電子測量測量誤差及數(shù)據(jù)處理

關于電子測量測量誤差及數(shù)據(jù)處理第1頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.1.2測量誤差的來源（1）儀器誤差：由于測量儀器及其附件的設計、制造、檢定等不完善，以及儀器使用過程中老化、磨損、疲勞等因素而使儀器帶有的誤差。（2）影響誤差：由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、振動、電源電壓、電磁場等）與測量要求的條件不一致而引起的誤差。（3）理論誤差和方法誤差：由于測量原理、近似公式、測量方法不合理而造成的誤差。（4）人身誤差：由于測量人員感官的分辨能力、反應速度、視覺疲勞、固有習慣、缺乏責任心等原因，而在測量中使用操作不當、現(xiàn)象判斷出錯或數(shù)據(jù)讀取疏失等而引起的誤差。（5）測量對象變化誤差：測量過程中由于測量對象變化而使得測量值不準確，如引起動態(tài)誤差等。第2頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.1.3測量誤差的表示方法

測量誤差有絕對誤差和相對誤差兩種表示方法。1.絕對誤差（1）定義：由測量所得到的被測量值與其真值之差，稱為絕對誤差

實際應用中常用實際值A（高一級以上的測量儀器或計量器具測量所得之值、算術平均值、理論給出或計量學作出規(guī)定）來代替真值。絕對誤差：

有大小，又有符號和量綱第3頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）（2）修正值與絕對誤差的絕對值大小相等，但符號相反的量值，稱為修正值測量儀器的修正值可以通過上一級標準的檢定給出，修正值可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達式等形式。被測量的實際值第4頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）2.相對誤差一個量的準確程度，不僅與它的絕對誤差的大小，而且與這個量本身的大小有關。例：測量足球場的長度和成都市到綿陽市的距離，若絕對誤差都為1米，測量的準確程度是否相同？（1）相對真誤差、實際相對誤差、示值相對誤差相對誤差：絕對誤差與被測量的真值之比相對誤差是兩個有相同量綱的量的比值，只有大小和符號，沒有單位。第5頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）實際相對誤差：用實際值A代替真值A0

示值相對誤差：用測量值X代替實際值A第6頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五例：用圖中(a)、(b)兩種電路測電阻上的電壓和電流,若電壓表的內(nèi)阻為,電流表的內(nèi)阻為

,求測量值受電表影響產(chǎn)生的絕對誤差和相對誤差,并分析所得結果.。(a)(b)IIUU低阻測量V解、設被測電阻真值為對圖(a)

給出值

絕對誤差第7頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五相對誤差對圖(b)

給出值

絕對誤差

相對誤差(b)IU

相對誤差=分數(shù)法=百分法=千分法=1000系統(tǒng)誤差用準確度表征第8頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）（2）滿度相對誤差（引用相對誤差）用測量儀器在一個量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對誤差與該量程值（上限值－下限值）之比來表示的相對誤差，稱為滿度相對誤差（或稱引用相對誤差）儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值第9頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）電工儀表就是按引用誤差之值進行分級的。是儀表在工作條件下不應超過的最大引用相對誤差我國電工儀表共分七級：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果儀表為S級，則說明該儀表的最大引用誤差不超過S%測量點的最大相對誤差在使用這類儀表測量時，應選擇適當?shù)牧砍蹋故局当M可能接近于滿度值，指針最好能偏轉在不小于滿度值2/3以上的區(qū)域。

