切線與法平面

關(guān)于切線與法平面第1頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三問(wèn)題的提出

我們可以利用偏導(dǎo)數(shù)來(lái)確定空間曲線的切向量和空間曲面的法向量第2頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三切線方程為法線方程為的某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)定理?xiàng)l件，則

一.

平面曲線的切線與法線第3頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三求曲線上過(guò)點(diǎn)的切線方程，這里㈠設(shè)曲線用參數(shù)方程表示為二.空間曲線的切線與法平面第4頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由于切線是割線的極限位置，從而考慮通過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的割線方程在上式各端的分母都除以第5頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由于切線是割線的極限位置，在上式中令取極限，就得到曲線在點(diǎn)的切線方程：由此可見，曲線在點(diǎn)的切線的一組方向數(shù)是第6頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三曲線在點(diǎn)的法平面就是過(guò)點(diǎn)且與該點(diǎn)的切線垂直的平面，于是切線的方向數(shù)就是法平面的法方向數(shù)，從而過(guò)點(diǎn)的法平面方程是㈡如果曲線的方程表示為可以把它寫成如下的以為參數(shù)的參數(shù)方程于是可得曲線在點(diǎn)的切線方程和法平面方程如下：第7頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三㈢一般地，如果曲線表示為兩個(gè)曲面的交線：設(shè)，設(shè)上述方程組在點(diǎn)確定了一對(duì)函數(shù)由這兩個(gè)方程可解出這時(shí)容易把它化成剛才討論過(guò)的情形：第8頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從而可得曲線在點(diǎn)的切線方程：和法平面方程第9頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：在（1，1，1）點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為t=1切線方程：法平面方程：(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0即：x+2y+3z=8例1求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程。第10頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2、求曲線在點(diǎn)（1，-2，1）處的切線及法平面方程。法平面方程：x-z=0切線方程：第11頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例求曲線在點(diǎn)的切線與法平面方程解在曲線方程中分別對(duì)求導(dǎo)，得對(duì)應(yīng)于點(diǎn)的參數(shù)，于是從而切線方程為法平面方程為第12頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例求兩柱面的交線在點(diǎn)：處的切線方程。第13頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解在方程組中分別對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得于是從而在點(diǎn)有：第14頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以切線方程為：即此直線可看作是平面與平面的交線。第15頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三曲面的切平面與法線㈠設(shè)曲面方程為過(guò)曲面上點(diǎn)任作一條在曲面上的曲線，設(shè)其方程為顯然有在上式兩端對(duì)求導(dǎo)，得第16頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三曲線在M處的切向量第17頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三上式說(shuō)明向量與切線向量正交。從而曲面在點(diǎn)的切平面方程為由于的任意性，可見曲面上過(guò)的任一條曲線在該點(diǎn)的切線都與正交，因此這些切線應(yīng)在同一平面上，這個(gè)平面稱為曲面在點(diǎn)的切平面，而就是切平面的法向量。在點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于參數(shù)）有第18頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三過(guò)點(diǎn)與切平面垂直的直線，稱為曲面在點(diǎn)的法線，其方程為該法線的一組方向數(shù)為：第19頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三綜上所述若曲面方程為則該曲面在點(diǎn)的切平面方程為過(guò)點(diǎn)的法線方程為第20頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)分別為曲面在點(diǎn)的法線與軸正向之間的夾角，那末在點(diǎn)的法線方向余弦為第21頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三㈡若曲面方程為容易把它化成剛才討論過(guò)的情形：于是曲面在（這里）點(diǎn)的切平面方程為法線方程為第22頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三㈢若曲面方程為參數(shù)形式：如果由方程組可以確定兩個(gè)函數(shù)：于是可以將看成的函數(shù)，從而可以將問(wèn)題化為剛才已經(jīng)討論過(guò)的情形。代入方程，得因此需分別計(jì)算對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)。第23頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將分別對(duì)求導(dǎo)，注意到為的函數(shù)按隱函數(shù)求導(dǎo)法則有解方程組，得第24頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三法線方程于是曲面在點(diǎn)的切平面方程為第25頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1求球面在點(diǎn)的切平面及法線方程解設(shè)則所以在點(diǎn)處球面的切平面方程為法線方程第26頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三曲面的夾角兩個(gè)曲面在交線上某點(diǎn)處的兩個(gè)法線的夾角稱為這兩個(gè)曲面在該點(diǎn)的夾角。如果兩個(gè)曲面在該點(diǎn)的夾角等于90度，則稱這兩個(gè)曲面在該點(diǎn)正交。若兩曲面在交線的每一點(diǎn)都正交，則稱這兩曲面為正交曲面。例2證明對(duì)任意常數(shù)，球面與錐面是正交的。第27頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三即證明球面的法線方向數(shù)為錐面的法線方向數(shù)為在兩曲面交線上的任一點(diǎn)處，兩法向量的內(nèi)積因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面與錐面正交。第28頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解切平面方程為法線方程為第29頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解令切平面方程法線方程第30頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解設(shè)