上海市青浦區(qū)2019屆高三數(shù)學(xué)二模試題（含解析）

上海市青浦區(qū)2019屆高三數(shù)學(xué)二模試題(含解析)

一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)

1

1.不等式->2的解集是

x

【答案】(。3

【解析】

【分析】

先移項通分得到——>0,進(jìn)而可求出結(jié)果.

x

111_7r1

【詳解】因為—>2,所以——2>0,即>0,解得0<》<彳

xxx2

故答案為(0,》

【點睛】本題主要考查分式不等式的解法，一般需要先移項再通分，進(jìn)而求解，屬于?？碱}

型.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2+4i(其中i為虛數(shù)單位)，貝"z|=

【答案】<10

【解析】

【分析】

先由復(fù)數(shù)的除法運算求出z,再根據(jù)模的計算公式即可求出結(jié)果.

【詳解】因為,z(l+i)=2+4i,所以2=2+41(2+40(1-0/=6+2i=3+i,

1+i(1+i)(l-i)2

因此同=歷萬=回.

故答案為回

【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，熟記復(fù)數(shù)的除法運算法則、以及模的計算公式即可，屬

于基礎(chǔ)題型.

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，￡在X軸、y軸正方向上的投影分別是-3、4,則與￡同向的單位向

量是_________

34

【答案】(一齊)

【解析】

【分析】

先由題中條件得到2=(-3,4),再依題意設(shè)所求的單位向量坐標(biāo)為(-3zn,4m)(m>0),根據(jù)模

為1,即可求出結(jié)果.

【詳解】因為￡在x軸、y軸正方向上的投影分別是-3、4,所以2=(-3,4)；

由題意設(shè)所求的單位向量坐標(biāo)為(-3m,4mXm>0),

1

則(-3?n)2+(4m)2=l，所以m

因此所求向量的坐標(biāo)為(-|$.

故答案為(--?-)

【點睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)表示、以及向量共線問題，熟記概念及公式即可，屬于基

礎(chǔ)題型.

4.在(1-乃6的二項展開式中，含有，項的系數(shù)為一(結(jié)果用數(shù)值表示)

【答案】-20

【解析】

【分析】

先由二項展開式的通項公式得到幾+1=或(-1)‘"，令卜=3,即可得出結(jié)果.

【詳解】因為(l-x)6的二項展開式的通項為7\+1=4(-1)勺〃，

要求含有一項的系數(shù)，只需令k=3,

所求系數(shù)為《(-1y=-20.

故答案為-20

【點睛】本題主要考查指定項的系數(shù)，熟記二項式定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線/-/=1經(jīng)過拋物線'2=2「尤(p>o)的焦點，則

P=________

【答案】2衽

【解析】

【分析】

根據(jù)雙曲線的幾何意義得到雙曲線與拋物線的共同焦點為(/，0),所以，；=P=2衽.

【詳解】雙曲線中，a=2,b=l,c=衽，

雙曲線與拋物線的共同焦點為(4，0),

所以，g=GP=2#

故答案為：2衽

【點睛】這個題目考查了拋物線和雙曲線的幾何意義，較為簡單.一般和拋物線有關(guān)的小題,

很多時可以應(yīng)用結(jié)論來處理的；平時練習(xí)時應(yīng)多注意拋物線的結(jié)論的總結(jié)和應(yīng)用。尤其和焦

半徑聯(lián)系的題目，一般都和定義有關(guān)，實現(xiàn)點點距和點線距的轉(zhuǎn)化。

6.已知E、F是互斥事件，P(E)=0.2,P(EuF)=0.8,則P(F)=

【答案】0.6

【解析】

【分析】

根據(jù)互斥事件的性質(zhì)，若/、B是互斥事件，則P(4UB)=P(4)+P(B)；

根據(jù)題中條件即可求出結(jié)果.

【詳解】因為E、F互斥事件，P(￡)=0.2,P(EuF)=0.8,

所以P(EUF)=P(F)+P(F)=O.8,因此P(F)=06

故答案為0.6

【點睛】本題主要考查互斥事件的概率問題，熟記事件的性質(zhì)即可求解，屬于?？碱}型.

7.函數(shù)y=|sinx+arcsinx|的最大值為

71

【答案】-+sinl

【解析】

【分析】

71Tl

根據(jù)arcsinx表示正弦值等于％的一個角，可得-，4arcs出久工了再由s仇工的范圍即可求出結(jié)

果.

n7i

【詳解】因為arcsizix表示正弦值等于x的一個角，因此-4arcsinxVm

又一1工sinx<1,所以一］-14sinx+arcsinx<-+1,

7T

因此函數(shù)y=\sinx4-arcsEM的最大值為］4-1.

