非線性系統(tǒng)的分析相平面

關(guān)于非線性系統(tǒng)的分析相平面第1頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1.相平面:以和為橫軸和縱軸構(gòu)成的坐標(biāo)平面.2.相點:相平面上任一點3.相軌跡:對二階系統(tǒng)來講，從某一初始狀態(tài)出發(fā)，以時間t為參變量，便可畫出一條連續(xù)變化的相軌跡。第2頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日xx(x,,x)

持續(xù)振蕩4.相軌跡特點:⑴與初始點(狀態(tài))密切相關(guān).⑵可以不直接求出微分方程而獲得系統(tǒng)所有運動狀態(tài).5.相軌跡判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性第3頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日二、相平面圖繪制方法1.解析法:適用于微分方程簡單(二階)或可分段線性化.設(shè)二階系統(tǒng)(*)若令則直接積分,便解出相軌跡方程并由此畫出相軌跡。第4頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日整理上式并積分其中

上式表示一族封閉橢圓，說明:ξ=0時的狀態(tài)為臨界穩(wěn)定，但實際中不存在，將隨時間不是發(fā)散就是收斂。例：如無阻尼二階系統(tǒng)令則，設(shè)初始條件為第5頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日等傾線方程⒉圖解法之一：等傾線法

它多用于解析法中求解微分方程困難的情況。若令二階微分方程令滿足相軌跡上的切線斜率為a第6頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日⑴畫圖原理：據(jù)不同的斜率a可畫出等斜線方向場（分布）可證明不同a不相交，則對確定初始點沿等斜率切線變化規(guī)律唯一。這樣便可畫出相軌跡（近似）⑵畫圖步驟：ii.作等傾線分布圖iii.從初始點出發(fā),沿相鄰等傾線間的平均斜率依次作短直線便可畫得。i.求出等傾線方程相軌跡必然以a的斜率經(jīng)過等斜線。第7頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日說明：等傾線未必都是直線，另外，為保證精度，等傾線分布要有適當(dāng)密度，密度可不一樣。例如令等斜線方程:等斜線分布圖.相軌跡A點直線段交=－1.2線于B.11.122.111-=--=-=A,過點第8頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日第9頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日三.相軌跡和相平面圖的性質(zhì)1)相軌跡的斜率若相軌跡上任意一點的斜率為，則2)相軌跡的對稱性按照圖形對稱的條件，關(guān)于橫軸或縱軸對稱的曲線，其對稱點處的斜率大小相等，符號相反；關(guān)于原點對稱的曲線，其對稱點處斜率大小相等，符號相同。a第10頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日則相軌跡關(guān)于對稱(左右對稱)。則相軌跡關(guān)于對稱(上下對稱)。則相軌跡關(guān)于原點對稱。

的點稱為奇點。設(shè)二階系統(tǒng)的平衡點在原點，即f(0,0)=0，則原點也是奇點。又設(shè)在原點附近展成臺勞級數(shù)3)相平面圖的奇點奇點：相平面上同時滿足第11頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日高階無窮小量可以省略，得到則該線性化系統(tǒng)的奇點的性質(zhì)取決于特征根在復(fù)平面上的位置。設(shè)特征根為，根據(jù)在復(fù)平面的位置，可以有以下幾種情況：第12頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日①一對具有負(fù)實部的共軛復(fù)根每條相軌跡都以震蕩方式無限地“卷向”平衡點，這種類型的奇點稱為穩(wěn)定焦點。②一對具有正實部的共軛復(fù)根每條相軌跡都以震蕩方式“卷離”平衡點，這種類型的奇點稱為不穩(wěn)定焦點。第13頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日③特征根為兩個負(fù)實根對應(yīng)的相軌跡以非震蕩方式趨聚于平衡點。這種類型的奇點稱為穩(wěn)定節(jié)點。第14頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日④特征根為兩個正實根對應(yīng)的相軌跡以非震蕩方式從平衡點散出。這種類型的奇點稱為不穩(wěn)定節(jié)點。⑤特征根為一對共軛純虛根，系統(tǒng)處于無阻尼運動狀態(tài)，系統(tǒng)的相軌跡是圍繞平衡點的一組封閉曲線。這種奇點稱為中心點。第15頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日⑥特征根為兩個符號相反的實根。此時每條相軌跡都是先趨近平衡點，隨后在尚未達(dá)到平衡點之前又遠(yuǎn)離平衡點而去，只有4條孤立的相軌跡除外，其中兩條趨于平衡點，另兩條從平衡點散出，這時奇點稱為鞍點。第16頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日

在非線性系統(tǒng)的相軌跡中，可能會存在特殊的相軌跡，將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區(qū)域，這種特殊的相軌跡就稱為奇線。

極限環(huán)就是最常見的一種奇線，它是相平面上一條孤立的封閉相軌跡，而且附近的其他相軌跡都無限地趨向或者離開它。

極限環(huán)作為一條相軌跡來說，既不存在平衡點，也不趨向無窮遠(yuǎn)，而是一個無首無尾的封閉環(huán)圈。4）極限環(huán)第17頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日

