2020-2021數(shù)學北師大版（2019）第一冊練測評：4.4-5 指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較 信息技術(shù)支持的函數(shù)研究含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學年新教材數(shù)學北師大版（2019）必修第一冊練測評：4.4-5指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較信息技術(shù)支持的函數(shù)研究含解析指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較信息技術(shù)支持的函數(shù)研究必備知識基礎練進階訓練第一層知識點一指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的差異1。當x越來越大時,下列函數(shù)中，增長速度最快的應該是（）A．y＝10000xB．y＝log2xC．y＝x1000D．y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（e,2））)x2．四個變量y1，y2,y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681。05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424。3225.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是________。知識點二指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較3.下面對函數(shù)f(x）＝logx，g(x）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)））x與h（x）＝x在區(qū)間（0，＋∞）上的衰減情況的敘述正確的是(）A．f（x)的衰減速度逐漸變慢,g（x）的衰減速度逐漸變快，h(x）的衰減速度逐漸變慢B．f(x）的衰減速度逐漸變快，g（x）的衰減速度逐漸變慢，h(x)的衰減速度逐漸變快C．f(x）的衰減速度逐漸變慢，g(x)的衰減速度逐漸變慢，h（x）的衰減速度逐漸變慢D．f(x)的衰減速度逐漸變快，g（x)的衰減速度逐漸變快，h(x)的衰減速度逐漸變快4．當2〈x〈4時，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是（）A．2x>x2〉log2xB．x2〉2x〉log2xC．2x〉log2x〉x2D．x2>log2x>2x5．函數(shù)f（x）＝2x和g（x)＝x3的圖象如圖所示．設兩函數(shù)的圖象關(guān)于點A（x1，y1)，B(x2,y2），且x1<x2.（1）請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數(shù)．(2）結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f（6），g(6）的大小．知識點三指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實際應用6。某學校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y（單位:萬元）隨生源利潤x(單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%?，F(xiàn)有三個獎勵模型:y＝0.2x，y＝log5x，y＝1。02x,其中哪個模型符合該校的要求?關(guān)鍵能力綜合練進階訓練第二層1．四人賽跑，假設其跑過的路程和時間的函數(shù)關(guān)系分別是f1（x)＝x2，f2(x)＝4x,f3(x)＝log3x,f4（x)＝2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人對應的函數(shù)關(guān)系是(）A．f1(x)＝x2B．f2（x)＝4xC．f3(x）＝log3xD．f4（x)＝2x2．以下四種說法中，正確的是（)A．冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B．對任意的x〉0，xa>logaxC．對任意的x>0，ax>logaxD．一定存在x0，當x〉x0，a〉1,n>0時，總有ax>xn>logax3．已知－1〈α<0，則（）A．0。2α〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）))α>2αB．2α〉0。2α>eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2))）αC.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）)）α>0.2α>2αD．2α〉eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2))）α>0.2α4．有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：x12345y413284976下列所給函數(shù)模型較適合的是(）A．y＝logax(a〉1)B．y＝ax＋b(a〉1)C．y＝ax2＋b（a〉0)D．y＝logax＋b(a〉1）5．據(jù)報道，某淡水湖的湖水在50年內(nèi)減少了10％，若按此規(guī)律，設2019年的湖水量為m,從2019年起,經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為()A．y＝0.9B．y＝(1－0.1）mC．y＝0。9mD．y＝（1－0。150x)m6．（探究題)某校甲、乙食堂某年1月份的營業(yè)額相等,甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同;乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知該年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則該年5月份（）A．甲食堂的營業(yè)額較高B．乙食堂的營業(yè)額較高C．甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D．不能確定甲、乙哪個食堂的營業(yè)額較高7．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間（1，＋∞）上增長較快的一個是________．8．某種病菌經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知這種病菌的繁殖規(guī)律為y＝ekt（k為常數(shù)，t為時間，單位:小時），y表示病菌個數(shù)，則k＝________，經(jīng)過5小時，1個病菌能繁殖為________個．9．（易錯題)某工廠8年來某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t（年）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．以下四種說法:①前三年產(chǎn)量增長的速度越來越快；②前三年產(chǎn)量增長的速度越來越慢;③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后產(chǎn)量保持不變．其中說法正確的的序號是________．10．函數(shù)f(x)＝lgx，g(x）＝0。3x－1的圖象如圖．（1)指出曲線C1，C2分別對應哪一個函數(shù)；（2）比較兩函數(shù)的增長差異（以兩圖象交點為分界點，對f(x），g(x)的大小進行比較)．學科素養(yǎng)升級練進階訓練第三層1．(多選題）甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一個方向運動，其路程fi(x)（i＝1,2，3,4）關(guān)于時間x（x≥0）的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)＝2x－1，f2（x)＝x3，f3(x)＝x，f4（x）＝log2（x＋1）,則以下結(jié)論正確的是（)A．當x>1時，甲走在最前面B．當0<x〈1時,丁走在最前面，當x>1時，丁走在最后面C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲2．