71

故答案為2+1

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)與反三角函數(shù)的問題，熟記反三角函數(shù)的意義以三角函數(shù)的

性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

/x+y>l

8.若實數(shù)八y滿足條件x—y+120,則％2+步的最小值為一

\2x-y-2<0

_1

【答案】-

【解析】

試題分析：畫出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)2=，+3；2=巧亍2,表示可行域內(nèi)的點到原

點（0,0）距離的平方，故當(dāng)可行域內(nèi)點到原點距離最小時，Z取到最小值，即Zmm=（T）2=g.

考點：線性規(guī)劃.

Ix2x<a

a<x<c的反函數(shù)的定義域是（一8，+8），則

c的所有取值構(gòu)成的集合是

【答案】{0}

【解析】

【分析】

結(jié)合函數(shù)/'（X）定義域判斷其值域，由反函數(shù)的定義域為（-8,+8）,可得函數(shù)f（X）的值域為

（-oo,+oo）,即可得出結(jié)果.

2

xx<a

I1+bQ<x<c其定義域為（一8，C），因為％。0,所以Q<C4O,

（1）當(dāng)c<0,由解析式可得,

當(dāng)工工。時，/（%）>a2；

11

當(dāng)QV%VC時，一+6</（町<一+6,

即/（乃的值域為d+b,-+h）U（a2,+8）；

ca

2

Ixx<a

J+b￡,<萬<。的反函數(shù)的定義域是（-8，+8），

所以函數(shù)f（x）的值域為（-8,+8）,因為a、b、c都是實數(shù)，b可以大于。2；

a

因此值域可以為d+b,+8）,不滿足題意；

C

（2）當(dāng)c=0時,由解析式可得:

當(dāng)％WQ時，/(x)>a2;

當(dāng)Q<x<c=0時，-8vf(x)<-4-b,

即f(%)的值域為(-8,-4-b)u(a2,+00)；

a

1

同（1）可知：函數(shù)f（x）的值域必須為（-8,+8）,因為a、b、c都是實數(shù),+6可以大于cA

a

因此c=0符合題意;

綜上：c的所有取值構(gòu)成的集合是{0}.

故答案為{0}

【點睛】本題主要考查分段函數(shù)與反函數(shù)的問題，熟記函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于常考題型.

10.已知某四棱錐三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為一

【答案】國

【解析】

【分析】

正方體中作出該四棱錐，借助長方體求出各棱長，即可得出最大值.

【詳解】由三視圖在正方體中作出該四棱錐P-4BCD,由三視圖可知該正方體的棱長為3,

所以4B=BC=C0=ZM=3,PC=杼+產(chǎn)=畫PD=杼+2?=唇

。8=由2+3?+12=回,P/l=^32+32+22=V22.

因此該四棱錐的最長棱的長度為疹.

故答案為必

【點睛】本題主要考查幾何體的三視圖，由三視圖先還原幾何體，進(jìn)而可求解，屬于常考題

型.

11.已知函數(shù)/'(町=/+斑+/,(<1/6/?),在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個零點，則3a+b的取值范圍是

【答案】(-5,0)

【解析】

【分析】

先由函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個零點，得到a,b滿足的關(guān)系式，作出不等式組所表示的平面區(qū)域,

再設(shè)z=3a+b,根據(jù)z的幾何意義，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.

【詳解】要使函數(shù)數(shù)/(*)=，+ax+b在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個零點，函數(shù)對稱軸為》=

b>0

0)2>0,

11”a+b>o

>v0即1

所以21-2b

o-a+<O

-4

、

根據(jù)不等式組作出如下圖像：

設(shè)z=3a+b,貝?。輇=-3a+z,

由「/+b=0解得"；2,即仆2,1),

由圖可知，當(dāng)z=3a+b過點4(-2,1)時，3a+b取得最小值，

(3a+》)加九=-2x3+1=-5,

由圖可知，當(dāng)z=3a+b過點。(0,0)時，3a+b取得最大值，

(3a+b)g=0,

則3a+b6(-5,0).

故答案為(-5,0)

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)零點分布問題、以及線性規(guī)劃問題，熟記二次函數(shù)零點分布

的判定條件即可求解，屬于?？碱}型.

TI

12.已知。為AABC的外心，乙4BC=§,百9=2瓦1+〃沆，貝壯+〃的最大值為—

2

【答案】-

【解析】

【分析】

以外接圓圓心為半徑建立坐標(biāo)系，設(shè)B(x,y),列方程用入4表示出七外代入圓的方程，再利

用不等式解出4+，的范圍即可.