第10頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）[例1-3]某待測電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級量程為0～400mA和1.5級量程為0～100mA的兩個電流表，問用哪一個電流表測量較好？用1.5級量程為0～100mA電流表測量100mA時的最大相對誤差為解：用0.5級量程為0～400mA電流表測100mA時，最大相對誤差為第11頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）（3）分貝誤差——相對誤差的對數(shù)表示分貝誤差是用對數(shù)形式（分貝數(shù)）表示的一種相對誤差，單位為分貝（dB）。電壓增益的測得值為誤差為用對數(shù)表示為增益測得值的分貝值分貝誤差第12頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）第13頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.2測量誤差的分類2.2.1誤差的來源儀器誤差——儀器本身不完善引起的誤差，如校準誤差、測試系統(tǒng)分辨率不高引起的誤差、內(nèi)部噪聲引起的誤差影響誤差——由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、振動、電源電壓、電磁場等）與測量要求的條件不一致而引起的誤差。方法誤差和理論誤差——測量時方法不完善、所依據(jù)的理論不嚴密以及對被測量定義不明確等人身誤差以及測量對象變化誤差第14頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.2.2測量誤差的分類系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差三大類。古典誤差理論

(一)系統(tǒng)誤差定義：對同一個被測值在相同條件下進行重復測量、誤差的絕對值和符號（大小和方向）不變，或在條件改變時按某種確定規(guī)律而變化的誤差。特點：只要測量條件不變，誤差即為確切的數(shù)值，用多次測量取平均值的辦法不能改變或消除；當條件改變時，誤差也隨之遵循某種確定的規(guī)律而變化，具有可重復性。

產(chǎn)生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計算公式，測量人員不良的讀數(shù)習慣等。第15頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

誤差的絕對值和符號在一定條件下保持不變的誤差（2）變值系差

——誤差的數(shù)值和符號在一定的條件下，按某一確定的規(guī)律變化。根據(jù)其變化規(guī)律又可分為三種

1）累進性系差：在測量過程中誤差數(shù)值逐漸變化的系統(tǒng)誤差（電池充放電）

2）周期性系差：在測量過程中誤差數(shù)值周期性變化的系統(tǒng)誤差、恒溫箱隨環(huán)境溫度變化而周期性變化。

3）按復雜規(guī)律變化的系差：盡管誤差變化規(guī)律復雜，重復測量仍有重復性。（1）恒定系差(又稱恒差)第16頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

（二）隨機誤差

1．定義——在實際相同的條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號以不可預定的方式[有時大(小)，有時為負(正)]變化著的誤差稱為隨機誤差。（沒規(guī)律、不能預先確定）

eg.對某一頻率等精度測量10次，得下表；測量序號i測量結果Xi(MHZ)測量序號i 測量結果Xi(MHZ) 1 5.000032 6 5.000029 2 5.000029 7 5.000030 3 5.000030 8 5.000033 4 5.000019 9 5.000027 5 5.000031 10 5.000028

表中代表的隨機誤差與隨時間按復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差有著本質(zhì)的區(qū)別。無規(guī)律。只有通過大量觀測，才能確定其統(tǒng)計規(guī)律。第17頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.隨機誤差的特點:在多次等精度測量中

有界性；對稱性；（正負值出現(xiàn)的幾率相等）具有抵償性。AXn上界實際值(無系差)下界隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。第18頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五3.精度：表現(xiàn)了測量結果的分散性，在誤差理論中，經(jīng)常用精密度(PRECISION)一詞來表征隨機誤差的大小。(a)(b)(c)(a)彈著點很分散-----正確度、精密度低(b)彈著點很集中但偏向一方-----正確度低精密度高(c)彈著點集中靶心----正確度、精密度都高，即準確度高分析：正確、精密、準確及精確。第19頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五（三）粗大誤差粗大誤差又稱粗差、巨差或差錯。它是指那些在一定條件下測量結果顯著地偏離其實際值時所對應的誤差。

產(chǎn)生原因和消除方法：1）測量方法不當，例如用普通萬用表電壓檔直接測量高內(nèi)阻電源的開路電壓2）測量操作疏忽和失誤，如未按規(guī)程操作、讀數(shù)錯誤、記錄及計算錯誤等

3）測量條件的突然變化，如電源電壓突然增高或降低，雷擊干擾，機械沖擊等含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時，應剔除掉。第20頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.2.2測量誤差的分類（續(xù)）4.系差和隨差的表達式

