概率4-1 第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》 教學(xué)課件

第一節(jié)數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)

在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.

因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、概念的引入：我們來(lái)看一個(gè)引例.例1某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.如何定義X的平均值呢？我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況假設(shè)統(tǒng)計(jì)100天,32天沒(méi)有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為這個(gè)數(shù)能否作為X的平均值呢？〔假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品〕可以想象，假設(shè)另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.n0天沒(méi)有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出三件廢品)一般來(lái)說(shuō),假設(shè)統(tǒng)計(jì)n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均

當(dāng)N很大時(shí)，頻率接近于概率，所以我們?cè)谇髲U品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù).我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值.定義1設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…請(qǐng)注意:離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱為均值。假設(shè)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，那么稱級(jí)數(shù)即的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為,例101200.20.80120.60.30.1例2到站時(shí)刻

8:108:308:509:109:309:50

概率

1/63/62/6一旅客8:20到車站,求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.

例3按規(guī)定,某車站每天8:00~9:00,9:00~10:00都恰有一輛客車到站,但到站時(shí)刻是隨機(jī)的,且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。其規(guī)律為：

X1030507090

二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0<x1<x2<…,那么X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為

由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來(lái)近似代替.這正是的漸近和式.近似,因此X與以概率取值xi的離散型r.v

該離散型的數(shù)學(xué)期望是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義.定義2設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),如果積分絕對(duì)收斂,那么稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望,即請(qǐng)注意:連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分.例4

例5假設(shè)將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī),求整機(jī)壽命(以小時(shí)計(jì))N的數(shù)學(xué)期望.的分布函數(shù)為三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.問(wèn)題的提出：設(shè)隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比方說(shuō)g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由的X的分布求出來(lái).一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來(lái).那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的.(1)當(dāng)X為離散型時(shí),它的分布率為P(X=xk)=pk;(2)當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),它的密度函數(shù)為f(x).假設(shè)定理設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.上述定理還可以推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況。例6例7例7例5設(shè)X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互獨(dú)立，求E(max(X,Y)).解D1D2例5解(1)設(shè)整機(jī)壽命為N,五個(gè)獨(dú)立元件,壽命分別為都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，假設(shè)將它們(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)成整機(jī)，求整機(jī)壽命的均值.〔P.142例6〕例4例4即N~E(5),(2)設(shè)整機(jī)壽命為可見(jiàn),并聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命比串聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命長(zhǎng)11倍之多.四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，那么E(C)=C;4.設(shè)X、Y相互獨(dú)立，那么E(XY)=E(X)E(Y);2.假設(shè)k是常數(shù)，那么E(kX)=kE(X);

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);〔諸Xi相互獨(dú)立時(shí)〕請(qǐng)注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用例8求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望假設(shè)X~B(n,p)，那么X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功〞次數(shù).現(xiàn)在我們來(lái)求X的數(shù)學(xué)期望.

可見(jiàn)，服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np.

X~B(n,p),假設(shè)設(shè)那么X=X1+X2+…+Xn=npi=1,2，…，n因?yàn)镻(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=那么X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功〞次數(shù).E(Xi)==p例9把數(shù)字1,2,…,n任意地排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，那么稱為一個(gè)巧合，求巧合個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.由于E(Xk)=P(Xk=1)解:設(shè)巧合個(gè)數(shù)為X,

k=1,2,…,n則故引入例10一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出,旅客有10個(gè)車站可以下車,如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù)，求E(X).(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立)按題意此題是將X分解成數(shù)個(gè)隨機(jī)變量之和,然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和來(lái)求數(shù)學(xué)期望的,此方法具有一定的意義.六、課堂練習(xí)1某人的一串鑰匙上有n把鑰匙,其中只有一把能打開自己的家門,他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門,若每把鑰匙試開一次后除去,求打開門時(shí)試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為1解