【詳解】設(shè)4ABC的外接圓半徑為1,以外接圓圓心為原點建立坐標(biāo)系,

ji27r

因為乙=所以41。。=不，

不妨設(shè)4(1,0),C(-|,'),B(M，

則反4=(l-x,-y),就=(-_y).

因為由=4瓦4+〃覺，所以

11

X~7

y=--------

rA+H-I

因為B在圓為2+y2=1上，

1擲

所以/W、2,工"、2

(--------r+(--------y=1

即(入-+(-yM)2=(入+〃-1)2,

所以=2(2+；)Tw(號)2,

所以+〃)2-#+/^)+->0,

433

解得入+〃工;或，+〃32,

2

因為B只能在優(yōu)弧AC上，所以2+〃工了

y

【點睛】本題主要考查平面向量的基本定理及其意義，熟記平面向量基本定理即可，屬于常

考題型.

二.選擇題(本大題共4題，每題5分，共20分)

13.已知4={y[y=6},B={y\y=log2x},則4nB=()

A.(0,+oo)B.[0,+oo)C.{2}D.{(4,2)}

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)y=依與y=，。取X的值域得到4和B,再求交集即可得出結(jié)果.

【詳解】因為4={y\y=>/x}={y\y>0},B=[y\y=log2x}={y|ye/?},

所以4CE=4=[0,+oo).

故選B

【點睛】本題主要考查集合的交集，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.

14.已知A4BC是斜三角形，則“4>B”是a\tanA\>\tanB\"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)充要條件的定義，結(jié)合正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，分析“若4>B,貝>|tanB|”與“若

\tanA\>\tanB\,則4>B”的真假,即可得出結(jié)果.

【詳解】當(dāng)4>B時,

若A，B均為銳角,KiJtanA>tanB>0,此時|tan4|>|tanB|；

若4為鈍角，則n-4為銳角,B<n-A,則tan(7r-4)=-tanA>tanB>0,此時《即4|>

綜上：“4>B”是的充分條件；

當(dāng)|tan4>|tanB|時，

若4B均為銳角，則Um4>tanB>0,此時4>B；

若4為鈍角，則為銳角，B<n-A,則tan(”-4)=-tan4>tanB>0,滿足條件；

若4為銳角，B為鈍角，顯然不滿足；

綜上“4>8”是"|ta*l|>|tanB|”的必要條件.

所以，uA>Bn是"|tan4|〉|tanB|”的充要條件.

【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷、以及正切函數(shù)的性質(zhì)，熟記充分條件與

必要條件的概念等即可，屬于?？碱}型.

15.已知曲線「:傳之：濡(。是參數(shù))，過點P(6,2)作直線均曲線r有且僅有一個公共點，則這

樣的直線1有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】B

【解析】

【分析】

先由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，化為普通方程，再判斷定點與曲線關(guān)系，進(jìn)而可得出結(jié)果.

2

【詳解】由「二：濡消去參數(shù)可得?/=1；

2X

因此點P(6,2)在雙曲線士-y2=i的漸近線丫=上，

95

由雙曲線的特征可知，當(dāng)直線，與雙曲線的另一條條漸近線平行、或直線1與雙曲線的右支相切

時，滿足直線與雙曲線只有一個公共點，

因此，這樣的直線，只有2條.

故選B

【點睛】本題主要考查雙曲線的特征以及直線與雙曲線的位置關(guān)系，熟記雙曲線的性質(zhì)即可,

屬于常考題型.

16.等差數(shù)列%,a?，?一，%(n6N"),滿足

aa

1li+網(wǎng)+,?,+lnl=1%+1|+出+1+,??+|an+1|

=出+2|+口？+2|+???+\ctn+2]=[%+3]+|a2+3|+■?-+10n+3|=2010,則()

A.”的最大值為50B.n的最小值為50

C.”的最大值為51D.n的最小值為51

【答案】A

【解析】

【分析】

先根據(jù)題意可知｛冊｝中的項有正有負(fù)，不妨設(shè)根據(jù)題意可求得d>3,根據(jù)

|aj+|a2|+.?.+\an\=2010,去絕對值求和,即可求出結(jié)果.

【詳解】%=-1005,。2=1。05時，滿足條件，所以n=2滿足條件，即“最小值為2,舍去B,D.

