上海市崇明區(qū)2020-2021學(xué)年九年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)測試卷（中考一模）(含詳解)

崇明區(qū)2020學(xué)年第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試卷

九年級數(shù)學(xué)

（滿分150分、完卷時間100分鐘）

考生注意：

1.本試卷含三個大題，共25題，答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作

答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效.

2.除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計

算的主要步驟.

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

i.已知線段。、b、c、d的長度滿足等式=cd,如果某班四位學(xué)生分別將該等式改寫成了如下四個

比例式，那么其中錯誤的是（）

acad八bdbc

A.—=—B.—=—C.—=—P.—=—

bdcbcada

2.已知點(diǎn)G是A/WC的重心，如果連接AG,并延長AG交邊5c于點(diǎn)。，那么下列說法中錯誤的是

（）

A.BD=CD13.AG=GDC.AG=2GDP.BC=2BD

3.已知以和坂都是單位向量，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A.a-bB.a+b=2C.a+b-6D.問+忖=2

4.在AABC中，NC=9O°,如果AC=8,BC=6,那么NA的正弦值為（）

5.拋物線y=a（x—+Z的頂點(diǎn)總在（）

A.第一象限13.第二象限C.直線y=x上p.直線上

6.如果某正多邊形的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的五倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.無法確定

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

x5則q

7.已知一=彳,

y3y

8.已知線段AB=6cm,點(diǎn)。是A8的黃金分割點(diǎn)，且AC>BC，那么線段AC的長為

9.如果兩個相似三角形一組對應(yīng)邊上的高之比為1:4,那么這兩個三角形的面積比為

i（9.計算：2（a-2B）+30a+B）=.

11.如果一段斜坡的水平寬度為12米，坡度i=l:3,那么這段斜坡的鉛垂高度為米.

4

12.已知銳角AABC中，AB=5,BC=1,sinB=-,那么NC=度.

13.函數(shù)y=2/+4x-5的圖象與丁軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

14.如果將拋物線y=（x-Ip先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，那么所得的新拋物線的解析

式為.

15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)P為圓心的弧與x軸交于A、3兩點(diǎn)，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,?。?，點(diǎn)A

的坐標(biāo)為（一1,0）,那么點(diǎn)3的坐標(biāo)為.

16.如果大小不同的兩個圓外切時的圓心距為5厘米，并且它們內(nèi)切時的圓心距為1厘米，那么其中較大

圓的半徑為________厘米.

17.我們約定：如果一個四邊形存在一條對角線，使得這條對角線是四邊形某兩邊的比例中項，那么就稱

這個四邊形為“閃亮四邊形”，這條對角線為“閃亮對角線”.相關(guān)兩邊為“閃亮邊”.例如：圖1中的

四邊形458中，AB^AC^AD,則AC2=A8.A。，所以四邊形ABC。是閃亮四邊形，AC是閃亮

對角線，AB，是對應(yīng)的閃亮邊.如圖2,已知閃亮四邊形A8C。中，AC是閃亮對角線，A。、

8是對應(yīng)的閃亮邊，且NABC=90°,Z￡>=60°,AB=4，BC=2,那么線段的長為

18.在AABC中，AB=m，NB=45。,NC=60°.點(diǎn)。為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，連

結(jié)。E,沿直線DE將AADE折疊得到AA'DE.連接A4'，當(dāng)A'E_LAC時，則線段4r的長為

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

、、匕so2cos300+cot45°.

iq.i十算：tan60°H------------------sin-245°.

2sin30°

2.0.如圖，已知AABC中，DE//BC,AD=2，DB=4,AC=8.

（1）求線段AE的長；

（2）設(shè)麗=￡,BC=b-

①請直接寫出向量恁關(guān)于￡、萬的分解式，AE=；

②連接3E,在圖中作出向量匠分別在￡、B方向上的分向量.【可以不寫作法，但必須寫出結(jié)論】

21.如圖，已知。。的半徑為近，在OO中，OA.08都是圓的半徑，且。4_LQB.點(diǎn)C在線段

的延長錢上，且0C=AB.

(1)求線段8c的長；

(2)求/BOC正弦值.

