插值法與數(shù)值微分

關(guān)于插值法與數(shù)值微分第1頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四引言

插值法在工程及建筑設(shè)計中應(yīng)用十分廣泛。例如，已知一天24小時的逐時室外氣溫、綜合溫度、冷熱負(fù)荷等值，需要知道其他任意時刻的值，即可應(yīng)用插值計算求得；又如，我國工業(yè)企業(yè)采取通風(fēng)和空氣調(diào)節(jié)設(shè)計規(guī)范中，僅給出了有限個地區(qū)相應(yīng)有限個方位的夏季太陽輻射熱總強(qiáng)度值，以及透過窗玻璃的太陽總輻射強(qiáng)度值，至于其它任意方位（0-350）的中間值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。

實際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測到一些離散數(shù)據(jù)；或者f(x)過于復(fù)雜而難以運算。這時我們要用近似函數(shù)g(x)來逼近f(x)。這個過程就是曲線擬合。第2頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四常用曲線擬合方法：插值法、最小二乘法

自然地，希望g(x)通過所有的離散點x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)本章學(xué)習(xí)插值法曲線擬合的幾何意義第3頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第4頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四插值函數(shù)的幾何意義yx第5頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四§2-1線性插值和拋物插值一、線性插值yxy=??（??）圖2-1第6頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四優(yōu)點：計算簡單，以直線代替曲線。缺點：精度低，誤差大。改進(jìn)：多用一些點。第7頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四【例】已知某多葉調(diào)節(jié)風(fēng)閥。當(dāng)葉片數(shù)為n=3時，葉片與氣流方向呈各種角度α?xí)r。某局部阻力系數(shù)β值如下表表示：求當(dāng)α等于30°時，多葉調(diào)節(jié)風(fēng)閥的局部阻力系數(shù)β的線形插值。并將其代入線性插值公式，有第8頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四幾何意義：通過三點A、B、C的拋物線代替曲線其中為待定常數(shù)。若將A，B，C三點分別代入上式會得到一個有唯一解的三元一次方程，從而即可確定，但求起來比較麻煩。第9頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四簡便算法：見下一頁第10頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四拋物插值公式：（二次插值公式）稍加整理即得拋物插值公式。第11頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四【例3】分別計算下列各題：

1）利用100和121求平方根115；

2）利用100，121和144求平方根115。

解:用線形插值求解問題1）與所求平方根的實際值10.72387比較，得到了具有三位有效數(shù)字的結(jié)果10.71428。第12頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四用拋物插值求解問題2）與平方根實際值10.7238比較，10.72275551具有四位有效數(shù)字，顯然比線形插值的結(jié)果好。一般地說，拋物插值比線形插值近似程度要好些。第13頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四一、拉格朗日插值公式：問題提出：這節(jié)就具有一般形式的代數(shù)插值問題（即已知函數(shù)在n+1個點上的函數(shù)值求一個n次多項式，并滿足條件，）來討論如何構(gòu)造其插值多項式?！?-2拉格朗日插值多項式第14頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第15頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第16頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四這就是所要求的插值多項式，稱為拉格朗日（Lagrange）插值多項式。當(dāng)n=1時，就得出線形插值多項式，

n=2時，就得出拋物插值多項式。第17頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四二、拉格朗日插值余項：插值余項：定理：第18頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四證明：當(dāng)X為節(jié)點時，兩邊皆為0，顯然成立。下設(shè)X不為節(jié)點。作輔助函數(shù)第19頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四即問題得證。這個定理所講的余項用起來有一定的困難

，因為實際計算時，只是給出的一張數(shù)據(jù)表，并未給出具體的解析式子，故并不知道，所以也就無法得到。第20頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第21頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四【例4】在例3中分別用線性插值和拋物插值計算了的近似值，試估計它們的截斷誤差。第22頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第23頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第24頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四解：記由插值多項式有故根據(jù)余項公式，若能估計出的上界，那么將有第25頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四三、插值誤差的事后估計法第26頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四利用余項公式知：第27頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四稍加整理得：這種用計算的結(jié)果來估計誤差的辦法，通常稱為事后估計，在計算中是常用的，這種估計誤差的方法，將貫穿我們計算方法這門課程的始終。

第28頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四四、拉格朗日插值多項式的優(yōu)缺點：優(yōu)點：拉格朗日插值多項式結(jié)構(gòu)對稱，使用方便