在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機誤差各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉化第21頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五A:實際值（真值）M(x):數(shù)學期望，其定義為：Xi:第i次測量示值。Xk:含有粗大誤差的測量示值，應剔除。：系統(tǒng)誤差，其定義為=M(x)-A

：隨機誤差，其定義為i=Xi-M(x)

因此,測量絕對誤差為第22頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五當=0時,則此條件見下圖

系統(tǒng)誤差和隨機誤差的特點：規(guī)律性：盡管非常復雜；系統(tǒng)誤差規(guī)律更難于掌握消除方法：系統(tǒng)誤差沒有比較有效的方法隨機誤差可用統(tǒng)計方法第23頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3測量誤差的估計和處理2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法在測量中，隨機誤差是不可避免的。隨機誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。多次測量，測量值和隨機誤差服從概率統(tǒng)計規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而減少隨機誤差對測量結果的影響。第24頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）（1）隨機變量的數(shù)字特征①

數(shù)學期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：

X為連續(xù)型隨機變量：

1.隨機誤差的分布規(guī)律第25頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

②方差和標準偏差方差是用來描述隨機變量與其數(shù)學期望的分散程度。設隨機變量X的數(shù)學期望為E(X)，則X的方差定義為：

D(X)=E(X－E(X))2

標準偏差定義為：

標準偏差同樣描述隨機變量與其數(shù)學期望的分散程度，并且與隨機變量具有相同量綱。標準方差反映了測量的精密度，標準差小表示精密度高，測得值集中，大表示精密度低，測得值分散。第26頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機誤差大多接近正態(tài)分布？(2)測量誤差的正態(tài)分布第27頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性隨機誤差的概率密度函數(shù)為：測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機誤差的數(shù)學期望和方差為：同樣測量數(shù)據(jù)的數(shù)學期望E(X)＝，方差D(X)＝第28頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）正態(tài)分布時概率密度曲線

隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因為它們的標準偏差相同，只是橫坐標相差隨機誤差具有：①對稱性②單峰性③有界性④抵償性

第29頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）標準偏差意義標準偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。第30頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（3）測量誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當只能估計誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時，一般可假定均勻分布。

概率密度:均值:當時,標準偏差:

當

時，第31頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

2.

有限次測量的數(shù)學期望和標準偏差的估計值

求被測量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進行有限次測量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當則令n個可相同的測試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計為1,當時，則（1）有限次測量的數(shù)學期望的估計值——算術平均值被測量X的數(shù)學期望，就是當測量次數(shù)時，各次測量值的算術平均值第32頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）規(guī)定使用算術平均值為數(shù)學期望的估計值，并作為最后的測量結果。即：

算術平均值是數(shù)學期望的無偏估計值、一致估計值和最大似然估計值。有限次測量值的算術平均值比測量值更接近真值？

第33頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（2）算術平均值的標準偏差

故：算術平均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小倍。原因是隨機誤差的抵償性。*第34頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五算術平均值：2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（2）有限次測量數(shù)據(jù)的標準偏差的估計值

殘差：實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：算術平均值標準偏差的估計值：第35頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

【例1】用溫度計重復測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。解：①平均值

②用公式計算各測量值殘差列于上表中③實驗偏差④標準偏差第36頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)3.

測量結果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：

k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積第37頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（2）正態(tài)分布的置信概率

當分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態(tài)分布,當k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大第38頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（3）t分布的置信限

t分布與測量次數(shù)有關。當n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率和測量次數(shù)n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-1第39頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）第40頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）

（4）非正態(tài)分布的置信因子

由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:第41頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法(續(xù)）第42頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

隨機誤差的均勻分布-----正態(tài)分布之外的一種主要分布均勻分布的特點：在其分布范圍內(nèi)，測量值或測量誤差出現(xiàn)的概率密度相等。

儀器最小分辨力限制引起的誤差;

數(shù)字顯示儀器的個字；四舍五入處理；對誤差分布并不了解，只知大致范圍時。分辨力——測量儀器可能檢測出被測信號最小變化(準確值)的能力。靈敏門值——測量儀器不能檢測出的被測信號最大變化范圍值。產(chǎn)生的主要原因：第43頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五(二)數(shù)學期望與標準誤差對于測量值x連續(xù)取值，其數(shù)學期望定義式為：(一)均勻分布的概率密度概率密度x)為x)=kaxb 0x<a;x>b

