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PAGEPAGE8第3節(jié)圓周運(yùn)動,(1)勻速圓周運(yùn)動是勻變速曲線運(yùn)動。(×)(2)物體做勻速圓周運(yùn)動時,其角速度是不變的。(√)(3)物體做勻速圓周運(yùn)動時,其合外力是不變的。(×)(4)勻速圓周運(yùn)動的向心加速度與半徑成反比。(×)(5)勻速圓周運(yùn)動的向心力是產(chǎn)生向心加速度的原因。(√)(6)比擬物體沿圓周運(yùn)動的快慢看線速度,比擬物體繞圓心轉(zhuǎn)動的快慢,看周期或角速度。(√)(7)做勻速圓周運(yùn)動的物體,當(dāng)合外力突然減小時,物體將沿切線方向飛出。(×)(8)摩托車轉(zhuǎn)彎時速度過大就會向外發(fā)生滑動,這是摩托車受沿轉(zhuǎn)彎半徑向外的離心力作用的緣故。(×)突破點(diǎn)(一)描述圓周運(yùn)動的物理量1.圓周運(yùn)動各物理量間的關(guān)系2.對公式v=ωr的理解當(dāng)r一定時,v與ω成正比;當(dāng)ω一定時,v與r成正比;當(dāng)v一定時,ω與r成反比。3.對a=eq\f(v2,r)=ω2r的理解當(dāng)v一定時,a與r成反比;當(dāng)ω一定時,a與r成正比。4.常見的三種傳動方式及特點(diǎn)(1)皮帶傳動:如圖甲、乙所示,皮帶與兩輪之間無相對滑動時,兩輪邊緣線速度大小相等,即vA=vB。(2)摩擦傳動:如圖丙所示,兩輪邊緣接觸,接觸點(diǎn)無打滑現(xiàn)象時,兩輪邊緣線速度大小相等,即vA=vB。(3)同軸傳動:如圖丁所示,兩輪固定在一起繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動,兩輪轉(zhuǎn)動的角速度大小相等,即ωA=ωB。[多角練通]1.(2022·上海高考)風(fēng)速儀結(jié)構(gòu)如圖(a)所示。光源發(fā)出的光經(jīng)光纖傳輸,被探測器接收,當(dāng)風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)時,通過齒輪帶動凸輪圓盤旋轉(zhuǎn),當(dāng)圓盤上的凸輪經(jīng)過透鏡系統(tǒng)時光被擋住。風(fēng)輪葉片轉(zhuǎn)動半徑為r,每轉(zhuǎn)動n圈帶動凸輪圓盤轉(zhuǎn)動一圈。假設(shè)某段時間Δt內(nèi)探測器接收到的光強(qiáng)隨時間變化關(guān)系如圖(b)所示,那么該時間段內(nèi)風(fēng)輪葉片()A.轉(zhuǎn)速逐漸減小,平均速率為eq\f(4πnr,Δt)B.轉(zhuǎn)速逐漸減小,平均速率為eq\f(8πnr,Δt)C.轉(zhuǎn)速逐漸增大,平均速率為eq\f(4πnr,Δt)D.轉(zhuǎn)速逐漸增大,平均速率為eq\f(8πnr,Δt)解析:選B根據(jù)題意,從題圖(b)可以看出,在Δt時間內(nèi),探測器接收到光的時間在增長,凸輪圓盤的擋光時間也在增長,可以確定圓盤凸輪的轉(zhuǎn)動速度在減??;在Δt時間內(nèi)可以看出有4次擋光,即凸輪圓盤轉(zhuǎn)動4周,那么風(fēng)輪葉片轉(zhuǎn)動了4n周,風(fēng)輪葉片轉(zhuǎn)過的弧長為l=4n×2πr,轉(zhuǎn)動速率為:v=eq\f(8πnr,Δt),應(yīng)選項B正確。2.(2022·成都質(zhì)檢)光盤驅(qū)動器讀取數(shù)據(jù)的某種方式可簡化為以下模式,在讀取內(nèi)環(huán)數(shù)據(jù)時,以恒定角速度方式讀取,而在讀取外環(huán)數(shù)據(jù)時,以恒定線速度的方式讀取。如下圖,設(shè)內(nèi)環(huán)內(nèi)邊緣半徑為R1,內(nèi)環(huán)外邊緣半徑為R2,外環(huán)外邊緣半徑為R3。A、B、C分別為各邊緣線上的點(diǎn)。那么讀取內(nèi)環(huán)上A點(diǎn)時,A點(diǎn)的向心加速度大小和讀取外環(huán)上C點(diǎn)時,C點(diǎn)的向心加速度大小之比為()A.eq\f(R12,R2R3) B.eq\f(R22,R1R3)C.eq\f(R2R3,R12) D.eq\f(R1R3,R22)解析:選DA、B兩點(diǎn)角速度相同,由a=ω2r,可知aA∶aB=R1∶R2①;B、C兩點(diǎn)線速度相同,由a=eq\f(v2,r),可知aB∶aC=R3∶R2②;由①×②可得aA∶aC=R1R3∶R22,D項正確。3.