22.為了維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)益，海監(jiān)部門對我領(lǐng)海實(shí)施常態(tài)化巡航管理.如圖，一艘正在執(zhí)行巡航任

務(wù)的海監(jiān)船接到固定監(jiān)測點(diǎn)P處的值守人員報告：在P處南偏東30。方向上，距離P處14海里的。處有

一可疑船只滯留，海監(jiān)船以每小時28海里的速度向正東方向航行，在A處測得監(jiān)測點(diǎn)P在其北偏東60°

方向上，繼續(xù)航行半小時到達(dá)了B處，此時測得監(jiān)測點(diǎn)尸在其北偏東30。方向上.

(1)B、P兩處間的距離為海里；如果聯(lián)結(jié)圖中的8、。兩點(diǎn)，那么VBPQ是________三角

形；如果海監(jiān)船保持原航向繼續(xù)航行，那么它【填“能”或“不能”】到達(dá)。處；

(2)如果監(jiān)測點(diǎn)P處周圍12海里內(nèi)有暗礁，那么海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？

23.已知：如圖，D、E分別是AABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且連接BE、CO相

交于點(diǎn)F-

D

(1)求證：ZABE^ZACD；

DF2EF

(2)如果￡￡>=EC,求證:

BD2~~EB

24.如圖，已知對稱軸為直線x=-l的拋物線y=依2+法+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與》軸交于點(diǎn)

C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式;

（2）記拋物線的頂點(diǎn)為尸，對稱軸與線段的交點(diǎn)為。，將線段PQ繞點(diǎn)。，按順時針方向旋轉(zhuǎn)

120°,請判斷旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)尸’是否還在拋物線上，并說明理由；

（3）在x軸上是否存在點(diǎn)〃，使椀。。與ABCP相似？若不存在，請說明理由；若存在請直接寫出點(diǎn)

M坐標(biāo)【不必書寫求解過程】.

2$如圖，中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)。為斜邊AB的中點(diǎn)，EDLAB，交邊

3c于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)。為邊BC上的動點(diǎn)，且運(yùn)動過程中始終保持

EE

D

備用圖

（1）求證：△A￡>P?△EDQ；

（2）設(shè)4P=x,BQ=y,求y關(guān)于x函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；

（3）連接PQ,交線段于點(diǎn)/，當(dāng)昭為等腰三角形時，求線段北長.

崇明區(qū)2020學(xué)年第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試卷

九年級數(shù)學(xué)

（滿分150分、完卷時間100分鐘）

考生注意：

1.本試卷含三個大題，共25題，答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作

答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效.

2.除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出證明或計

算的主要步驟.

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.已知線段。、b、c、。的長度滿足等式出?=cd,如果某班四位學(xué)生分別將該等式改寫成了如下四個

比例式，那么其中錯誤的是（）

acad?bdbc

A.-=-—=—C--=-P.-=—

bdcbcacla

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)比例的兩內(nèi)項之積等于兩外項之積逐項排查即可.

【詳解】解：A.由3=￡可得bc=ad,故A選項符合題意；

bd

B.由g=?可得ab=cd,故B選項不符合題意;

C.由2=4可得ab=cd,故C選項不符合題意；

ca

be

D.由一=—可得ab=cd,故D選項不符合題意.

da

故答案為A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，即掌握兩內(nèi)項之積等于兩外項之積成為解答本題的關(guān)鍵.

2.已知點(diǎn)G是AABC的重心，如果連接AG,并延長AG交邊于點(diǎn)。，那么下列說法中錯誤的是

()

A.BD=CDB.AG=GDC.AG=2GDD.BC=2BD

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)三角形重心的定義和性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：?.?點(diǎn)G是AABC的重心，

ABD=CD,AG=2GD,BC=2BD,

:.A、C、D正確，B錯誤，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂

點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)的距離的2倍.

3.已知￡和5都是單位向量，那么下列結(jié)論中正確的是()

A.a=bB.a+b=2C.a+b=6D.,|+忖=2

【答案】P

【解析】

【分析】根據(jù)單位向量的定義進(jìn)行選擇.

