\f(y－25,2).其中x＞20，y＞25.兩欄面積之和為2(x－20)eq\f(y－25,2)＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20)＋25，廣告的面積S＝xy＝x(eq\f(18000,x－20)＋25)＝eq\f(18000x,x－20)＋25x，整理得S＝eq\f(360000,x－20)＋25(x－20)＋18500.因為x－20＞0，所以S≥2eq\r(\f(360000,x－20)×25x－20)＋18500＝24500.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(360000,x－20)＝25(x－20)時等號成立，此時有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x＝140，代入y＝eq\f(18000,x－20)＋25，得y＝175.即當(dāng)x＝140，y＝175時，S取得最小值24500，故當(dāng)廣告的高為140cm，寬為175cm時，可使廣告的面積最小.12.在銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量m＝(2sin(A＋C)，eq\r(3))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2B，2cos2\f(B,2)－1))，且向量m、n共線．(1)求角B的大??；(2)如果b＝1，求△ABC的面積S△ABC的最大值．解析：(1)∵m∥n，∴2sin(A＋C)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(B,2)－1))－eq\r(3)cos2B＝0.又∵A＋C＝π－B，∴2sinBcosB＝eq\r(3)cos2B，[z+zs+]即sin2B＝eq\r(3)cos2B.∴tan2B＝eq\r(3)，又∵△ABC是銳角三角形，∴0＜B＜eq\f(π,2)，∴0＜2B＜π，∴2B＝eq\f(π,3)，故B＝eq\f(π,6).(2)由(1)知：B＝eq\f(π,6)，且b＝1，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，