(2022·桂林模擬)如下圖,B和C是一組塔輪,即B和C半徑不同,但固定在同一轉(zhuǎn)動軸上,其半徑之比為RB∶RC=3∶2,A輪的半徑大小與C輪相同,它與B輪緊靠在一起,當(dāng)A輪繞過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動時,由于摩擦作用,B輪也隨之無滑動地轉(zhuǎn)動起來。a、b、c分別為三輪邊緣的三個點(diǎn),那么a、b、c三點(diǎn)在運(yùn)動過程中的()A.線速度大小之比為3∶2∶2B.角速度之比為3∶3∶2C.轉(zhuǎn)速之比為2∶3∶2D.向心加速度大小之比為9∶6∶4解析:選DA、B輪摩擦傳動,故va=vb,ωaRA=ωbRB,ωa∶ωb=3∶2;B、C同軸轉(zhuǎn)動,故ωb=ωc,eq\f(vb,RB)=eq\f(vc,RC),vb∶vc=3∶2,因此va∶vb∶vc=3∶3∶2,ωa∶ωb∶ωc=3∶2∶2,故A、B錯誤;轉(zhuǎn)速之比等于角速度之比,故C錯誤;由a=ωv得:aa∶ab∶ac=9∶6∶4,D正確。突破點(diǎn)(二)水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動1.水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動軌跡特點(diǎn)運(yùn)動軌跡是圓且在水平面內(nèi)。2.勻速圓周運(yùn)動的受力特點(diǎn)(1)物體所受合外力大小不變,方向總是指向圓心。(2)合外力充當(dāng)向心力。3.解答勻速圓周運(yùn)動問題的一般步驟(1)選擇做勻速圓周運(yùn)動的物體作為研究對象。(2)分析物體受力情況,其合外力提供向心力。(3)由Fn=meq\f(v2,r)或Fn=mω2r或Fn=meq\f(4π2r,T2)列方程求解。[典例](多項選擇)(2022·浙江高考)如下圖為賽車場的一個水平“梨形〞賽道,兩個彎道分別為半徑R=90m的大圓弧和r=40m的小圓弧,直道與彎道相切。大、小圓弧圓心O、O′距離L=100m。賽車沿彎道路線行駛時,路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍。假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動,在彎道上做勻速圓周運(yùn)動。要使賽車不打滑,繞賽道一圈時間最短(發(fā)動機(jī)功率足夠大,重力加速度g=10m/s2,π=3.14),那么賽車()A.在繞過小圓弧彎道后加速B.在大圓弧彎道上的速率為45m/sC.在直道上的加速度大小為5.63m/s2D.通過小圓弧彎道的時間為5.58s[審題指導(dǎo)](1)要使賽車?yán)@賽道一圈所用時間最短,賽車在彎道上運(yùn)動的速度應(yīng)最大,此時恰好由最大靜摩擦力提供向心力。(2)賽車在彎道上做勻速圓周運(yùn)動的速度對應(yīng)賽車在直道上的初速度和末速度。(3)借助三角函數(shù)知識確定直道長度和彎道對應(yīng)的圓心角。[解析]賽車做圓周運(yùn)動時,由F=eq\f(mv2,R)知,在小圓弧上的速度小,故賽車?yán)@過小圓弧后加速,選項A正確;在大圓弧彎道上時,根據(jù)F=meq\f(v2,R)知,其速率v=eq\r(\f(FR,m))=eq\r(\f(2.25mgR,m))=45m/s,選項B正確;同理可得在小圓弧彎道上的速率v′=30m/s。如下圖,由邊角關(guān)系可得α=60°,直道的長度x=Lsin60°=50eq\r(3)m,據(jù)v2-v′2=2ax知在直道上的加速度a≈6.50m/s2,選項C錯誤;小彎道對應(yīng)的圓心角為120°,弧長為s=eq\f(2πr,3),對應(yīng)的運(yùn)動時間t=eq\f(s,v′)≈2.79s,選項D錯誤。[答案]AB[方法規(guī)律]求解圓周運(yùn)動問題必須進(jìn)行的三類分析幾何分析目的是確定圓周運(yùn)動的圓心、半徑等運(yùn)動分析目的是確定圓周運(yùn)動的線速度、角速度、向心加速度等受力分析目的是通過力的合成與分解,表示出物體做圓周運(yùn)動時,外界所提供的向心力[集訓(xùn)沖關(guān)]1.(2022·三門峽陜州中學(xué)專訓(xùn))在玻璃管中放一個乒乓球后注滿水,然后用軟木塞封住管口,將此玻璃管固定在轉(zhuǎn)盤上,管口置于轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)軸處,處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)轉(zhuǎn)盤在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時,如下圖,那么乒乓球會(球直徑比管直徑略小)()A.