【詳解】解：和B是兩個單位向量，

它們的長度相等，但是方向不一定相同；

忖+忖=2正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查單位向量的含義：屬于基礎(chǔ)題.

4.在AABC中，NC=90°,如果AC=8，BC=6,那么NA的正弦值為（）

34八34

A.-B.-C.-D.一

5543

【答案】A

【解析】

【分析】利用勾股定理可求出AB的長，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可得答案.

【詳解】???NC=90°,AC=8,BC=6,

?■?AB=VAC2+BC2=10'

BC3

sinA=----=—,

AB5

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各三角函數(shù)的定義，屬于中考?？碱}型.

S.拋物線y=a（x—%『+%的頂點(diǎn)總在（）

A.第一象限B.第二象限C.直線y=X上D.直線>=一無上

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式可知其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（k,k）,再根據(jù)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等即可得出結(jié)論.

【詳解】：拋物線解析式為y=a（x-k）2+k,

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（k,k）,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)總在直線y=x上.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查是二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式得出其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等是解答此題

的關(guān)鍵.

6.如果某正多邊形的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的血倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.無法確定

【答案】B

【解析】

【分析】如圖，畫出簡圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得/OCA=90。，根據(jù)NAOC的余弦可得NAOC=45。，即可得

出此多邊形的中心角為90°,即可求出多邊形的邊數(shù).

【詳解】如圖，OA、OC分別為此多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，AB為邊長，

.\OC±AB,

ZOCA=90°,

?..外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的&倍，

cosZAOC=

OA2

二ZAOC=45°,

...NAOB=90°,即此多邊形的中心角為90°,

,此多邊形的邊數(shù)=360°+90°=4,

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓及三角函數(shù)的定義，熟練掌握余弦的定義并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解

題關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

x5x-y

7.已知一則一-=_____.

y3y

【答案】-

3

【解析】

x55

【分析】由一=彳得到x=—y,代入式子計算即可.

y33

&x5

【詳解】V-=-,

y3

5

.x-y-y-y2

y一丁一§

2

故答案為：一.

3

【點(diǎn)睛】此題考查比例的性質(zhì)，正確進(jìn)行變形，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

8.已知線段A3=6cm,點(diǎn)。是的黃金分割點(diǎn)，且AC〉BC,那么線段AC的長為...

【答案】3非-3

【解析】

【分析】根據(jù)黃金比值是叵匚，列式計算即可.

2

【詳解】???點(diǎn)C是線段AB黃金分割點(diǎn)，AOBC,

.".AC-^---AB=（3百-3）cm,

2

故答案為3逐-3.

【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段

的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值避二1叫做黃金比.

2

Q.如果兩個相似三角形的一組對應(yīng)邊上的高之比為1:4,那么這兩個三角形的面積比為—

【答案】1:16

【解析】

【分析】根據(jù)對應(yīng)高的比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方解答.

【詳解】解：?.?相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，

兩三角形的相似比為1：4,

兩三角形的面積比為1：16.

故答案為：1：16.

【點(diǎn)睛】本題考查對相似三角形性質(zhì)的理解，相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.

1（9.計算：2（a-2B）+3（2a+B）=.

【答案】Sa-b

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算法則計算即可.

【詳解】解：2（a-2b）+3[2a+b

二2。-4坂+6〃+3坂

-Sa-b-

故答案為8a—5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算以及實(shí)數(shù)與向量相乘，掌握相關(guān)運(yùn)算法則成為解答本題的關(guān)鍵.

11.如果一段斜坡的水平寬度為12米，坡度i=l:3,那么這段斜坡的鉛垂高度為米.

【答案】4

【解析】

鉛垂高度

【分析】根據(jù)坡度1=即可求解.

水平寬度

【詳解】設(shè)這段斜坡的鉛垂高度為X,

.x1

,,12-3

解得廣4米.

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，了解坡度和鉛垂高度與水平寬度的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

4

22.已知銳角A/WC中，AB=5，BC=1,sinB=《，那么NC=度.

【答案】45

【解析】

【分析】過A作ADLBC于D,求出AD長，根據(jù)勾股定理求出BD,從而得出CD長，繼而得出AAOC

是等腰直角三角形，即可得出NC的度數(shù).