要使得n取最大值，則項數(shù)〃為偶數(shù)，

設(shè)n=2k,keN”,等差數(shù)列的公差為d,首項為%,不妨設(shè)｛*：嗝°，

則由<0/>0,且。卜+3<0,由｛(；式加■得d>3,

所以1%1+lazl+,?,+\an\=~al~a2~'~ak+ak+l+%+2+…+a2k

=-2(Q〔+a2+???+Q。+(0i+%+…+%++1+縱+2+…+。24)

k(k+1)2k(2k+1)

92

=—2[fca14--------d\+2k&H----------d=kd=2010,

因為d>3,所以k2d=2010>3/,所以/<670，而keN*,

所以k?25,故n=2kw50.

故選A

【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟記等差數(shù)列的性質(zhì)以及通項公式等即可，屬于常

考題型.

三.解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)

17.如圖，圓柱是矩形。1。44繞其邊3。所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得，AB是底面圓的直徑，點C是

弧AB的中點.

(1)求三棱錐4-4BC體積與圓柱體積的比值；

(2)若圓柱的母線長度與底面半徑相等，點M是線段44的中點，求異面直線CM與BO1所成

角的大小.

【答案】(1)^-:(2)arccos^-

而3

【解析】

【分析】

(1)先設(shè)圓柱的母線長為兒底面圓半徑為r,根據(jù)三棱錐以及圓柱的體積公式分別求出體積，

進(jìn)而可得出結(jié)果.

(2)由題意，以。為坐標(biāo)原點，0C、。4、。3方向分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

分別求出直線CM與BO1的方向向量，根據(jù)兩向量夾角的余弦值，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)圓柱母線長為兒底面圓半徑為r,因此U畫柱=

又因為AB是底面圓的直徑，點C是弧AB的中點，

111

所以%48C=2X48X0C=/，因此力「48C=t^ABC,八=w'",

%-ABC1

故三棱錐勺-4BC體積與圓柱體積的比值為」—=2_.

U圓柱3〃

(2)由題意，以。為坐標(biāo)原點，0C、。人。。1方向分別為峋、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

因為圓柱的母線長度與底面半徑相等，設(shè)r=2,

則C(2,0,0),4(0,2,0),0(0,0,0),0/0,0,2),6(0,-2,0),

因為點M是線段A。1的中點，所以

所以C%=(_2,1,1),眄=(0,2,2),

CM-2+2,/3

因此cos(CM,8^^=————=-=——,=—,

'/44+1+1x,4+43

所以異面直線CM與BO1所成角的大小為arccosg.

▲

【點睛】本題主要考查幾何體體積以及異面直線所成的角的問題，熟記棱錐與圓錐的體積公

式即可求出體積之比；第二問求異面直線所成的角，可采用空間向量的方法，求出兩直線方

向向量的夾角即可得出結(jié)果，屬于?？碱}型.

18.如圖，某沿海地區(qū)計劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通A、B兩地，A處位于東西方向的直線MN上的陸

3

地處，B處位于海上一個燈塔處，在A處用測角器測得=在A處正西方向1km的

點C處，用測角器測得tan/BCN=l,現(xiàn)有兩種鋪設(shè)方案：①沿線段AB在水下鋪設(shè)；②在

岸MN上選一點P,先沿線段AP在地下鋪設(shè)，再沿線段PB在水下鋪設(shè)，預(yù)算地下、水下的電

纜鋪設(shè)費用分別為2萬元/km,4萬元/km.

R----1.統(tǒng)

.vrcA.v

(1)求A、B兩點間的距離；

(2)請選擇一種鋪設(shè)費用較低的方案，并說明理由.

【答案】(1)5千米；(2)方案②，理由見詳解.

【解析】

【分析】

3

(1)過點B作BDJ.MN于點D,設(shè)BD=a,根據(jù)￡即乙ZMN=—,tan^BCN=1,即可求出a,進(jìn)

4

而可得出結(jié)果;

（2）根據(jù)（1）得結(jié)果，結(jié)合題意可直接計算出方案①的費用;

7TBD3

方案②：設(shè)4BPD=e,則。€（。0,2）,其中。O=4B4N,在直角三角形BPD中，。P

tanOtand'

BD3乂心5ME、,6122-cosO

BP=『二『，總鋪設(shè)費用為24P+48P=8+『=8+6-.，再設(shè)

sinOsinOtanOsinOsinu

2-cosO

=用導(dǎo)數(shù)的方法求其最小值即可得出結(jié)果.

sinO

【詳解】（1）過點B作BDJ.MN于點。，設(shè)BD=a,因為tan/BCN=l,所以CD=a,

3一，BD3a3…

又AC=1,tan^BAN=-,所以而=%'即有=彳,解侍。=3,

所以4B=^BD2+AD2=5(km).