向管底運(yùn)動 B.向管口運(yùn)動C.保持不動 D.無法判斷解析:選B開始時,玻璃管壁的摩擦力缺乏以提供水做圓周運(yùn)動時所需要的合外力,所以水被“甩〞到外側(cè)管底才能隨轉(zhuǎn)盤進(jìn)行圓周運(yùn)動,那么乒乓球在水的作用下向管口運(yùn)動,故B正確。2.(多項選擇)(2022·蘭州一中月考)如下圖,在固定的圓錐形漏斗的光滑內(nèi)壁上,有兩個小球A和B,質(zhì)量分別為mA和mB,它們分別緊貼漏斗的內(nèi)壁在不同的水平面上做勻速圓周運(yùn)動。那么以下表達(dá)正確的選項是()A.只有當(dāng)mA<mB時,小球A的角速度才會大于小球B的角速度B.不管A、B的質(zhì)量關(guān)系如何,小球A的線速度始終大于小球B的線速度C.不管A、B的質(zhì)量關(guān)系如何,小球A對漏斗內(nèi)壁的壓力始終大于小球B對漏斗內(nèi)壁的壓力D.不管A、B質(zhì)量關(guān)系如何,小球A的周期始終大于小球B的周期解析:選BD對A、B兩球中任意一球研究,進(jìn)行受力分析,如圖,小球只受重力和漏斗給的支持力FN。如下圖,設(shè)內(nèi)壁與水平面的夾角為θ。根據(jù)牛頓第二定律有:mgtanθ=mω2r=meq\f(v2,r)=meq\f(4π2,T2)r,那么得ω=eq\r(\f(gtanθ,r)),v=eq\r(grtanθ),T=2πeq\r(\f(r,gtanθ))。可知,小球的軌道半徑越大角速度越小,線速度越大,周期越大,與兩球質(zhì)量大小無關(guān)。所以A的角速度小于B的角速度,A的線速度大于B的線速度,A的周期始終大于B的周期,故A錯誤,B、D正確;支持力FN=eq\f(mg,cosθ),θ相同,知兩球所受的支持力與質(zhì)量成正比,故C錯誤。3.(2022·濰坊高三段考)為確保彎道行車平安,汽車進(jìn)入彎道前必須減速。如下圖,AB為進(jìn)入彎道前的平直公路,BC為水平圓弧形彎道。AB段的距離sAB=14m,彎道半徑R=24m。汽車到達(dá)A點(diǎn)時速度vA=16m/s,汽車與路面間的動摩擦因數(shù)μ=0.6,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,取g=10m/s2。要確保汽車進(jìn)入彎道后不側(cè)滑。求汽車:(1)在彎道上行駛的最大速度;(2)在AB段做勻減速運(yùn)動的最小加速度。解析:(1)在BC彎道,由牛頓第二定律得,μmg=meq\f(vmax2,R),代入數(shù)據(jù)解得vmax=12m/s。(2)汽車勻減速至B處,速度恰好減為12m/s時,加速度最小,由運(yùn)動學(xué)公式-2aminsAB=vmax2-vA2,代入數(shù)據(jù)解得amin=4m/s2。答案:(1)12m/s(2)4m/s2突破點(diǎn)(三)豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動輕“繩〞模型輕“桿〞模型情景圖示彈力特征彈力可能向下,也可能等于零彈力可能向下,可能向上,也可能等于零受力示意圖力學(xué)方程mg+FT=meq\f(v2,r)mg±FN=meq\f(v2,r)臨界特征FT=0,即mg=meq\f(v2,r),得v=eq\r(gr)v=0,即F向=0,此時FN=mgv=eq\r(gr)的意義物體能否過最高點(diǎn)的臨界點(diǎn)FN表現(xiàn)為拉力還是支持力的臨界點(diǎn)[典例]如下圖,小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動,內(nèi)側(cè)壁半徑為R,小球半徑為r,那么以下說法正確的選項是()A.小球通過最高點(diǎn)時的最小速度vmin=eq\r(gR+r)B.小球通過最高點(diǎn)時的最小速度vmin=0C.小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動時,外側(cè)管壁對小球一定無作用力D.小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動時,內(nèi)側(cè)管壁對小球一定有作用力[模型建立]小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)的圓周運(yùn)動屬于輕“桿〞模型,桿的長度為R+r。