若已知16〈x<20，利用圖象可判出x和log2x的大小關(guān)系為________．3．(情境命題—生活情境）2020年，新型冠狀病毒的傳播給我國人民生產(chǎn)生活帶來很大的影響．經(jīng)過監(jiān)測，某地區(qū)第1周、第2周、第3周患這種傳染病的人數(shù)分別為52,54，58。為了預測以后各周的患病人數(shù)，甲選擇了模型y＝ax2＋bx＋c，乙選擇了模型y＝p·qx＋r，其中y為患病人數(shù)，x為周數(shù),a，b，c，p，q，r都是常數(shù)．結(jié)果第4周、第5周、第6周的患病人數(shù)分別為66,82,115，你認為誰選擇的模型較好?§4指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較§5信息技術(shù)支持的函數(shù)研究必備知識基礎練1．解析：由于指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長，則當x越來越大時，函數(shù)y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（e，2)））x增長速度最快．故選D。答案:D2．解析：以爆炸式增長的變量是呈指數(shù)函數(shù)變化的，從表格中可以看出，四個變量y1，y2,y3,y4均是從2開始變化，變量y1,y2，y3,y4都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化．答案：y23．解析：由函數(shù)f(x）＝logx，g(x)＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2））)x與h(x）＝x－eq\f(1,2）在區(qū)間（0,＋∞）上的圖象(圖略)知函數(shù)f(x)，g（x)，h(x）的衰減速度均逐漸變慢，故選C.答案：C4．解析：在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y＝log2x,y＝x2，y＝2x的圖象(圖略)，由圖象,可知在區(qū)間（2，4)上從上往下依次是y＝x2,y＝2x,y＝log2x的圖象．所以當2<x<4時，x2>2x>log2x.答案:B5．解析:(1）C1對應的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應的函數(shù)為f（x）＝2x。（2）因為f(1)>g（1)，f(2）〈g（2），f（9）<g（9）,f（10）〉g（10），所以1〈x1〈2，9〈x2〈10，所以x1<6<x2。由圖可知g(6）>f（6）．6．解析:作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x,y＝log5x，y＝1。02x的圖象（如下圖所示）．觀察圖象可知,在區(qū)間［5，60]上,y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0。2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進行獎勵才符合學校的要求．關(guān)鍵能力綜合練1．解析:在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)f1（x),f2（x）,f3(x），f4（x）的圖象(圖略)，可知當x〉4時，f4(x）>f1（x)〉f2(x)>f3（x），故選D。答案：D2．解析：對于A，冪函數(shù)的增長速度受指數(shù)影響，指數(shù)與一次項系數(shù)不確定，增長速度不能比較,而B，C中xa,logax，ax的大小都受a的影響,選D.答案：D3．解析：∵eq\f(1，2)〉0.2，－1〈α〈0，∴2α<eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）))α<0。2α。故選A.答案：A4．解析:通過所給數(shù)據(jù)可知y隨x增大,其增長速度越來越快,而A、D中的函數(shù)增長速度越來越慢，B中的函數(shù)增長速度保持不變，故選C.答案：C5．解析：設每年湖水量為上一年的q%，則（q％）50＝0。9,∴q％＝0.9eq\f（1，50）.∴x年后的湖水量為y＝0.9eq\f（x,50）m.答案：C6．解析：設甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m，甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a〉0），乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x。由題意，可得m＋8a＝m×(1＋x）8，則5月份甲食堂的營業(yè)額y1＝m＋4a,乙食堂的營業(yè)額y2＝m×（1＋x）4＝eq\r(mm＋8a）.因為yeq\o\al(2,1）－yeq\o\al（2，2)＝（m＋4a)2－m（m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2,故該年5月份甲食堂的營業(yè)額較高．答案：A7．解析：當x變大時，x比lnx增長要快，∴x2要比xlnx增長得要快．答案：y＝x28．解析：設病菌原來有1個,則半小時后為2個,得2＝e，解得k＝2ln2,y（5)＝e(2ln2）·5＝e10ln2＝210＝1024（個)．答案:2ln210249．解析：由t∈[0,3]的圖象聯(lián)想到冪函數(shù)y＝xα（0〈α<1）．反映了C隨時間的變化而逐漸增長但速度越來越慢．由t∈［3,8］的圖象可知，總產(chǎn)量C沒有變化，即第三年后停止生產(chǎn)，所以②③正確．答案：②③10．解析：(1)C1對應的函數(shù)為g（x）＝0。3x－1，C2對應的函數(shù)為f（x)＝lgx。(2）當x∈(0，x1）時,g(x)>f(x)；當x∈（x1,x2)時，g(x）<f(x）；當x∈(x2,＋∞）時，g(x）〉f(x）．學科素養(yǎng)升級練1．解析：路程fi(x)(i＝1,2，3,4）關(guān)于時間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為：f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3（x）＝x，f4（x）＝log2（x＋1)．它們相應的函數(shù)模型分別是指數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)、一次函數(shù)和對數(shù)型函數(shù)模型．當x＝2時，f1(2）＝3,f2（2)＝8，∴選項A不正確；根據(jù)四種函數(shù)的變化特點，對數(shù)型函數(shù)的變化是先快后慢,當x＝1時甲、乙、丙、丁四個物體重合，從而可知當0〈x<1時，丁走在最前面，當x>1時，丁走在最后面，∴選項B正確；結(jié)合對數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況,可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴選項C正確;指數(shù)函數(shù)變化是先慢后快，當運動的時間足夠長，最前面的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)運動的物體，即一定是甲物體．∴選項D正確．故選B、C、D。答案：BCD2．解析：作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的圖象，如圖所示：由圖象可知，在（0，4)內(nèi)，x〉log2x；x＝4或x＝16時，x＝log2x；在（4,16）內(nèi)x〈log2x;在(16，20)內(nèi)x>log2x。答案：x〉log2x3．解析:依題意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a·12＋b·1＋c＝52，，a·22＋b·2＋c＝54，，a·32＋b·3＋c＝58,）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＋b＋c＝52,,4a＋2b＋c＝54,,9a＋3b＋c＝58，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝1，,b＝－1，,c＝52，）)所以甲：y1＝x2－x＋52，又eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（p·q1＋r＝