【詳解】過A作ADJ_BC于D,則NADB=/ADC=90。，

；.AD=4,

???BD=VAS2-AEr=752-42=3，

,/BC=1，

；.CD=BC-BD=7-3=4,

...AADC是等腰直角三角形，

，ZC=45°.

故答案為：45.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，等知識點(diǎn)的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義，是所對的直角邊與斜

邊的比是解題的關(guān)鍵.

13.函數(shù)y=+4%-5的圖象與＞軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】(0,—5)

【解析】

【分析】求與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令x=0可求得y的值，可得出函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：令x=0,代入y=2f+4x—5解得y=5,

...二次函數(shù)y=+4x-5的圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,5).

故答案為：(0,5).

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),掌握求函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求法是解題的關(guān)鍵，即與x軸

的交點(diǎn)令y=0求x,與y軸的交點(diǎn)令x=0求y.

14.如果將拋物線y=(x-Ip先向左平移2個單位，再向上平移1個單位，那么所得的新拋物線的解析

式為.

【答案】y=(x+l)2+l

【解析】

【分析】先確定原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移方式確定平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，最后直接寫出拋物線解析式

即可.

【詳解】解：???拋物線y=(x—l)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)

...向左平移2個單位，再向上平移1個單位后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,1)

...平移后拋物線解析式為y=(x+11+1.

故答案為y=(x+l)2+l.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的了二次函數(shù)圖象的平移變換，理解二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減''成

為解答本題的關(guān)鍵.

rs.如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)p為圓心的弧與X軸交于A、8兩點(diǎn)，已知點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（Ly）,點(diǎn)A

的坐標(biāo)為那么點(diǎn)3的坐標(biāo)為.

【答案】（3,0）

【解析】

【分析】連接出、PB,作P尸，45于點(diǎn)F,再根據(jù)圓的垂徑定理即可得出答案.

【詳解】如圖，連接力、PB,作于點(diǎn)F,根據(jù)題意可知OF=1,再由垂徑定理可知,AF=BF=AO+OF=2,

所以。8=。尸+8尸=1+2=3,即B點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）.

故答案為：（3,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理.作出P尸，A3,再結(jié)合垂徑定理“垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所

對的兩條弧”是解答本題的關(guān)鍵.

16.如果大小不同的兩個圓外切時的圓心距為5厘米，并且它們內(nèi)切時的圓心距為1厘米，那么其中較大

圓的半徑為_________厘米.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系內(nèi)切，圓心距=兩圓半徑之差，以及外切時，r+R=d,即可求出.

【詳解】解：；兩圓相內(nèi)切，設(shè)小圓半徑為r,大圓的半徑為R,

[r+/?=5

??“，

R-r=\

R=3,r=2,

大圓的半徑為3厘米.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩圓位置關(guān)系，用到的知識點(diǎn)為：兩圓內(nèi)切，圓心距=兩圓半徑之差，外切

時，r+R=d.

17.我們約定：如果一個四邊形存在一條對角線，使得這條對角線是四邊形某兩邊的比例中項，那么就稱

這個四邊形為“閃亮四邊形”，這條對角線為“閃亮對角線”.相關(guān)兩邊為“閃亮邊”.例如：圖1中的

四邊形ABC。中，AB=AC-AD,則AC2=4TAD,所以四邊形ABC。是閃亮四邊形，AC是閃亮

對角線，AB>AO是對應(yīng)的閃亮邊.如圖2,已知閃亮四邊形ABCO中，AC是閃亮對角線，A。、

CO是對應(yīng)的閃亮邊，且NABC=90°，"=60°,AB=4,BC=2,那么線段的長為

【答案】2垂）

【解析】

【分析】根據(jù)“閃亮四邊形”的定義可知AC2=CDXAD,再證明AACD是等邊三角形即可解決問題.

【詳解】解：；四邊形ABCD是閃亮四邊形，AC是閃亮對角線，CD、4）是對應(yīng)的閃亮邊.