[解析]小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)的圓周運(yùn)動屬于輕桿模型,小球通過最高點(diǎn)的最小速度為0,A錯誤,B正確;小球在水平線ab以下管道運(yùn)動,由于沿半徑方向的合力提供做圓周運(yùn)動的向心力,所以外側(cè)管壁對小球一定有作用力,而內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力。故C錯誤;小球在水平線ab以上管道運(yùn)動,由于沿半徑方向的合力提供做圓周運(yùn)動的向心力,當(dāng)速度非常大時,內(nèi)側(cè)管壁沒有作用力,此時外側(cè)管壁有作用力。當(dāng)速度比擬小時,內(nèi)側(cè)管壁有作用力。故D錯誤。[答案]B[應(yīng)用領(lǐng)悟]在解答豎直平面內(nèi)物體的圓周運(yùn)動問題時,首先要確定是屬于輕“繩〞模型,還是輕“桿〞模型,然后注意區(qū)分兩者在最高點(diǎn)的最小速度要求,區(qū)分繩與桿的施力特點(diǎn),必要時還要根據(jù)牛頓運(yùn)動定律列式求解。[集訓(xùn)沖關(guān)]1.(2022·福州質(zhì)檢)如下圖,長均為L的兩根輕繩,一端共同系住質(zhì)量為m的小球,另一端分別固定在等高的A、B兩點(diǎn),A、B兩點(diǎn)間的距離也為L。重力加速度大小為g?,F(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運(yùn)動,假設(shè)小球在最高點(diǎn)速率為v時,兩根輕繩的拉力恰好均為零,那么小球在最高點(diǎn)速率為2v時,每根輕繩的拉力大小為()A.eq\r(3)mg B.eq\f(4,3)eq\r(3)mgC.3mg D.2eq\r(3)mg解析:選A小球在運(yùn)動過程中,A、B兩點(diǎn)與小球所在位置構(gòu)成等邊三角形,由此可知,小球圓周運(yùn)動的半徑R=L·sin60°=eq\f(\r(3),2)L,兩繩與小球運(yùn)動半徑方向間的夾角為30°,由題意,小球在最高點(diǎn)的速率為v時,mg=meq\f(v2,R),當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速率為2v時,應(yīng)有:F+mg=meq\f(2v2,R),可解得:F=3mg。由2FTcos30°=F,可得兩繩的拉力大小均為FT=eq\r(3)mg,A項正確。2.如下圖,乘坐游樂園的翻滾過山車時,質(zhì)量為m的人隨車在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),以下說法正確的選項是()A.過山車在最高點(diǎn)時人處于倒坐狀態(tài),全靠保險帶拉住,沒有保險帶,人就會掉下來B.人在最高點(diǎn)時對座位不可能產(chǎn)生大小為mg的壓力C.人在最低點(diǎn)時對座位的壓力等于mgD.人在最低點(diǎn)時對座位的壓力大于mg解析:選D人過最高點(diǎn)時,F(xiàn)N+mg=meq\f(v2,R),當(dāng)v≥eq\r(gR)時,不用保險帶,人也不會掉下來,當(dāng)v=eq\r(2gR)時,人在最高點(diǎn)時對座位產(chǎn)生的壓力為mg,A、B均錯誤;人在最低點(diǎn)具有豎直向上的加速度,處于超重狀態(tài),故人此時對座位的壓力大于mg,C錯誤,D正確。3.(多項選擇)(2022·北京東城區(qū)模擬)長為L的輕桿,一端固定一個小球,另一端固定在光滑的水平軸上,使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動,關(guān)于小球在最高點(diǎn)的速度v,以下說法中正確的選項是()A.當(dāng)v=eq\r(gL)時,輕桿對小球的彈力為零B.當(dāng)v由eq\r(gL)逐漸增大時,輕桿對小球的拉力逐漸增大C.當(dāng)v由eq\r(gL)逐漸減小時,輕桿對小球的支持力逐漸減小D.當(dāng)v由零逐漸增大時,向心力也逐漸增大解析:選ABD在最高點(diǎn)輕桿對小球的作用力為0時,由牛頓第二定律得mg=eq\f(mv2,L),v=eq\r(gL),A正確;當(dāng)v>eq\r(gL)時,輕桿對小球有拉力,那么F+mg=eq\f(mv2,L),v增大,F(xiàn)增大,B正確;當(dāng)v<eq\r(gL)時,輕桿對小球有支持力,那么mg-F′=eq\f(mv2,L),v減小,F(xiàn)′增大,C錯誤;由F向=eq\f(mv2,L)知,v增大,向心力增大,D正確。斜面上圓周運(yùn)動的臨界問題在斜面上做圓周運(yùn)動的物體,因所受的控制因素不同,如靜摩擦力控制、繩控制、桿控制,物體的受力情況和所遵循的規(guī)律也不相同。