北師大版選擇性必修第一冊6-3離散型隨機變量的均值與方差學案

§3離散型隨機變量的均值與方差新課程標準新學法解讀1.理解離散型隨機變量的均值．2．會用均值公式解決有關(guān)問題．3．理解離散型隨機變量的方差與均值的關(guān)系．4．會求離散型隨機變量的方差，并會簡單應(yīng)用.1.理解離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì)，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值．掌握兩點分布的均值．2．會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關(guān)的實際問題．3．理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念．4．能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．5．掌握方差的性質(zhì)以及兩點分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差.[筆記教材]知識點一離散型隨機變量的均值(1)離散型隨機變量的均值的概念設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱EX＝__________________為隨機變量X的均值或數(shù)學期望(簡稱期望)．[說明]均值EX刻畫的是X取值的“________”，反映了離散型隨機變量X取值的________，是隨機變量X的一個重要特征．(2)兩點分布的均值與均值的性質(zhì)①兩點分布的均值：若離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，則EX＝1×p＋0×(1－p)＝________.②均值的性質(zhì)若X與Y都是隨機變量，且Y＝aX＋b(a≠0)，則由X與Y之間分布列的關(guān)系可知EY＝________.證明：若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，a≠0，X，Y是隨機變量．因為P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n，于是EY＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pn)＝aEX＋b，即E(aX＋b)＝aEX＋b.答案：(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn中心位置平均水平(2)①p②aEX＋b知識點二離散型隨機變量的方差(1)離散型隨機變量方差的概念若離散型隨機變量X的分布列如表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－EX)2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值EX的偏離程度，而DX＝E(X－EX)2＝________為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度．我們稱DX為隨機變量X的方差，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機變量X的標準差，記作σX.[說明]隨機變量的方差DX和標準差σX都反映了隨機變量的取值偏離于________．方差(標準差)越小則隨機變量偏離于均值的平均程度________；反之，方差(標準差)越大，則隨機變量的取值________．(2)兩點分布的方差與方差的性質(zhì)①兩點分布的方差：若離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布，則DX＝________.②方差的性質(zhì)若X與Y都是離散型隨機變量，且Y＝aX＋b(a≠0)，則由X與Y之間分布列和均值之間的關(guān)系可知DY＝________.證明：DY＝(ax1＋b－aEX－b)2p1＋(ax2＋b－aEXb)2p2＋…＋(axn＋b－aEX－b)2pn＝a2(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋…＋(xn－EX)2pn＝a2DX.答案：(1)eq\o(eq\o(∑,\s\up6(n)),\s\do4(i＝1))(xi－EX)2pi均值的平均程度越小越分散(2)①p(1－p)②a2DX[重點理解]1．對離散型隨機變量的均值概念的深層理解(1)離散型隨機變量X的均值(數(shù)學期望)EX是個數(shù)值，是隨機變量的一個重要特征數(shù)，反映的是離散型隨機變量的平均取值水平．即若隨機試驗進行了n次，根據(jù)X的分布列，在n次試驗中，有p1n次出現(xiàn)了x1，有p2n次出現(xiàn)了x2，……，有pnn次出現(xiàn)了xn，則n次試驗中，X的平均值為eq\f(p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn,n)＝EX，即EX＝p1x2＋p2x2＋…＋pnxn.(2)隨機變量的均值與隨機變量本身具有相同的單位．2．對離散型隨機變量的方差的深層理解(1)離散型隨機變量X的方差DX是個數(shù)值，是隨機變量的一個重要特征數(shù)，(x1－EX)2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值EX的偏離程度，而DX是上述偏離程度的加權(quán)平均值，刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度．隨機變量的方差和標準差均反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越?。?2)標準差與隨機變量有相同的單位，而方差的單位是隨機變量單位的平方．(3)均值與方差的關(guān)系在實際問題中僅靠均值還不能全面地說明隨機變量的特征，還必須研究隨機變量的集中與離散程度，這就需要求出方差．[自我排查]1．判斷正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”)(1)隨機變量X的數(shù)學期望EX是個變量，其隨X的變化而變化．()(2)隨機變量的均值與樣本的平均值相同．()(3)均值是概率意義下的平均值，不同于相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)．(√)(4)離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)定．()(5)若a是常數(shù)，則Da＝0.(√)(6)離散型隨機變量X的方差與樣本數(shù)據(jù)的方差概念相同．()(7)DX的單位是隨機變量X單位的平方．(√)2．