/.AC2=CDAD,

如圖，作CHLAD于H,

DH=CDcosNO,CH=CDsinZD

AH=AD—CDcosND

AC2=AH2+CH2

=(AD-CDcosNO1+(CD-sinZD)2

=AD2+CD2-2ADCD-cosND

=AD2+CD2-ADCD

AC2=CD-AD,

???AD2-2ADCD+CD2=0

(AD-CD)1=0

.\AD=CD

ZD=60°

...△ACD是等邊三角形

.\AC=CD=AD

VZABC=90°,ZD=60°,AB=4，BC=2,

AC=y]AB2+BC2=742+22=2石(負(fù)值舍去)

??.AD=2逐

故答案為：2#>

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定，勾股定理以及解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈

活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

28.在AABC中，AB=4g，ZB=45%NC=60°.點(diǎn)。為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，連

結(jié)。E,沿直線￡>￡將AAOE折疊得到AA'DE.連接A4',當(dāng)A'E_LAC時，則線段A4'的長為

【答案】276

【解析】

APAn

【分析】求出AC的長，證明4ADE絲AACB,推出——=——，由此求出AE即可解決問題.

ABAC

【詳解】解：過點(diǎn)A作AMLBC,在RtAABM中，AM-ABxsin45°=472x—=4

2

AC=AM+sin60。=8叵

3

A'E±AC,

NAEA'=90。，

VAADE^AA'DE

NAED=/A'ED=45。,

ZAED=ZB,

,/ZDAE=ZCAB,

.".△ADE^AACB,

AEAD

AB-AC)

AE_2>/2

4V2-8G

F

AE=2百

AA=V2A￡=2A/6

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形的應(yīng)用，翻折變換,全等三角形的性質(zhì)，相似三角形

的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

、」出2cos300+cot45°.

工/計算：tan60+-----------------sin2~45.

2sin30°

【答案】26+二

2

【解析】

【分析】先用特殊角的三角函數(shù)值化簡，然后再進(jìn)行計算即可.

—,CC2cos300+cot45°._.

【詳解】W：tan60°+-----------------sir2r450

2sin30°

2x—+1

2x-"

2

=V3+-\/3+1——

2

=2^/3+—.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，牢記特殊角的三角函數(shù)值成為解答本題的關(guān)鍵.

2。如圖，已知AABC中，DEHBC,AD=2,DB=4,AC=8.

（1）求線段AE的長;

(2)設(shè)區(qū)4=。，BC-b-

①請直接寫出向量A片關(guān)于7、B的分解式，AE=

②連接5E,在圖中作出向量而分別在￡、B方向上的分向量.【可以不寫作法，但必須寫出結(jié)論】

Q11

【答案】（1）AE=|；（2）①一手+步②作圖見解析.

【解析】

【分析】（1）先求出AB,再據(jù)平行線分線段成比例，寫出關(guān)于AE、AC、AD、AB的等比式，問題可解.

（2）①以AD,DE為邊作平行四邊形ADEF,,先再求得4萬=一;/,據(jù)通=通+而問題

可解；②以BD、DE為邊作平行四邊形即可.

【詳解】解：（1）,/DEHBC,

.ADAE

"AB-AC

VDE/7BC

.\ZADE=ZB,ZAED=ZC

.".△ADE^AABC

.ADDE2\

,■AB-BC-6-3

又麗=￡,BC^b

：.AD=--a,DE^-b

33

,/四邊形ADEF是平行四邊形

AF=DE=-b

3

—1_1-

AE=—ciH—bf

33

②如下圖，麗和的是屁分別在2、5方向上的分向量-

2L如圖，已知。。的半徑為在OO中，OA,。8都是圓的半徑，且。4_LO3.點(diǎn)C在線段

AB的延長錢上，且OC=AB.

（1）求線段8c的長；

（2）求N8OC的正弦值.

【答案】（1）BC坨一1;（2）屈-6.

4

【解析】

【分析】（1）過點(diǎn)。作交A8于點(diǎn)。，先利用勾股定理求解AB=2=OC,從而可得

OD=BD=I,再利用勾股定理求解CO,從而可得答案；

（2）過點(diǎn)8作3ELOC交0C于點(diǎn)￡；,由NC=30°,3C=G—l,求解BE的長，再利用

RF

sinZBOC=——，從而可得答案.