設(shè)試開次數(shù)為X,于是

E(X)2解Y是隨機(jī)變量X的函數(shù),P(X=k)=1/n,k=1,2,…,n數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用應(yīng)用據(jù)統(tǒng)計(jì)65歲的人在10年內(nèi)正常死亡解應(yīng)用1公司開辦老人事故死亡保險(xiǎn),參加者需交納保險(xiǎn)費(fèi)100元.假設(shè)10年內(nèi)因事故死亡公司賠償

a元,應(yīng)如何定a,才能使公司可期望獲益;假設(shè)有1000人投保,公司期望總獲益多少?設(shè)Xi

表示公司從第i個(gè)投保者身上所得的收益,i=1~1000.那么Xi~0.980.02100100應(yīng)用1由題設(shè)公司每筆賠償小于5000元,能使公司獲益.公司期望總收益為假設(shè)公司每筆賠償3000元,能使公司期望總獲益40000元.為普查某種疾病,n個(gè)人需驗(yàn)血.驗(yàn)血方案有如下兩種：分別化驗(yàn)每個(gè)人的血,共需化驗(yàn)n次；分組化驗(yàn),k個(gè)人的血混在一起化驗(yàn),假設(shè)結(jié)果為陰性,那么只需化驗(yàn)一次;假設(shè)為陽(yáng)性,那么對(duì)k個(gè)人的血逐個(gè)化驗(yàn),找出有病者,此時(shí)k個(gè)人的血需化驗(yàn)k+1次.設(shè)每人血液化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為p,且一方案較經(jīng)濟(jì).驗(yàn)血方案的選擇應(yīng)用2應(yīng)用2解只須計(jì)算方案(2)所需化驗(yàn)次數(shù)的期望.為簡(jiǎn)單計(jì),不妨設(shè)n是k的倍數(shù)，共分成n/k組.設(shè)第i組需化驗(yàn)的次數(shù)為Xi,那么Xi

P1k+1

若則E(X)<n例如,當(dāng)

時(shí),選擇方案(2)較經(jīng)濟(jì).市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年需求量為X噸，X~U[2000,4000],每出售一噸可賺3萬(wàn)元,售不出去，那么每噸需倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)應(yīng)該生產(chǎn)這中商品多少噸,才能使平均利潤(rùn)最大？解設(shè)每年生產(chǎn)y噸的利潤(rùn)為Y顯然，2000<y<4000應(yīng)用3應(yīng)用3顯然，故y=3500時(shí),E(Y)最大,E(Y)=8250萬(wàn)元例:設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)線上合格品率為0.96,不合格品中只有3/4的產(chǎn)品可以再加工,且再加工的合格率為0.8,其余為廢品.每件合格品可獲利80元,每件廢品虧損20元,為保證企業(yè)每天平均利潤(rùn)不低于2萬(wàn)元,問(wèn)企業(yè)每天至少應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?解:那么每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X(mm)~N(,1).銷售每個(gè)零件的利潤(rùn)T(元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下的關(guān)系：?jiǎn)柶骄睆?/p>

為何值時(shí),銷售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大？(習(xí)題四15題)應(yīng)用4應(yīng)用4解即可以驗(yàn)證，零件的平均利潤(rùn)最大.故時(shí),銷售一個(gè)例:倒扣多少分?經(jīng)常,有些考生做選擇題時(shí),亂選一通,為了懲罰這些考生,唯一的方法,就是對(duì)每一個(gè)錯(cuò)誤答案倒扣假設(shè)干分.假設(shè)每條選擇題有五個(gè)答案，只有一個(gè)是正確的。在某次考試中，李老師共出20題，每題5分，總分值是100分。他決定每一個(gè)錯(cuò)誤答案倒扣假設(shè)干分，但應(yīng)倒扣多少分才合理呢？倒扣太多對(duì)學(xué)生不公平，但倒扣太少又起步了杜絕亂選的作用。倒扣的分?jǐn)?shù)，應(yīng)該恰到好處，使亂選一通的學(xué)生一無(wú)所獲。換句話說(shuō)，如果學(xué)生完全靠運(yùn)氣的話，他的總分的數(shù)學(xué)期望應(yīng)該是0。假定對(duì)一個(gè)錯(cuò)誤答案倒扣x分，而正確答案得5分。隨意選一個(gè)答案，選到錯(cuò)誤答案的概率是4/5，選到正確