由于均勻分布的范圍是由a到b，因此概率為：(axb)a-b之間的概率密度：第44頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五

對于測量值x連續(xù)取值，其標準誤差定義式為：

用滿量程為250mA，分辨力的靈敏門值為2mA，問測量電流的示值為200mA時，其實際值的范圍及標準誤差為多少？解:由于分辨力造成的隨機誤差，其出現(xiàn)的概率密度是屬于均勻分布的。因此對于示值為x=200mA,其實際值是在其隨機誤差的標準誤差為第45頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

1.系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測量求平均不能減少系差。第46頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法

（1）不變的系統(tǒng)誤差：校準、修正和實驗比對。（2）變化的系統(tǒng)誤差①

殘差觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況 將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化。

存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差第47頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）②馬利科夫判據(jù)：若有累進性系統(tǒng)誤差，D值應明顯異于零。 當n為偶數(shù)時，

當n為奇數(shù)時，③阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗周期性系差的存在。第48頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴格。②

測量儀器定期檢定和校準，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。④

盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應提高測量人員業(yè)務技術水平和工作責任心，改進設備。（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差

修正值＝－誤差=－（測量值－真值） 實際值＝測量值＋修正值第49頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

（3）采用一些專門的測量方法

①替代法：沃爾德稱重法、電橋測電阻②交換法：高斯稱重法③對稱測量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法⑤反向補償法：消除接觸電動勢測電阻系統(tǒng)誤差可忽略不計的準則是： 系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超過測量結果擴展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。第50頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.3粗大誤差及其判斷準則粗大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應將對應的測量值剔除。1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄；②客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。第51頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.3粗大誤差及其判斷準則（續(xù)）

2.

粗大誤差的判別準則

統(tǒng)計學的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗法格拉布斯檢驗法式中，G值按重復測量次數(shù)n及置信概率Pc確定第52頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.3粗大誤差及其判斷準則（續(xù)）

應注意的問題①

所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時檢驗不一定可靠。②

若有多個可疑數(shù)據(jù)同時超過檢驗所定置信區(qū)間，應逐個剔除，重新計算，再行判別。若有兩個相同數(shù)據(jù)超出范圍時，應逐個剔除。③在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。例2—10P49第53頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.4測量結果的處理步驟

①對測量值進行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術平均值③列出殘差，并驗證④按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值⑤按萊特準則，或格拉布斯準則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；⑦計算算術平均值的標準偏差；⑧寫出最后結果的表達式，即（單位）。第54頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.4測量結果的處理步驟（續(xù)）【例3．4】對某電壓進行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結果表達式。第55頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.4測量結果的處理步驟（續(xù)）第56頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.4測量結果的處理步驟（續(xù)）第57頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.4測量結果的處理步驟（續(xù)）

等精度測量與不等精度測量

等精度測量：即在相同地點、相同的測量方法和相同測量設備、相同測量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時間內(nèi)進行的重復測量。不等精度測量：在測量條件不相同時進行的測量，測量結果的精密度將不相同。不等精度測量處理方法：權值與標準偏差的平方成反比。權值

測量結果為加權平均值

第58頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.4測量結果的處理步驟（續(xù)）

第59頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.5誤差的合成分析問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？第60頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.5誤差的合成分析（續(xù)）第61頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.3.5誤差的合成分析（續(xù)）在實際應用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負，有時就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加該公式常用于在設計階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進行分析和估算，以采取減少誤差的相應措施。但是，更嚴格和更準確地計算合成誤差的方法是測量不確定度理論中的合成不確定度評定第62頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.4測量不確定度

2.4.1不確定度的概念不確定度是說明測量結果可能的分散程度的參數(shù)?？捎脴藴势畋硎荆部捎脴藴势畹谋稊?shù)或置信區(qū)間的半寬度表示。1.術語（1）標準不確定度：用概率分布的標準偏差表示的不確定度