如果起始于極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡最終都趨于極限環(huán)上，則該極限環(huán)稱為穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖(a)所示。當(dāng)系統(tǒng)受到小擾動的作用而偏離極限環(huán)時，經(jīng)過一段時間后，系統(tǒng)的狀態(tài)又能回到極限環(huán)上。

因此，穩(wěn)定的極限環(huán)上系統(tǒng)就表現(xiàn)為自激振蕩。極限環(huán)橫向與縱向的最大值分別對應(yīng)自激振蕩的振幅與最大變化率。①穩(wěn)定的極限環(huán)第18頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日

如圖(b)所示。起始于極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡，最終都卷離極限環(huán)。當(dāng)系統(tǒng)受到很小的擾動而偏離極限環(huán)時，系統(tǒng)狀態(tài)再也不會回到極限環(huán)上來，因此稱為不穩(wěn)定的極限環(huán)。②不穩(wěn)定的極限環(huán)第19頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日③半穩(wěn)定的極限環(huán)如果極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡，一側(cè)是卷向極限環(huán)，而另一側(cè)卷離極限環(huán)，則該極限環(huán)稱為半穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖(c)與圖(d)所示。

對于圖(c)所示的系統(tǒng)顯然是一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)，設(shè)計系統(tǒng)時應(yīng)設(shè)法避免；而圖(d)所示的系統(tǒng)則同不穩(wěn)定的極限環(huán)一樣，應(yīng)使它的尺寸盡可能的大。第20頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日5）由相軌跡求時間增量當(dāng)相軌跡在x

方向移動一個增量時，如果在區(qū)間的變化不很劇烈，則可以把該區(qū)間內(nèi)的平均值近似當(dāng)成x

在此區(qū)間內(nèi)勻速變化的速度。這樣就可以用下式近似求出該區(qū)間對應(yīng)的時間增量。第21頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日三．線性系統(tǒng)的相平面分析一階線性系統(tǒng)自由運動微分方程為相軌跡方程為設(shè)系統(tǒng)初始條件為，則相軌跡圖下圖所示第22頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日第23頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日二階線性系統(tǒng)自由運動微分方程為當(dāng)b>0時，上述方程可表示為特征根為相軌跡微分方程為第24頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日令得到等傾線方程當(dāng)a2-4b>0，且b≠0時，可得滿足k=a的兩條特殊的等傾線，其斜率為該式表明，特殊的等傾線斜率等于位于該等傾線上相軌跡任一點的切線斜率，即當(dāng)相軌跡運動至特殊的等傾線上時，將沿著等傾線收斂或發(fā)散，而不會第25頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日脫離該等傾線。下面就線性二階微分方程參數(shù)b<0,b=0和b>0的三種不同情況具體討論，其相軌跡采用等傾線法或解析法繪制。①b<0。系統(tǒng)特征根s1，s2為符號相反的互異實根，相平面圖如下。第26頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日由圖可知，圖中兩條特殊的等傾線是相軌跡，也是其他相軌跡的漸近線。當(dāng)初始條件位于對應(yīng)的相軌跡上時，系統(tǒng)的運動將趨于原點，但只要受到微小擾動，運動將偏離該軌跡，并沿著相軌跡方向發(fā)散。因此b<0時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第27頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日②b=0。系統(tǒng)特征根s1=0，s2=-a相軌跡方程為兩邊積分可得相軌跡方程相平面圖如下所示，相軌跡為過初始點斜率為-a的直線。當(dāng)a>0時，相軌跡收斂并最終停止在c軸上；a<0時，相軌跡發(fā)散。第28頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日第29頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日③b>0。由前面可知當(dāng)b>0時，方程可以表示為可得根據(jù)的選取，可以分為以下幾種情況：第30頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日●設(shè)系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個具有負(fù)實部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)穩(wěn)定，過渡過程呈衰減震蕩形式。其等傾線方程為第31頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日第32頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日●特征根為兩個不相等的負(fù)實根，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為非震蕩衰減形式，存在兩條特殊的等傾線，其斜率為相平面圖如下圖所示。當(dāng)相軌跡初始點落在兩條特殊等傾線上時，相軌跡沿該直線趨于原點；除此之外，相軌跡最終將沿著的方向趨于原點。第33頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日第34頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日●系統(tǒng)特征根為兩個相等的負(fù)實根。取其相平面圖如下。與相比，相軌跡的特殊等傾線蛻化為一條。第35頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日●系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個共軛虛根，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，過渡過程為等幅震蕩。改寫系統(tǒng)方程為積分后得到相軌跡方程為第36頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日第37頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日●設(shè)系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個具有正實部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，過渡過程震蕩發(fā)散。等傾線為第38頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日第39頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日●設(shè)系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個不相等的正實根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，過渡過程為非周期發(fā)散。等傾線方程為第40頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日第41頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日●系統(tǒng)特征根為兩個相同的正實根，存在一條特殊的等傾線，系統(tǒng)相軌跡發(fā)散，相平面圖如下圖所示。第42頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日1）分段列寫非線性系統(tǒng)微分方程2）在相平面上確定每一個微分方程所在區(qū)域及開關(guān)線。3）按照線性系統(tǒng)相軌跡的作法，分段求解相軌跡方程。4）在開關(guān)線上做好兩條相軌跡的鏈接。注意，下一條相軌跡的初始條件是上一條相軌跡的終止條件。四．非線性系統(tǒng)的相平面分析一般非線性系統(tǒng)利用分段線性微分方程來描述。第43頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日(1)具有死區(qū)特性的非線性控制系統(tǒng)第44頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日取作為狀態(tài)變量，因為，第45頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日給定參數(shù)T=1,Kk=1，根據(jù)二階線性系統(tǒng)相軌跡分析結(jié)果，可得奇點類型區(qū)域I：奇點(-△，0)為穩(wěn)定焦點，相軌跡為向心螺旋線();區(qū)域II：奇點(x，0)，x∈(-△,△)為穩(wěn)定焦點，相軌跡沿直線收斂；區(qū)域I：奇點(△，0)為穩(wěn)定焦點，相軌跡為向心螺旋線();由零初始條件和得到e(0)=R,。相軌跡如下圖所示：第46頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日若用比例環(huán)節(jié)k=1代替死區(qū)特性，即無死區(qū)影響時，線性二階系統(tǒng)相軌跡如圖中虛線所示。可以比較出死區(qū)特性對系統(tǒng)運動的影響。第47頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日(2)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)圖中系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，且第48頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日下面分別研究系統(tǒng)在r(t)=R·1(t)和r(t)=V0