缺點：a.不具備遞推性，當(dāng)需要增加節(jié)點時需要重新計算；b.龍格（Runge）現(xiàn)象:高次拉格朗日插值多項式穩(wěn)定性差，對于計算過程的舍入誤差十分敏感，當(dāng)插值節(jié)點增多時，不能保證非節(jié)點處的插值精度得到改善，有時反而誤差更大。龍格就給出了一個例子：設(shè)被插值函數(shù)第29頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四取等矩節(jié)點，作拉格朗日插值多項式。當(dāng)n=10時，函數(shù)及插值多項式的圖形如下所示。由圖可見，在區(qū)間[-0.2，0.2]上比較接近,但在區(qū)間[-1，1]兩端則誤差很大。當(dāng)n增大時，部分區(qū)間上插值多項式截斷誤差偏大的現(xiàn)象更重。這種現(xiàn)象稱龍格現(xiàn)象。-11x0.51.01.5y0龍格現(xiàn)象＊為避免龍格現(xiàn)象和不穩(wěn)定，通常限定n≤7，不采用高次插值多項式。第30頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四§2-3分段插值法問題提出：適當(dāng)提高插值多項式的次數(shù)，可以提高計算的精確度，但次數(shù)太高又會產(chǎn)生不好的效果。因為次數(shù)越高，計算越繁，積累誤差就越大；曲線就會出現(xiàn)過多的扭擺。當(dāng)局部插值點有微小變動時，就可能引起曲線大幅度的變化，使計算很不穩(wěn)定。因此，插值多項式次數(shù)越高，其所求得的插值越顯得不可靠，從而也大大降低了它的工程應(yīng)用價值。這也就是很少采用拉格朗日插值公式的原因。因此，在工程應(yīng)用中，多采用分段插值法。即將插值區(qū)間分為若干個小段，在每一小段上使用低階插值——如線形插值或拋物插值。

設(shè)已給出一系列離散結(jié)點：應(yīng)用低階插值的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥暨x插值結(jié)點。余項公式說明，選取的結(jié)點離插值點越近，誤差就越小，因而插值效果也就越好。因此應(yīng)當(dāng)盡量在插值點的鄰近選取插值結(jié)點。第31頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四一、分段線性插值這種分段低次插值叫做分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，故分段線性插值又稱折線插值。第32頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四000（i=1,2，···，n-1）第33頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四二、分段拋物插值以三個節(jié)點為例，公式為：第34頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四其節(jié)點的選取方法為：-----------式（2.13）式（2.13）稱為分段拋物插值公式。第35頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四解：在各節(jié)點的函數(shù)值為由此求出分段線性插值基函數(shù):第36頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四故有第37頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四§2-4牛頓插值多項式對于n+1個節(jié)點的插值問題,將n次插值多項式寫成如下形式多項式稱為牛頓(Newton)插值多項式.形如上式的插值為待定系數(shù).第38頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第39頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四一、向前差分與牛頓向前插值公式第40頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四差分表第41頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四將其代入牛頓插值公式，得牛頓向前插值公式，簡稱前插公式。第42頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四----------表2.3第43頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第44頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四用二次插值得用三次插值得第45頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第46頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四二、向后差分與牛頓向前后插值公式第47頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四【例10】已知函數(shù)表同例9，計算sin(0.58)，并估計截斷誤差.因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進(jìn)行計算,且于是由后插公式得第48頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四第49頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四定義1記稱為關(guān)于xi

的零階均差.稱為關(guān)于xi

,xi+1的一階均差.稱為二階均差.三、差商與牛頓基本插值多項式第50頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四一般地,k階均差為均差有如下基本性質(zhì)：定理1:(1)均差與函數(shù)值的關(guān)系為(2)均差與節(jié)點的排列順序無關(guān),即第51頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四(4)若函數(shù)在上存在n階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點則使得第52頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四53三、均差的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階均差均差表第53頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四解：先構(gòu)造差商表如表2-5所示。由表可以看出牛頓基本插值多項式中各系數(shù)為表2.5第54頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四故用線性插值所得的近似值為用拋物插值所得的近似值為第55頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四§2-5三次樣條插值

樣條這一名詞來源于工程中的樣條曲線，繪圖員為了將一些指定點（稱作樣點）鏈接成一條光滑曲線，往往用細(xì)長的木條（稱作繪圖員的樣條）把相近的幾點連接在一起，再逐步延伸連接起全部指定點，使形成一條光滑的樣條曲線，它在連接點處具有連續(xù)曲率，我們對繪圖員的樣條曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，得出的函數(shù)叫做樣條函數(shù)，它在連接處具有一階和二階連續(xù)微商。第56頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四一、三次樣條插值函數(shù)的定義定義：------(1)第57頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四二、邊界條件問題的提出與類型------(2)第58頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四------(3)------(4)第59頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四并且我們不能只對插值函數(shù)在中間節(jié)點的狀態(tài)進(jìn)行限制也要對插值多項式在兩端點的狀態(tài)加以要求也就是所謂的邊界條件:第一類(一階)邊界條件：第二類(二階)邊界條件：第三類(周期)邊界條件：少兩個條件------(6)------(5)------(7)第60頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四加上任何一類邊界條件(至少兩個)后一般使用第一、二類邊界條件,即------(8)或常用第二類邊界條件第61頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四------(9)第62頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四加以整理后可得------(10)------(11)第63頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四由條件由于以上兩式相等,得第64頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四------(12)第65頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四如果問題要求滿足第一類(一階)邊界條件:------(5)基本方程組(12)化為n-1階方程組------(13)即將(13)式化為矩陣形式第66頁，共78頁，2023年，2月20日，星期四------(14)