①A類標準不確定度：用統(tǒng)計方法得到的不確定度。②B類標準不確定度：用非統(tǒng)計方法得到的不確定度第63頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.4.1不確定度的概念（續(xù)）

（2）合成標準不確定度*由各不確定度分量合成的標準不確定度。*因為測量結果是受若干因素聯(lián)合影響。（3）擴展不確定度*合成標準不確定度的倍數(shù)表示的測量不確定度，即用包含因子乘以合成標準不確定度得到一個區(qū)間半寬度。

*包含因子的取值決定了擴展不確定度的置信水平。*通常測量結果的不確定度都用擴展不確定度表示

第64頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.4.1不確定度的概念（續(xù)）

2.不確定度的分類

第65頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.4.1不確定度的概念（續(xù)）

3.不確定度的來源

①被測量定義的不完善，實現(xiàn)被測量定義的方法不理想，被測量樣本不能代表所定義的被測量。②測量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等影響。③測量環(huán)境的不完善對測量過程的影響以及測量人員技術水平等影響。④計量標準和標準物質(zhì)的值本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡化算法中使用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測量過程中引入的近似值的影響。⑤在相同條件下，由隨機因素所引起的被測量本身的不穩(wěn)定性。第66頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.4.2誤差與不確定度的區(qū)別測量誤差測量不確定度客觀存在的，但不能準確得到，是一個定性的概念表示測量結果的分散程度，可根據(jù)試驗、資料等信息定量評定。誤差是不以人的認識程度而改變與人們對被測量和影響量及測量過程的認識有關。隨機誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同性質(zhì)的誤差A類或B類不確定度是兩種不同的評定方法，與隨機誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡單的對應關系。須進行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。剔除異常數(shù)據(jù)后再評定不確定度在最后測量結果中應修正確定的系統(tǒng)誤差。在測量不確定度中不包括已確定的修正值，但應考慮修正不完善引入的不確定度分量?！罢`差傳播定律”可用于間接測量時對誤差進行定性分析。不確定度傳播律更科學，用于定量評定測量結果的合成不確定度第67頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.5測量數(shù)據(jù)處理

2.5.1有效數(shù)字的處理1.數(shù)字修約規(guī)則由于測量數(shù)據(jù)和測量結果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不相同。為了使測量結果的表示準確唯一，計算簡便，在數(shù)據(jù)處理時，需對測量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進行修約處理。數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進1——在末位增1。（3）等于5時，取偶數(shù)——當末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。第68頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.5.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）

例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入應一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結果為0.69，錯誤做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負誤差的概率近似相等。第69頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.5.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）2.有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數(shù)末位的半個單位，則該近似數(shù)從左邊第一個非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103

二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.005

第70頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.5.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數(shù)字。測量數(shù)據(jù)的絕對值比較大（或比較?。行?shù)字又比較少的測量數(shù)據(jù)，應采用科學計數(shù)法，即a×10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決定。測量結果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應由該測量的不確定度來確定，即測量結果的最末一位應與不確定度的位數(shù)對齊。例如，某物理量的測量結果的值為63.44，且該量的測量不確定度u＝0.4，測量結果表示為63.4±0.4。第71頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.5.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）3.近似運算法則 保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準確度最差的那一項。（1）加法運算 以小數(shù)點后位數(shù)最少的為準（各項無小數(shù)點則以有效位數(shù)最少者為準），其余各數(shù)可多取一位。例如：

（2）減法運算：當兩數(shù)相差甚遠時，原則同加法運算；當兩數(shù)很接近時，有可能造成很大的相對誤差，因此，第一要盡量避免導致相近兩數(shù)相減的測量方法，第二在運算中多一些有效數(shù)字。

第72頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五2.5.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）（3）乘除法運算 以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準，其余參與運算的數(shù)字及結果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：