下面列舉三類實例。(一)靜摩擦力控制下的圓周運(yùn)動1.(2022·安徽高考)如下圖,一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動,盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為eq\f(\r(3),2)(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力),盤面與水平面的夾角為30°,g取10m/s2。那么ω的最大值是()A.eq\r(5)rad/s B.eq\r(3)rad/sC.1.0rad/s D.5rad/s解析:選C物體隨圓盤做圓周運(yùn)動,運(yùn)動到最低點(diǎn)時最容易滑動,因此物體在最低點(diǎn)且剛好要滑動時的轉(zhuǎn)動角速度為最大值,這時,根據(jù)牛頓第二定律有,μmgcos30°-mgsin30°=mrω2,求得ω=1.0rad/s,C項正確,A、B、D項錯誤。(二)輕桿控制下的圓周運(yùn)動2.如下圖,在傾角為α=30°的光滑斜面上,有一根長為L=0.8m的輕桿,一端固定在O點(diǎn),另一端系一質(zhì)量為m=0.2kg的小球,沿斜面做圓周運(yùn)動,取g=10m/s2,假設(shè)要小球能通過最高點(diǎn)A,那么小球在最低點(diǎn)B的最小速度是()A.4m/s B.2eq\r(10)m/sC.2eq\r(5)m/s D.2eq\r(2)m/s解析:選A小球受輕桿控制,在A點(diǎn)的最小速度為零,由2mgLsinα=eq\f(1,2)mvB2,可得vB=4m/s,A正確。(三)輕繩控制下的圓周運(yùn)動3.(2022·開封模擬)如下圖,一塊足夠大的光滑平板放置在水平面上,能繞水平固定軸MN調(diào)節(jié)其與水平面所成的傾角。板上一根長為l=0.60m的輕繩,它的一端系住一質(zhì)量為m的小球P,另一端固定在板上的O點(diǎn)。當(dāng)平板的傾角固定為α?xí)r,先將輕繩平行于水平軸MN拉直,然后給小球一沿著平板并與輕繩垂直的初速度v0=3.0m/s。假設(shè)小球能保持在板面內(nèi)做圓周運(yùn)動,傾角α的值應(yīng)在什么范圍內(nèi)?(取重力加速度g=10m/s2)解析:小球在傾斜平板上運(yùn)動時受到繩子拉力、平板彈力、重力。在垂直平板方向上合力為0,重力在沿平板方向的分量為mgsinα小球在最高點(diǎn)時,由繩子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力,有FT+mgsinα=eq\f(mv12,l)①研究小球從釋放到最高點(diǎn)的過程,根據(jù)動能定理有-mglsinα=eq\f(1,2)mv12-eq\f(1,2)mv02②假設(shè)恰好能通過最高點(diǎn),那么繩子拉力FT=0③聯(lián)立①②③解得sinα=eq\f(1,2),解得α=30°故α的范圍為0°≤α≤30°。答案:0°≤α≤30°
對點(diǎn)訓(xùn)練:描述圓周運(yùn)動的物理量1.汽車在公路上行駛時一般不打滑,輪子轉(zhuǎn)一周,汽車向前行駛的距離等于車輪的周長。某國產(chǎn)轎車的車輪半徑約為30cm,當(dāng)該型號的轎車在高速公路上勻速行駛時,駕駛員面前速率計的指針指在“120km/h〞上,可估算出該車輪的轉(zhuǎn)速近似為()A.1000r/s B.1000r/minC.1000r/h D.2000r/s解析:選B設(shè)經(jīng)過時間t,轎車勻速行駛的路程x=vt,此過程中轎車輪緣上的某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動的路程x′=nt·2πR,其中n為車輪的轉(zhuǎn)速,由x=x′可得:vt=nt·2πR,n=eq\f(v,2πR)≈17.7r/s=1062r/min。B正確。2.(2022·湖北省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如下圖,由于地球的自轉(zhuǎn),地球外表上P、Q兩物體均繞地球自轉(zhuǎn)軸做勻速圓周運(yùn)動,對于P、Q兩物體的運(yùn)動,以下說法正確的選項是()A.P、Q兩物體的角速度大小相等B.P、Q兩物體的線速度大小相等C.P物體的線速度比Q物體的線速度大D.P、Q兩物體均受重力和支持力兩個力作用解析:選AP、Q兩物體都是繞地軸做勻速圓周運(yùn)動,角速度相等,即ωP=ωQ,選項A對;根據(jù)圓周運(yùn)動線速度v=ωR,P、Q兩物體做勻速圓周運(yùn)動的半徑不等,即P、Q兩物體做圓周運(yùn)動的線速度大小不等,選項B錯;Q物體到地軸的距離遠(yuǎn),圓周運(yùn)動半徑大,線速度大,選項C錯;P、Q兩物體均受到萬有引力和支持力作用,重力只是萬有引力的一個分力,選項D錯。