第二章有心運動和兩體問題

基本特性1。3。有心力為保守力，機械能守恒。2。質(zhì)點始終在垂直于的平面內(nèi)運動——（1）——（2）——（3）動量矩守恒定律——（3‘）（二）運動微分方程1（二）軌道微分方程——比耐公式令：已知力由公式得軌道方程已知軌道方程由公式得力例]質(zhì)點受有心力作用而作的圓運動，為圓半徑，求F=？2§2-2平方反比引力下的質(zhì)點運動反向與（一）軌道若萬有引力:若靜電場力:軌道方程A和θo

為積分常數(shù)，由初始條件定：t=0θ=θo

3圓錐曲線的標準方程補數(shù)學

定點為焦點動點的軌跡為圓錐曲線θ

r

p

p——半正焦弦長

e——偏心率

4（1）橢圓近點B：5（2）拋物線近點B：6（3）雙曲線近點B：7得：與比較具體形態(tài)？力學上與初始條件有關(guān)數(shù)學上由e來確定8（二）軌道特性勢能近點B代入E的表達式可得：-----(1)*要用結(jié)果表明e(E，h)9代入（1）式代入（1）式代入（1）式代入（1）式（1）橢圓e<1（2）拋物線e=1（3）雙曲線e>1（4）圓e=010*E一定，橢圓的半長軸也確定h（角動量）越大，e（偏心率）越大∵e(E,h),∴h不同，則e不同。11例1]結(jié)合宇宙速度看航天器隨初始能量不同具有的不同軌道第一種情況圓軌道e=0E<0v=vI第一宇宙速度：vI——使航天器能繞地球作圓軌道的最小放射速度Re——地球半徑Me——地球質(zhì)量m——航天器質(zhì)量h——航天器與地面的高度Re12若vII>v>

vI橢圓∵能量越大，橢圓越扁，半長軸越長E=0e=1軌道為拋物線v=vII其次宇宙速度：vII——使航天器能脫離地球引力場所需的最小放射速度∴

v越大，橢圓越扁.第二種情況第三種情況13E>0e>1軌道為雙曲線v>vII第三宇宙速度：vIII——使航天器不僅能脫離地球引力而且要脫離太陽引力所需的最小放射速度Rs=1.494×1011mMs=1.989×1030kg——太陽質(zhì)量不同軌道——地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑第四種情況14例2]證明開普勒第二定律常數(shù)，等價為動量矩守恒開普勒第確定律：開普勒其次定律：開普勒第三定律：15例3]變更軌道的衛(wèi)星一個用火箭運載的衛(wèi)星,按半徑為ro的圓軌道運行.火箭發(fā)動機突然在它的運動方向增加了8%的火箭速度,求新軌道上遠地點離地心的距離.16*利用引力加速,實現(xiàn)到外星的航行17例4]P52，例2]18§2-3圓軌道的穩(wěn)定性

在有心力勢場中：設(shè)勢能V（r）令：有效勢能滿足：為穩(wěn)定平衡等效為質(zhì)點在矢徑方向作一維的運動，圓軌道穩(wěn)定條件：若：則二維的圓運動，化為一維的靜平衡.19§2-4與平方反比的斥力作用——α粒子的散射

α粒子散射試驗q

Qα粒子——帶兩個正電荷的氦離子20原子的“葡萄干”模型21α粒子的散射22原子的“有核模型“2324α粒子電量：q=+2e某原子核序數(shù)為z，電量Q=+ze令得：與平方反比引力比較相差“-”用“-k2”代替“k2”（一）散射軌道散射角25引力軌道方程斥力軌道方程仍令*為雙曲線的另一支方程26極軸斥力引力27選極軸反向：令極軸則有：習慣：28求α粒子受到原子核斥力作用遠離原子核后的角度——散射角設(shè)α粒子從無窮遠處以射向原子核為瞄準距離，并29看一束α粒子的散射角瞄準距離在ρ和ρ+d

ρ之間的

α粒子散射后必向著和+d之間的角度散出。（二）散射截面盧瑟福散射公式——（1）式30環(huán)面積——散射截面ρ由（1）式得：，再微分找出的關(guān)系，

——盧瑟福公式31§2-5兩體問題僅以一對內(nèi)力和相互作用的兩個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系的動力學問題。32（一）二體的相對運動折合質(zhì)量在慣性系相對于的運動微分方程看成不動變成折合質(zhì)量才能用微分方程同理令——折合質(zhì)量33（二）行星與太陽運動問題的修正行星相對于太陽的微分方程與前：太陽看成不動的方程比較有相同的形式結(jié)論：（１）行星相對于太陽仍為橢圓運動34（２）系統(tǒng)的質(zhì)心Ｃ作慣性運動（３）行星相對于質(zhì)心的軌跡，是以質(zhì)心為焦點的橢圓，同理可得太陽相對于質(zhì)心的軌跡也是橢圓．行星相對于質(zhì)心的微分方程地球c太陽35例］由輕彈簧和滑塊組成的二體問題剛性系數(shù)為k的輕彈簧的兩端分別系著和的兩個滑塊，它們靜止于光滑的水面上，今使第一個滑塊沿兩滑塊聯(lián)線方向獲得速度Ｖ，求這一體系的質(zhì)心速度和體系的振動周期．xm2m136§2-６隨意冪有心力問題的計算（一）與距離成隨意冪的引力運動微分方程：可用計算機求解，Ｃ語言或ＭＡＴＡＢ語言引力：直角坐標：37（二）微小擾動對軌道的影響水星太陽金星地球火星木星土星天王星海王星冥王星擾動力

很小38擾動力的幾種狀況（1）宇宙塵的作用由建立模型法得：

ρ——宇宙塵的密度

擾動力：

m——質(zhì)點的質(zhì)量

39（2）廣義相對論的效應(yīng)考慮到廣義相對論對萬的引力的修正：將代入上式得出的結(jié)果與實際更相符，如：水星的進動：40（三）相軌跡和龐加萊面二維運動，相空間：四維空間若有約束，維數(shù)要削減。如：有心力相當于兩個約束方程相軌跡為二維曲面用極坐標來表示：或用極坐標表示：