山東省滕州市第一中學(xué)20152016學(xué)年高二數(shù)學(xué)競賽試題(含解析)

山東省滕州市第一中學(xué)2015-2016學(xué)年高二數(shù)學(xué)4月比賽試題（含解析）一、解答題1.求的值.【答案】2.【分析】試題剖析：利用題意聯(lián)合所給三角函數(shù)式的特點結(jié)構(gòu)兩角和差正余弦公式計算可得三角函數(shù)式的值為2.試題分析：原式2.在棱長為1的正四周體中，和分別是和的中點，求異面直線和之間的距離.【答案】.【分析】試題剖析：將異面直線之間的距離轉(zhuǎn)變?yōu)榫€面距離，而后利用體積相等聯(lián)合題意可得異面直線間的距離是.試題分析：連結(jié)，取中點，連結(jié)，則，∴平面，∴異面直線就是到平面之間的距離，在中，，，

和之和的距離，

，∴

，由

，因此

.3.設(shè)的三邊長分別為，面積為，證明：.【答案】證明看法析.【分析】試題剖析：.........試題分析：4.1979年，李政道博士給中國科技大學(xué)少年班出過一道智趣題：5只猴子分一堆桃子，怎么也不可以分紅5等份，只能先去睡覺，準備次日再分，夜里1只猴子偷偷爬起來，先吃掉一個桃子，而后將其分紅5等份，藏起自己的一份就去睡覺了；第2只猴子又爬起來，將節(jié)余的桃子吃掉一個后，也將桃子分紅5等份；藏起自己的一份睡覺去了；此后的3只猴子都先后照此辦理，問：最先起碼有多少個桃子？最后起碼剩下多少個桃子？【答案】最先起碼有桃子個，進而最后起碼剩下個.【分析】試題剖析：將原問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)列的遞推關(guān)系的題目，而后聯(lián)合遞推關(guān)系式議論可得最先起碼有桃子個，進而最后起碼剩下個.試題分析：若是我們設(shè)最先有個桃子，猴子每次分剩下的桃子挨次為，獲得一個數(shù)列，依題意，可知數(shù)列的遞推公式：，即，整理變形，得.故是以為公比的等比數(shù)列，因此，欲使，應(yīng)有，故最先起碼有桃子個，進而最后起碼剩下個.5.過橢圓的右焦點的直線與圓相切于點，并與-2-橢圓交于不一樣的兩點，若，證明：橢圓的離心率為.【答案】證明看法析.【分析】試題剖析：設(shè)出PQ的方程，與橢圓方程聯(lián)立，聯(lián)合韋達定理整理計算獲得橢圓中a,b的齊次式，而后求解離心率即可.試題分析：設(shè)點，直線方程為，則由，得因此，，因直線與直線垂直，故有，得又直線與圓相切，因此因此，進而由，得點因點在圓上，因此有化簡，得即再進一步利用韋達定理整理上式消去，得進而，故有.點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；-3-6.設(shè)為三角形中的三邊長，且，求證：.【答案】證明看法析.【分析】試題剖析：結(jié)構(gòu)三元函數(shù)，將其整理變形為，聯(lián)合三角形的特點和均值不等式的結(jié)論即可證得最后結(jié)果.試題分析：記，則又為的三邊長，因此，，，因此.另一方面，因為，因此，又因此不如設(shè)，且為的三邊長，因此.令，則-4-因此進而當且僅當時取等號.7.已知橢圓過點，兩個焦點為.（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓上的兩個動點，①假如直線的斜率與的斜率之和為2，證明：直線恒過定點.【答案】(1)；(2)證明看法析.【分析】試題剖析：由題意獲得a,b的值即可確立橢圓方程；(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，聯(lián)合韋達定理分類議論即可證得題中的結(jié)論.試題分析：（1）由題意可得：，則橢圓的方程為（2）設(shè)，直線方程為，，得：由韋達定理：，，由題意可知，即∴即-5-∴或當時，直線方程恒過定點當時，直線方程恒過定點與點重合，不合題意舍去，綜上所述，直線恒過定點.點睛：(1)解答直線與橢圓的題目時，經(jīng)常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)成立一元二次方程，而后借