已知離散型隨機變量X的分布列為X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)則X的數(shù)學期望EX＝()A.eq\f(3,2) B．2C.eq\f(5,2) D．3答案：A3．如果X是離散型隨機變量，且EX＝5，則隨機變量Y＝3X＋2的均值為________．答案：174．已知隨機變量X的分布列為X－101P0.50.30.2則DX＝________.答案：0.615．設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有A和eq\x\to(A)，且P(A)＝p，令隨機變量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，A不發(fā)生，))則X的方差DX＝________.答案：p(1－p)研習1離散型隨機變量的均值[典例1]在甲、乙等6個單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動中，每個單位的節(jié)目集中安排在一起，若采用抽簽的方式隨機確定各單位的演出順序(序號為1,2，…，6)，求：(1)甲、乙兩單位的演出序號至少有一個為奇數(shù)的概率；(2)甲、乙兩單位之間的演出單位個數(shù)X的分布列與期望．[解](1)設(shè)A表示“甲、乙的演出序號至少有一個為奇數(shù)”，則eq\x\to(A)表示“甲、乙的序號均為偶數(shù)”，由等可能性事件的概率計算公式得：P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(A\o\al(2,3),A\o\al(2,6))＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(2)X的所有可能值為0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝eq\f(10,A\o\al(2,6))＝eq\f(1,3)，P(X＝1)＝eq\f(8,A\o\al(2,6))＝eq\f(4,15)，P(X＝2)＝eq\f(6,A\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(4,A\o\al(2,6))＝eq\f(2,15)，P(X＝4)＝eq\f(2,A\o\al(2,6))＝eq\f(1,15).從而知X的分布列為X01234Peq\f(1,3)eq\f(4,15)eq\f(1,5)eq\f(2,15)eq\f(1,15)所以EX＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,15)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(2,15)＋4×eq\f(1,15)＝eq\f(4,3).[巧歸納]1.求離散型隨機變量X的均值的步驟：(1)理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值．(2)求出X取每個值的概率P(X＝k)．(3)寫出X的分布列．(4)利用均值的定義求EX.2．注意運用隨機變量均值的性質(zhì)．[練習1](1)已知隨機變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，則m的值為()ξ1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D．eq\f(1,8)(2)根據(jù)統(tǒng)計，一年中，一個家庭萬元以上財產(chǎn)被竊的概率為0.01，保險公司開辦一年期萬元以上家庭財產(chǎn)保險，參加者交保險費100元，若在一年之內(nèi)，萬元以上財產(chǎn)被竊，保險公司賠償a元(a>100)，問a如何確定，可使保險公司獲益？(1)答案：A解析：因為η＝12ξ＋7，則Eη＝12Eξ＋7，即Eη＝12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12)))＋7＝34.所以2m＋3n＝eq\f(5,3)①，又eq\f(1,4)＋m＋n＋eq\f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq\f(2,3)②.由①②可解得m＝eq\f(1,3).(2)解：設(shè)保險公司獲益ξ元，則可得ξ的分布列ξ100－a＋100P0.990.01所以Eξ＝100×0.99＋(－a＋100)×0.01＝100－0.01a>0.所以100<a<10000，即當100<a<10000時，可使保險公司獲益.研習2離散型隨機變量的方差[典例2]某校從6名學生會干部(其中男生4人，女生2人)中選3人參加市中學生運動會志愿者．記所選3人中女生人數(shù)為X，求X的分布列及方差．[解]X的可能取值為0,1,2.由題意P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，所以X的分布列為X012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)EX＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1，DX＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).[巧歸納]1.求離散型隨機變量X的方差的基本步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫X的分布列；(4)求EX，DX.2．在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下，運用關(guān)系式DX＝EX2－(EX)2不失為一種比較實用的方法．另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aX＋b)＝a2DX.[練習2]編號為1,2,3的三位同學隨意入坐編號為1,2,3的三個座位，每位同學一個座位，設(shè)與座位編號相同的學生的個數(shù)為X，求DX.解：3.P能取值為0,1,3.P(X＝0)＝eq\f(2,3！)＝eq\f(1,3)，P(X＝1)＝eq\f(3,3！)＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(1,3！)＝eq\f(1,6).所以X的分布列為X013Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)EX＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝1，DX＝(0－1)2×eq\f(1,3)＋(1－1)2×eq\f(1,2)＋(3－1)2×eq\f(1,6)＝1.研習3均值、方差的實際應(yīng)用[典例3]甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的數(shù)學期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．