→也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結果為35.5。（4）乘方、開方運算：運算結果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×104第73頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五3.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法1.列表法根據(jù)測試的目的和內(nèi)容，設計出合理的表格。列表法簡單、方便，數(shù)據(jù)易于參考比較，它對數(shù)據(jù)變化的趨勢不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和經(jīng)驗公式法的基礎。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.1第74頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五3.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法2.圖示法圖示法的最大優(yōu)點是形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規(guī)律等。作圖時采用直角坐標或極座標。一般是先按成對數(shù)據(jù)（x，y）描點，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于所有點接近，不強求通過各點，要使位于曲線兩邊的點數(shù)盡量相等第75頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五3.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法（續(xù)）3.經(jīng)驗公式法經(jīng)驗公式法就是通過對實驗數(shù)據(jù)的計算，采用數(shù)理統(tǒng)計的方法，確定它們之間的數(shù)量關系，即用數(shù)學表達式表示各變量之間關系。有時又把這種經(jīng)驗公式稱為數(shù)學模型。類型有些一元非線性回歸可采用變量代換，將其轉化為線性回歸方程來解。一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個數(shù)11>1>1方次1>11>1y=a+bx

第76頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五3.4.3建立經(jīng)驗公式的步驟已知測量數(shù)據(jù)列(xi,yi

i=1,2,…,n),建立公式的步驟如下：（1)將自變量xi,作為橫坐標，測量值yi作為縱坐標，描繪在坐標紙上，并把數(shù)據(jù)點描繪成測量曲線。（2）分析描繪的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)的基本形式。①直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。②某種類型曲線，則先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處理。③如果測量曲線很難判斷屬于何種類型，這可以按曲線多項式回歸處理。即：

（3）由測量數(shù)據(jù)確定擬合方程（公式）中的常量。第77頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五3.4.3建立經(jīng)驗公式的步驟（續(xù)）(4)檢驗所確定的方程的準確性。①用測量數(shù)據(jù)中的自變量代入擬合方程計算出函數(shù)值y′②計算擬合殘差③計算擬合曲線的標準偏差

式中：m為擬合曲線未知數(shù)個數(shù)，n為測量數(shù)據(jù)列長度。如果標準偏差很大，說明所確定的公式基本形式有錯誤，應建立另外形式公式重做。第78頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五3.4.4一元線性回歸

用一個直線方程y=a+bx來表達測量數(shù)據(jù)(xi,yi

i=1,2,…,n)之間的相互關系，即求出a和b，此過程就是一元線性回歸。

1.端點法此方法是將測量數(shù)據(jù)中兩個端點，起點和終點（即最大量程點）的測量值（x1,y1）和（xn,yn），代入y=a+bx

，則a,b分別為第79頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五3.4.4一元線性回歸（續(xù)）2.平均選點法此方法是將全部n個測量值(xi,yi

i=1,2,…,n)分成數(shù)目大致相同的兩組，前半部k個測量點為一組，其余的n-k個測量點為另一組，兩組測量點都有自己的“點系中心”，其坐標分別為

通過兩個“點系中心”的直線即是擬合直線y=a+bx，其中a，b分別為：第80頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五3.4.4一元線性回歸（續(xù)）3.最小二乘法最小二乘法的基本原理是在殘差平方和為最小的條件下求出最佳直線。測量數(shù)據(jù)中的任何一個數(shù)據(jù)yi與擬合直線上y=a+bx對應的理想值yi‘之殘差(i=1,2,…n為測量點數(shù)） 即求a和b的偏導數(shù)，并令它們?yōu)榱?，即可解得a和b的值。第81頁，共90頁，2023年，2月20日，星期五3.4.4一元線性回歸（續(xù)）【例3.10】對量程為10Mpa的壓力傳感器，用活塞式壓力計進行測試，輸出由數(shù)字電壓表讀數(shù)，所得各測量點的輸出值列于下表中。試用端點法、平均選點法和最小二乘法擬合線性方程，并計算各種擬合方程的擬合精度。壓力（MPa）246810輸出（mV）10.04320.09330.13540.1