3.如下圖,甲、乙兩水平圓盤緊靠在一塊,甲圓盤為主動輪,乙靠摩擦隨甲轉(zhuǎn)動且無滑動。甲圓盤與乙圓盤的半徑之比為r甲:r乙=3∶1,兩圓盤和小物體m1、m2之間的動摩擦因數(shù)相同,m1距O點(diǎn)為2r,m2距O′點(diǎn)為r,當(dāng)甲緩慢轉(zhuǎn)動起來且轉(zhuǎn)速慢慢增加時()A.m1與m2滑動前的角速度之比ω1∶ω2=3∶1B.m1與m2滑動前的向心加速度之比a1∶a2=1∶3C.隨轉(zhuǎn)速慢慢增加,m1先開始滑動D.隨轉(zhuǎn)速慢慢增加,m2先開始滑動解析:選D甲、乙兩圓盤邊緣上的各點(diǎn)線速度大小相等,有:ω1·3r=ω2·r,那么得ω1∶ω2=1∶3,所以小物體相對盤開始滑動前,m1與m2的角速度之比為1∶3,故A錯誤;小物體相對盤開始滑動前,根據(jù)a=ω2r得:m1與m2的向心加速度之比為a1∶a2=(ω12·2r)∶(ω22r)=2∶9,故B錯誤;根據(jù)μmg=mrω2=ma知,因a1∶a2=2∶9,圓盤和小物體的動摩擦因數(shù)相同,可知當(dāng)轉(zhuǎn)速增加時,m2先到達(dá)臨界角速度,所以m2先開始滑動。故D正確,C錯誤。對點(diǎn)訓(xùn)練:水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動4.山城重慶的輕軌交通頗有山城特色,由于地域限制,彎道半徑很小,在某些彎道上行駛時列車的車身嚴(yán)重傾斜。每到這樣的彎道乘客都有一種坐過山車的感覺,很是驚險刺激。假設(shè)某彎道鐵軌是圓弧的一局部,轉(zhuǎn)彎半徑為R,重力加速度為g,列車轉(zhuǎn)彎過程中傾角(車廂地面與水平面夾角)為θ,那么列車在這樣的軌道上轉(zhuǎn)彎行駛的平安速度(軌道不受側(cè)向擠壓)為()A.eq\r(gRsinθ) B.eq\r(gRcosθ)C.eq\r(gRtanθ) D.eq\r(gRcotθ)解析:選C軌道不受側(cè)向擠壓時,軌道對列車的作用力就只有彈力,重力和彈力的合力提供向心力,根據(jù)向心力公式mgtanθ=meq\f(v2,R),得v=eq\r(gRtanθ),C正確。5.(多項選擇)如下圖,在水平轉(zhuǎn)臺上放一個質(zhì)量M=2.0kg的木塊,它與臺面間的最大靜摩擦力fm=6.0N,繩的一端系住木塊,另一端穿過轉(zhuǎn)臺的中心孔O(為光滑的)懸吊一質(zhì)量m=1.0kg的小球,當(dāng)轉(zhuǎn)臺以ω=5.0rad/s的角速度勻速轉(zhuǎn)動時,欲使木塊相對轉(zhuǎn)臺靜止,那么木塊到O孔的距離可能是(重力加速度g=10m/s2,木塊、小球均視為質(zhì)點(diǎn))()A.6cm B.15cmC.30cm D.34cm解析:選BC轉(zhuǎn)臺以一定的角速度ω勻速轉(zhuǎn)動,木塊所需的向心力與做圓周運(yùn)動的半徑r成正比,在離O點(diǎn)最近處r=r1時,木塊有靠近O點(diǎn)的運(yùn)動趨勢,這時摩擦力沿半徑向外,剛好到達(dá)最大靜摩擦力fm,即mg-fm=Mω2r1,得r1=eq\f(mg-fm,Mω2)=8cm,同理,木塊在離O點(diǎn)最遠(yuǎn)處r=r2時,有遠(yuǎn)離O點(diǎn)的運(yùn)動趨勢,這時摩擦力的方向指向O點(diǎn),且到達(dá)最大靜摩擦力fm,即mg+fm=Mω2r2,得r2=eq\f(mg+fm,Mω2)=32cm,那么木塊能夠相對轉(zhuǎn)臺靜止,半徑應(yīng)滿足關(guān)系式r1≤r≤r2。選項B、C正確。6.(多項選擇)(2022·開封質(zhì)檢)如下圖,在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上,沿半徑方向放著用細(xì)線相連的質(zhì)量相等的兩個物體A和B,它們分居圓心兩側(cè),與圓心距離分別為RA=r,RB=2r,與盤間的動摩擦因數(shù)μ相同,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時,以下說法正確的選項是()A.此時繩子張力為T=3μmgB.此時圓盤的角速度為ω=eq\r(\f(2μg,r))C.此時A所受摩擦力方向沿半徑指向圓外D.