[解](1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)[解]由(1)得：Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于Eξ>Eη，Dξ<Dη，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好．[巧歸納]利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟：(1)比較均值．離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高．(2)在均值相等的情況下計算方差．方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．通過計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定．(3)下結(jié)論，依據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論．[練習3]有甲、乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資X1/元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002200獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.30.20.1根據(jù)工資的待遇情況，你愿選擇哪家單位？解：根據(jù)月工資的分布列，計算可得EX1＝1200×0.4＋1400×0.3＋1600×0.2＋1800×0.1＝1400；EX2＝1000×0.4＋1400×0.3＋1800×0.2＋2200×0.1＝1400；DX1＝(1200－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1600－1400)2×0.2＋(1800－1400)2×0.1＝40000；DX2＝(1000－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1800－1400)2×0.2＋(2200－1400)2×0.1＝.因為EX1＝EX2，DX1＜DX2，所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散．如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選乙單位．1．隨機拋擲一枚骰子，所得點數(shù)X的均值為()A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．eq\f(7,2)答案：D解析：X的分布列如下：X123456Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)所以EX＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,6)＝eq\f(7,2).2．有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計算出樣本均值EX甲＝EX乙，方差分別為DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估計()A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較答案：B解析：∵DX甲>DX乙，∴乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊．3．(2022遼寧大連檢測)將3個球(形狀相同，編號不同)隨機地投入編號為1,2,3,4的4個盒子，以ξ表示其中至少有一個球的盒子的最小號碼(ξ＝3表示第1號，第2號盒子是空的，第3個盒子至少1個球)，則Eξ，E(2ξ＋1)分別等于()A.eq\f(25,16)，eq\f(25,8) B．eq\f(25,16)，eq\f(33,8)C.eq\f(3,2)，3 D．eq\f(3,2)，4答案：B解析：由題意可知，隨機變量的可能取值有1,2,3,4，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)×32＋C\o\al(2,3)×3＋C\o\al(3,3),43)＝eq\f(37,64)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)×22＋C\o\al(2,3)×2＋C\o\al(3,3),43)＝eq\f(19,64)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(3,3),43)＝eq\f(7,64)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,43)＝eq\f(1,64)，所以Eξ＝1×eq\f(37,64)＋2×eq\f(19,64)＋3×eq\f(7,64)＋4×eq\f(1,64)＝eq\f(25,16)，因此E(2ξ＋1)＝2Eξ＋1＝2×eq\f(25,16)＋1＝eq\f(33,8).故選B.4．馬老師從課本上抄錄一個隨機變量X的概率分布列如下表：X123P？！？請小牛同學計算X的數(shù)學期望，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案EX＝________.答案：2解析：設(shè)P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，則2a＋b＝1.于是，EX＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.5．如果X是離散型隨機變量，Y＝3X＋2，那么DY＝________DX.答案：9解析：DY＝D(3X＋2)＝32DX＝9DX.[誤區(qū)警示]求隨機變量分布列出現(xiàn)錯誤導致均值和方差求錯[示例]學校新進了3臺投影儀用于多媒體教學，為保證設(shè)備正常工作，事先進行獨立試驗，已知各設(shè)備產(chǎn)生故障的概率分別為P1，P2，P3，求試驗中產(chǎn)生故障的投影儀數(shù)量的數(shù)學期望．[錯解]設(shè)ξ表示產(chǎn)生故障的投影儀數(shù)量，Ai(i＝1,2,3)表示第i臺投影儀出現(xiàn)故障，則ξ的可能取值為1,2,3.又P(ξ＝1)＝P(A1)P(eq\x\to(A)2)P(eq\x\to(A)3)＝P1(1－P2)(1－P3)＝P1＋P1P2P3－P1P2－P1P3，P(ξ＝2)＝P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A)3)＝P1P2(1