0B

【詳解】解：（1）過點(diǎn)。作QDLAB交AB于點(diǎn)。，

VOA=OB,ZAOB=90°,OA=OB=C，OC=AB,

,AB=OC=y/OA2+OB2=V4=2>

OD=BD=1,

；在&AODC中,sinZDOC=—=-

OC2

ZC=30°,

???CD=6

J5C=V3-1.

（2）過點(diǎn)8作3ELOC交OC于點(diǎn)E，

vZC=30°,BC=V3-1,

2

BE

：.sinZBOC=——

OB

V3-1_V6-V2

2A/24

本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，垂徑定理，含30。的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌

握以上知識是解題的關(guān)鍵.

22.為了維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)益，海監(jiān)部門對我領(lǐng)海實(shí)施常態(tài)化巡航管理.如圖，一艘正在執(zhí)行巡航任

務(wù)的海監(jiān)船接到固定監(jiān)測點(diǎn)尸處的值守人員報告：在尸處南偏東30。方向上，距離尸處14海里的Q處有

一可疑船只滯留，海監(jiān)船以每小時28海里的速度向正東方向航行，在A處測得監(jiān)測點(diǎn)P在其北偏東60°

方向上，繼續(xù)航行半小時到達(dá)了8處，此時測得監(jiān)測點(diǎn)P在其北偏東30。方向上.

（1）B,P兩處間的距離為海里；如果聯(lián)結(jié)圖中的3、。兩點(diǎn)，那么V8PQ是________三角

形；如果海監(jiān)船保持原航向繼續(xù)航行，那么它【填“能”或“不能”】到達(dá)。處；

（2）如果監(jiān)測點(diǎn)尸處周圍12海里內(nèi)有暗礁，那么海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？

【答案】（1）14；等邊；能；（2）安全

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意可得APAB是等腰三角形，故可得PB=AB=14海里，再求得NBPQ=60°即可得aPI^Q

是等邊三角形，最后證明A、B、Q三點(diǎn)共線即可；

(2)過點(diǎn)2作求出PC=7&,判斷76>12,即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖，

根據(jù)題意知，ZPAB=90°-60°=30°,ZPBA=30°+90°=120°

ZPAB+ZPBA+ZAPB=180°

ZAPB=180°-30°-120°=30°

AZPAB=ZAPB

??.PB=AB=28xL14（海里）

2

???PQ=14（海里）

APQ=PB

■:PF//BE

，ZBPF=ZPBE=30°

?/ZQPF=30°

???ZBPQ=60°

???△PBQ是等邊三角形，

ZPBQ=60°

VZPBA=120°

???ZPBA+ZPBQ=120°+60°=180°

???點(diǎn)A、B、Q在同一直線上

所以，如果海監(jiān)船保持原航向繼續(xù)航行，那么它能到達(dá)Q處;

故答案為：14,等邊，能；

(2)過點(diǎn)P作尸交3。于點(diǎn)

；VBPQ是等邊三角形,

???PC=7百，

，：76>12,

.??海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握銳

角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

23.已知：如圖，D、E分別是AABC的邊A3、AC上的點(diǎn)，且NA￡￡>=NABC,連接BE、CO相

交于點(diǎn)F.

(1)求證：ZABE=ZACD-.

np2EF

(2)如果￡D=￡C,求證：^-v=—.

BD2EB

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

AB

【分析】（1）先說明△ADE~AAC3可得——=—,再說明八位）。?AAEB，最后根據(jù)相似三角形對

ADAC

應(yīng)角相等即可證明:

DFEFDE進(jìn)一步可得=空.匹即可證明.

⑵先說明?△砂。得到訪=麗=前

[BDJDEBE

【詳解】證明：(1)VZAED^ZACB,NA=NA，

**?^ADE—△AC3，

.AE_AB

??二,

ADAC

又：NA=NA，

/.AA￡>C?/\AEB，

；?ZABE=ZACD；

(2),:ED=EC,

；?/EDC=ZACD,

,：ZABE=ZACD

：.AEDC=ZABE,

又?:/DEF=/DEF，

；?4EDF~4EBD，

.DFEFDE

"~BD~~DE~~BE'

?(DF\-EFDE

?［茄J~~DE~BE'

.DF2_EF

?.k適

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理成為解答本題的關(guān)

鍵.