此時燒斷繩子,A仍相對盤靜止,B將做離心運(yùn)動解析:選ABCA和B隨著圓盤轉(zhuǎn)動時,合外力提供向心力,那么F=mω2r,B的運(yùn)動半徑比A的半徑大,所以B所需向心力大,繩子拉力相等,所以當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時,B的靜摩擦力方向沿半徑指向圓心,A的最大靜摩擦力方向沿半徑指向圓外,根據(jù)牛頓第二定律得:T-μmg=mω2r,T+μmg=mω2·2r,解得:T=3μmg,ω=eq\r(\f(2μg,r)),故A、B、C正確;此時燒斷繩子,A的最大靜摩擦力缺乏以提供向心力,那么A做離心運(yùn)動,故D錯誤。7.(2022·湖南高三聯(lián)考)汽車試車場中有一個檢測汽車在極限狀態(tài)下的車速的試車道,試車道呈錐面(漏斗狀),側(cè)面圖如下圖。測試的汽車質(zhì)量m=1t,車道轉(zhuǎn)彎半徑r=150m,路面傾斜角θ=45°,路面與車胎的動摩擦因數(shù)μ為0.25,設(shè)路面與車胎的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,(g取10m/s2)求(1)假設(shè)汽車恰好不受路面摩擦力,那么其速度應(yīng)為多大?(2)汽車在該車道上所能允許的最小車速。解析:(1)汽車恰好不受路面摩擦力時,由重力和支持力的合力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律得:mgtanθ=meq\f(v2,r)解得:v≈38.7m/s。(2)當(dāng)車道對車的摩擦力沿車道向上且等于最大靜摩擦力時,車速最小,受力如圖,根據(jù)牛頓第二定律得:FNsinθ-Ffcosθ=meq\f(vmin2,r)FNcosθ+Ffsinθ-mg=0Ff=μFN解得:vmin=30m/s。答案:(1)38.7m/s(2)30m/s對點(diǎn)訓(xùn)練:豎直面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動8.(2022·咸陽一模)固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道ABCD,其A點(diǎn)與圓心等高,D點(diǎn)為軌道的最高點(diǎn),DB為豎直線,AC為水平線,AE為水平面,如下圖。今使小球自A點(diǎn)正上方某處由靜止釋放,且從A點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道運(yùn)動,只要適當(dāng)調(diào)節(jié)釋放點(diǎn)的高度,總能使球通過最高點(diǎn)D,那么小球通過D點(diǎn)后()A.一定會落到水平面AE上B.一定會再次落到圓弧軌道上C.可能會再次落到圓弧軌道上D.不能確定解析:選A設(shè)小球恰好能夠通過最高點(diǎn)D,根據(jù)mg=meq\f(vD2,R),得:vD=eq\r(gR),知在最高點(diǎn)的最小速度為eq\r(gR)。小球經(jīng)過D點(diǎn)后做平拋運(yùn)動,根據(jù)R=eq\f(1,2)gt2得:t=eq\r(\f(2R,g))。那么平拋運(yùn)動的水平位移為:x=eq\r(gR)·eq\r(\f(2R,g))=eq\r(2)R,知小球一定落在水平面AE上。故A正確,B、C、D錯誤。9.(2022·綿陽診斷)如下圖,輕桿長3L,在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B,光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點(diǎn),外界給系統(tǒng)一定能量后,桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,球B運(yùn)動到最高點(diǎn)時,桿對球B恰好無作用力。忽略空氣阻力。那么球B在最高點(diǎn)時()A.球B的速度為零B.球A的速度大小為eq\r(2gL)C.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mgD.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg解析:選C球B運(yùn)動到最高點(diǎn)時,桿對球B恰好無作用力,即重力恰好提供向心力,有mg=meq\f(vB2,2L),解得vB=eq\r(2gL),故A錯誤;由于A、B兩球的角速度相等,那么球A的速度大小vA=eq\f(1,2)eq\r(2gL),故B錯誤;B球在最高點(diǎn)時,對桿無彈力,此時A球受重力和拉力的合力提供向心力,有F-mg=meq\f(vA2,L),解得:F=1.5mg,故C正確,D錯誤。