紀博元用函數(shù)觀點看方程(組)與不等式

用函數(shù)觀點看方程（組）與不等式教學(xué)過程知點1一函與元次方由于任何一元一次方程都可以化為＋b＝0（a、b為數(shù)，）的形式，所以解一元一方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為，求相應(yīng)的自變量的值圖上這相當于已知直線y＝ax＋b，確定它與x軸交點的橫坐標的值。【例】利用函數(shù)圖像解出x（1－2＋；（2－3＋1；分：將方程化為ax＋＝0的形式再坐標系中畫函數(shù)＝＋的像，然后觀察出直線y＝ax＋b與軸的交點坐標，從而取定所求x值。圖【答）由－＝x＋4得2x－6由圖看出直線y＝－與x軸交點3，）所以x＝3（2由5x－37x，得－2x－＝0由圖看出直線y＝－－的交點為（2，）所以x＝－2圖【后悟利用函數(shù)圖像解一元一次程，一般需將方程變形為axb＝0的式，然后通過觀察直線y＝ax＋x軸交點坐標確定方程的解。【例】如圖3將個邊長為正方形紙片，剪成四個大小一樣的正方形，然后將其中的一個在按同樣的方法剪成四個正方形此循環(huán)下去察下列圖形和所給表格中的數(shù)據(jù)后回答問題：操作的次數(shù)正方形個數(shù)

25…71016…當所操作的次數(shù)為多少時，得到的正方形的個數(shù)為個圖/

【析可設(shè)未知數(shù)列方程解答?！敬鸾夥ǎ涸O(shè)經(jīng)過x次的操后能得到的正方形的個數(shù)為個，則依題意：3x＋1解得x＝8解法：設(shè)經(jīng)過x次作后，得到y(tǒng)個正方形，依題意得：y＝＋令y＝25則有＝，即－24由圖可看出直線y＝－與x軸的交點為，0x＝圖【法究雖然像這樣用一次函數(shù)圖像來解方程未必簡單是從函數(shù)的角度看問題能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系種函數(shù)的觀點認識問題的方法于續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很重要。知點2一函與元次等式由于任何一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為axb>0或ax＋b<0（常數(shù)a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)值大（?。r，求自變量相應(yīng)的取值范圍?！纠慨嫵龊瘮?shù)y＝＋圖像，利用圖像求：（1方程2x＋＝0的；（2不等式2x＋的集；（3當時求x的值范圍；（4當－時，求的值范圍；【析此題必須先畫出圖像根據(jù)圖像求解通過解方程或不等式也能得到準確案，但不符合題意要求，本題主要考察觀察函數(shù)圖像的能力?！敬鸷瘮?shù)＝2x＋一次函數(shù)，取點x

12y

1連結(jié)A，1（2，0兩點，如圖，直線AB就是函數(shù)y＝2x圖像。圖1（1直線與x軸交點是B（，）/

1從圖像可以看出當x＝－2時y＝＋＝1－就方程2x1解。（2從圖像上可以看到，射線BA在軸的上方，它上面的點的縱坐標都不小于零，即y＝2x1射線BA上的橫坐標滿足x，不等式2x＋解集是

x

12（3過點，3）引平行于x軸直線線AB于C，的標為（1，線CC點縱坐標y均于3直線下方的點的縱坐標y均于3射線CD上的橫坐標滿足xy

時，x的取值范圍為x（4過（，－3）點作平行于x軸直線，交直線于D（－2，－3從圖像中可見，線段DC上的點的縱坐標滿足

，而橫坐標滿足

x

。【后悟本例（）可將＝＋代入

y3,3

中求相應(yīng)的x的值與取值范圍這事實說明當定函數(shù)值的一個取值范圍求相應(yīng)的自變量的取值范圍時，實質(zhì)就是解不等式。知點3一函與元次程（）一般地，每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線，從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這個函數(shù)值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標?！纠坷煤瘮?shù)圖像解方程組

y2

【析由于二元一次方程的解可以看作是y關(guān)一次函數(shù)圖像上的點的坐標以方程組的解為兩個一次函數(shù)圖像的交點坐標而可通過畫出兩個一次函數(shù)圖像圖上觀察出交點坐標，得到方程組的解。【答由x＋2y＝－3得

1yx22

；由－＝－

2x

在同一直角坐標系內(nèi)作出一次函數(shù)所示：

y

1x2的像l1和y＝2x＋1的像l如圖觀察圖像

ll12

的交點為P（－1－）.所以方程組

xy

的解是

xy

。/

llllllll【法巧準確地將方程整理為函數(shù)解析式是基礎(chǔ)兩點確定直線的方法一次函數(shù)圖像，方程組的解直觀地體現(xiàn)在圖像上是關(guān)鍵?！绢愂健繄D所示直

l、l

在直角坐標系內(nèi)的交點坐標（2（0，）的橫、縱坐標可看作是怎樣的方程組的解中x、y的？【析用待定系數(shù)法求出直線

l、l

的函數(shù)解析式，即可知道是怎樣的方程組。【答如圖所示1經(jīng)過點02和，02經(jīng)點0，）和（，0而由一次函數(shù)解析式的求解方法得解析式為y＝－x＋2，的解析式為

2y2.3

所以（02）的橫、縱坐標可看作方程組

xyxy

的解中x、y的。【類式】一次函數(shù)＝x＋與別為、A.試ABC的積。

的交點為，它們與x軸交點分【析由于方程組的解與一次函數(shù)交點的坐標只是形式上不同質(zhì)上是一樣的故可以由二元一次方程組的解來確定兩個一次函數(shù)交點坐標，再結(jié)合三角形的性質(zhì)可求出

ABC的積。【答點坐標為方程組

y1yx2

的解，解得

xy/

yyyyyyyyyyy如圖所示，一次函數(shù)

1x2

與x軸于A（，0線y＝x＋1與x軸交于B（－，所以AB4－（－）＝，過點PC⊥AB于C，＝＝5.所以

APB

1AB22【例】某中學(xué)的校長準備在暑假帶領(lǐng)該校的一些“市級三好學(xué)生”去北京旅游。甲旅行社說果長買全票一張，則其余學(xué)生可享受半價優(yōu)惠旅行社說括長在內(nèi)，全體人員均按全票的6折惠蘇州到北京的全票單價為1000元（1設(shè)學(xué)生人數(shù)x人甲行社收費為

甲

元，乙旅行社收費為

乙

元，分別寫出兩家旅行社的收費表達式；（2就學(xué)生人數(shù)x，討論哪家旅行社更優(yōu)惠【析先求出

甲與乙的表達，在分別令

甲＝乙，

甲

<

乙

，

甲>乙三情況討論甲、乙兩旅行社哪家更優(yōu)惠。【答1

甲

＝1000，＝600x＋1中x是整數(shù)。（2令甲＝乙，＋＝600＋得x＝令

乙

，得＋（＋1得x>4.令乙，1000（x＋1得x<4.答：若學(xué)生人數(shù)為4人兩家優(yōu)惠程度相同；若學(xué)生人數(shù)超過，甲旅行社更優(yōu)惠；若學(xué)生人數(shù)不足4人乙旅行社更優(yōu)惠。【模擬題】、直線y＝kx＋與x軸交于點（3）則k的值為；、在y＝kx中當＝時y＝－1，則當x＝－1，y；、已知y＝－mx＋圖像經(jīng)過點A－，3（9點橫坐標被墨水污染了，被污染處是；、如果y＝2x－3那么當x時，y>0；x時，；、已知直線、已知直線＝；

y12y12

交于點A則點A的坐標為；，當x時；，；x時，

/

33x