(2)由(1)可知4B=5(km),

方案①：沿線段AB在水下鋪設(shè)，總鋪設(shè)費用為5x4=20萬元:

n

方案②：設(shè)&BPD=9,則O€（Oo,5），其中。O=NB4N,

BD3BD3

在直角三角形BPD中，DP—7，BP—，

tanOtan0sinOsinO

3

所以4P=4-DP=4-----,

tanO

6122—cosO

則總鋪設(shè)費用為24P+MP=8一麻+赤=8+6?呆

2-cosO

設(shè)

2

則,幽=一sin0-焉(2-cos6)cos令01-2co眄s0,=°得,列n表如下,:

nnmt

0（。0夕(狼

3

f⑼-0+

f⑼單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以該方案的總鋪設(shè)費用為8+6小，此時4P=4-書.

而8+6斥20,

所以應(yīng)選擇方案②進(jìn)行鋪設(shè)，點P選擇A的正西方(4處，總鋪設(shè)費用最低.

【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)

的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的最值，屬于?？碱}型.

2x-a

19.已知aeR,函數(shù)f(x)=-----.

2*+a

(1)求a的值，使得/'(x)為奇函數(shù)；

CL—2

(2)若。?。且/^^亍對任意彳打都成立，求a的取值范圍.

【答案】⑴a=l:(2)a>5

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意得到函數(shù)定義域為R,再由/(0)=0即可求出結(jié)果；

a—22”-a.a—2

(2)對任意xeR都成立，即是------(對任意XCR都成立；分別討論a=0,

32*+a3

a=5,a>5以及a<5即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)由題意可知;■(*)的定義域為R,因此，若/'(x)為奇函數(shù)，則外0)=0,

1-a

即:^---=0,所以Q=l;

1+a

a—22”—cia—2

⑵由人支)<k對任意KGR都成立，可得-----<「「對任意xGR都成立；

32、+a3

2

當(dāng)Q=0時，IV顯然不成立，所以Q>0；

2X-aa-2

因此示一<—對任意XGR都成立，等價于(5-a)2z<。2+a；

當(dāng)a=5時，0<30顯然成立；所以a=5符合題意；

22

當(dāng)a>5時，有2、>葭」對任意x6R都成立，則巴士^=出望2wo顯然成立，所以a>5符

5-a5-a5-a

合題意;

22

當(dāng)a<5時，有對任意xeR都成立，因為xeR時，21(0,+8),因此有2“<上吧

5-a5-a

對任意比WR不能恒成立，故aV5不符合題意；

綜上，a的取值范圍為a25.

【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，熟記函數(shù)單調(diào)性與奇偶性即可，屬于

?？碱}型.

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意一點P(x,y),總存在一個點(2(%/)滿足關(guān)系式：

<P：[X-=AX(A>0,n>0),則稱8為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.

ly=ny

(1)在同一直角坐標(biāo)系中，求平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換9，使得橢圓4，+9y2=36變換

為一個單位圓；

(2)在同一直角坐標(biāo)系中，AAOB(。為坐標(biāo)原點)經(jīng)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換w：[x，=Xx

ly=ny

c1

(A>0,4>0)得到△4'OH,記△AOB和△A'O'B'的面積分別為S與S’,求證：-=A/i；

S

.x

X=—

【答案】(1)J;(2)見詳解.

,y

y=-

[2

【解析】

【分析】

22

(D將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程++匕=1,再由單位圓的方程，以及題中伸縮變換的概念，

94

即可得出結(jié)果.

(2)先設(shè)4(*]%),8(刀2%)，根據(jù)伸縮變換得到/(M，%)，B'(忒2，"2)，得到|。'才|，I。冏設(shè)

直線。4的斜率為k,得到直線。4的方程為y=kx,從而求出點B到直線04的距離d,

同理得到點B到直線04的距離為乙，最后由」化簡即可得出結(jié)果.

S\0A\.d

22

【詳解】(1)因為橢圓4/+9/=36的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1，又單位圓的方程為，+9=1，

94

,x

x=-

因此要想由橢圓4,+9/=36變換為一個單位圓，伸縮變換只需為3：｛,:

V=-

(2)先設(shè)%2，%)，因為。為坐標(biāo)原點，所以0(0,0),

由△40B（。為坐標(biāo)原點）經(jīng)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換陽x,=癡（4>o,〃>0）得到△/oR,

y=ny

所以/（&i，4yi）,B'（忒2內(nèi)2），0（0,0）.

所以|。'/|二,（租）2+伊力）2,\OA\=JY+當(dāng)2,

設(shè)直線。4的斜率為億則直線。4的方程為y=kx,故為=%,

|fcx2-y2|

所以點B到直線。4的距離為d=—=^

Jk2+1

Hy^nn