10.(多項選擇)“水流星〞是一種常見的雜技工程,該運(yùn)動可以簡化為細(xì)繩一端系著小球在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動模型。繩長為l,重力加速度為g,那么()A.小球運(yùn)動到最低點(diǎn)Q時,處于失重狀態(tài)B.小球初速度v0越大,那么在P、Q兩點(diǎn)繩對小球的拉力差越大C.當(dāng)v0>eq\r(6gl)時,小球一定能通過最高點(diǎn)PD.當(dāng)v0<eq\r(gl)時,細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài)解析:選CD小球運(yùn)動到最低點(diǎn)Q時,由于加速度向上,故處于超重狀態(tài),選項A錯誤;小球在最低點(diǎn)時:FT1-mg=meq\f(v02,l);在最高點(diǎn)時:FT2+mg=meq\f(v2,l),其中eq\f(1,2)mv02-mg·2l=eq\f(1,2)mv2,解得FT1-FT2=6mg,故在P、Q兩點(diǎn)繩對小球的拉力差與初速度v0無關(guān),選項B錯誤;當(dāng)v0=eq\r(6gl)時,可求得v=eq\r(2gl),因為小球經(jīng)過最高點(diǎn)的最小速度為eq\r(gl),那么當(dāng)v0>eq\r(6gl)時小球一定能通過最高點(diǎn)P,選項C正確;當(dāng)v0=eq\r(gl)時,由eq\f(1,2)mv02=mgh得小球能上升的高度h=eq\f(1,2)l,即小球不能越過與懸點(diǎn)等高的位置,故當(dāng)v0<eq\r(gl)時,小球?qū)⒃谧畹忘c(diǎn)位置附近來回擺動,細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài),選項D正確??键c(diǎn)綜合訓(xùn)練11.(多項選擇)(2022·湖南聯(lián)考)如下圖為用絞車拖物塊的示意圖。拴接物塊的細(xì)線被纏繞在輪軸上,輪軸逆時針轉(zhuǎn)動從而拖動物塊。輪軸的半徑R=0.5m,細(xì)線始終保持水平;被拖動物塊質(zhì)量m=1.0kg,與地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5;輪軸的角速度隨時間變化的關(guān)系是ω=kt,k=2rad/s,g=10m/s2,以下判斷正確的選項是()A.物塊做勻速運(yùn)動B.細(xì)線對物塊的拉力是5.0NC.細(xì)線對物塊的拉力是6.0ND.物塊做勻加速直線運(yùn)動,加速度大小是1.0m/s2解析:選CD由題意知,物塊的速度為:v=ωR=2t×0.5=1t(m),又v=at,故可得:a=1m/s2,所以物塊做勻加速直線運(yùn)動,加速度大小是1.0m/s2。故A錯誤,D正確;由牛頓第二定律可得:物塊所受合外力為:F=ma=1N,F(xiàn)=FT-Ff,地面摩擦力為:Ff=μmg=0.5×1×10N=5N,故可得物塊受細(xì)線拉力為:FT=Ff+F=5N+1N=6N,故B錯誤,C正確。12.如下圖,質(zhì)量為M的物體內(nèi)有光滑圓形軌道,現(xiàn)有一質(zhì)量為m的小滑塊沿該圓形軌道在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動。A、C點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),B、D點(diǎn)是與圓心O同一水平線上的點(diǎn)。小滑塊運(yùn)動時,物體在地面上靜止不動,那么物體對地面的壓力FN和地面對物體的摩擦力有關(guān)說法正確的選項是()A.小滑塊在A點(diǎn)時,F(xiàn)N>Mg,摩擦力方向向左B.小滑塊在B點(diǎn)時,F(xiàn)N=Mg,摩擦力方向向右C.小滑塊在C點(diǎn)時,F(xiàn)N=(M+m)g,M與地面無摩擦D.小滑塊在D點(diǎn)時,F(xiàn)N=(M+m)g,摩擦力方向向左解析:選B因為軌道光滑,所以小滑塊與軌道之間沒有摩擦力。小滑塊在A點(diǎn)時,與軌道沒有水平方向的作用力,所以軌道沒有運(yùn)動趨勢,即摩擦力為零;當(dāng)小滑塊的速度v=eq\r(gR)時,對軌道A點(diǎn)的壓力為零,物體對地面的壓力FN=Mg,當(dāng)小滑塊的速度v>eq\r(gR)時,對軌道
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