24.如圖，已知對稱軸為直線x=—l的拋物線丁=依2+區(qū)+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).

（1）求點(diǎn)8的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；

（2）記拋物線的頂點(diǎn)為P,對稱軸與線段的交點(diǎn)為。，將線段PQ繞點(diǎn)。，按順時針方向旋轉(zhuǎn)

120°,請判斷旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)尸'是否還在拋物線上，并說明理由；

（3）在x軸上是否存在點(diǎn)使△MOC與ABCP相似？若不存在，請說明理由；若存在請直接寫出點(diǎn)

〃的坐標(biāo)【不必書寫求解過程工

【答案】（1）3（-3,0）,y=—f—2x+3；（2）p在拋物線上，理由見解析；（3）存在；M（1,0）或（9,0）

或（-1,0）或（-9,0）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸的距離相等，方向相反，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，用待定系

數(shù)法求得函數(shù)解析式.

（2）求出直線BC的解析式，計算得出線段PQ的長度，過P作PO平行于x軸，P'。交拋物線對稱軸

于點(diǎn)D,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度解直角三角形，得出P'的坐標(biāo)，將P的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式，計算并判斷

即可得出答案.

（3）根據(jù)勾股定理可得出ABCP是直角三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分類討論，得出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【詳解】解：（1）?；A、B是關(guān)于直線x=—l軸對稱圖形的兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,

.?.點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-1—[1—（一1）]=一3,

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（一3,0）；

將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)值代入y^ax2+bx+3可列方程組:

0=。+人+3

0=9。一3〃+3

a=-1

解得＜

b=—2

.??拋物線的表達(dá)式為：y=—f—2x+3.

(2)?.?點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)，直線x=-1為拋物線的對稱軸，

/.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1,縱坐標(biāo)為y=-/_2x+3=-(―1尸一2x(―1)+3=4,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一1,4),

直線BC的解析式為y=H+b,將B、C的值代入可列方程：

'3=0+b

<0=-3k+h

k=1

解得/.

：BC與對稱軸交于點(diǎn)Q,

.?.當(dāng)x=-l,y=x+3=-l+3=2,

.?.點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(—1,2),

產(chǎn)。=4-2=2,

*/P'是點(diǎn)P繞點(diǎn)Q順時針旋轉(zhuǎn)120°得到的,

PQ=PQ=2,

過P'作PT)平行于X軸，P'O交拋物線對稱軸于點(diǎn)D,如圖：

?.?在MAQDP中，NPQD=180°—120°=60°,P'Q=2,

；.QD=1,DP=6

二點(diǎn)〃橫坐標(biāo)為點(diǎn)D橫坐標(biāo)加。P，即：-1+J5，

點(diǎn)P縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)減OQ,即：2-1=1，

將P'的橫坐標(biāo)值代入y=_2x+3,

y=-(-l)2-2x(-l)+3=l,

尸’的坐標(biāo)符合拋物線表達(dá)式，

，尸’在拋物線上.

(3)VBP2=[-3-(-1)]2+(0-4)2=20,

PC2=(-1-0)2+(4-3)2=2,

8c2=(—3-0)2+(0-3)2=18,

20=18+2,

，BP2=PC2+BC2，

...ABCP是直角三角形，NBCP=90°,BC=3&，PC=&

：M是x軸上一點(diǎn)，ZCOM=90°,

若ZOCM=NCBP,則AOCMSACBP,

.OCCB372°

OMCPV2

此時，點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,0)或(—1,0),

若40cM=ZCPB,則AOCMSQB,

?OCCP6

此時，點(diǎn)M坐標(biāo)為(9,0)或(一9,0),

綜上，點(diǎn)M存在，點(diǎn)M坐標(biāo)為(1,0)或(9,0)或(一1,0)或(一9,0).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)，運(yùn)用分類討論的

思想是解決第(3)小題的關(guān)鍵.

2s.如圖，中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)O為斜邊A6的中點(diǎn)，ED±AB,交邊

于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射