t作用下的相軌跡。1）r(t)=R·1(t)。

A

為常數(shù)第49頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日相軌跡方程為等傾線方程為為一簇平行于橫軸的直線，其斜率k

為零。當(dāng)a=0得，即為特殊的等傾線(k=a=0)。對于線性區(qū)域的奇點，求得為原點，且其特征根為負(fù)實部共軛復(fù)根，所以奇點是穩(wěn)定焦點。由初始條件可知，e(0)=R，。取R=2，繪制相軌跡如圖所示。第50頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日第51頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日2）r(t)=V0(t)。在線性區(qū)間，奇點為穩(wěn)定能夠的焦點。負(fù)飽和區(qū)和正飽和區(qū)內(nèi)漸近線分別為第52頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日當(dāng)V0=1.2>KM0時，線性區(qū)內(nèi)相軌跡奇點(0.3,0)為穩(wěn)定焦點，且為虛奇點；飽和區(qū)內(nèi)漸近線都位于相平面的上半平面，相軌跡如下圖所示。第53頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日當(dāng)V0=0.4<KM0時，線性區(qū)內(nèi)相軌跡奇點(0.1,0)為穩(wěn)定焦點，且為實奇點；漸近線分別位于相平面的上下半平面，相軌跡收斂于(0.1,0)，系統(tǒng)地穩(wěn)態(tài)誤差為0.1，相軌跡如下圖所示。第54頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日當(dāng)V0=0.8=KM0時，線性區(qū)內(nèi)相軌跡奇點(0.2,0)為穩(wěn)定焦點，為實奇點，位于開關(guān)線e=e0上；正飽和區(qū)的線性微分方程為該區(qū)域內(nèi)相軌跡是斜率為-1/T的直線，橫軸上大于e0的各個點都是奇點，所以系統(tǒng)存在問題誤差。第55頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日第56頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日小結(jié)

本章介紹了非線性系統(tǒng)的兩種設(shè)計方法：描述函數(shù)法、相平面法。它們都是用工程作圖的方法分析解決問題。描述函數(shù)法把非線性特性基波傳遞關(guān)系做為它的替代公式，所以只適用于非線性程度較低和特性對稱的非線性元件，還要求線性部分具有良好的低通濾波器特性。描述函數(shù)法的核心是計算非線性特性的描述函數(shù)和它的負(fù)倒特性。由于描述函數(shù)是系統(tǒng)運動狀態(tài)做周期運動的描述，一般沒有考慮外界作用。所以用于分析穩(wěn)定性和自持振蕩，而不能得到系統(tǒng)的響應(yīng)。第57頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日§3-4Popov法

Popov法是一個關(guān)于單回路非線性控制系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定充分條件的頻率域判據(jù)。系統(tǒng)由定常線性部件和一個定常非線性部件組成的單回路反饋系統(tǒng)?？梢詰?yīng)用于高階系統(tǒng)，比相平面法優(yōu)越。是準(zhǔn)確判定穩(wěn)定性的方法，比描述函書法優(yōu)越?？梢姡琍opov法有很大的優(yōu)勢，而且計算簡單，適于工程應(yīng)用，但是應(yīng)用Popov法要滿足如下條件：第58頁，共64頁，2023年，2月20日，星期日Popov法適用于上圖所示的單回路反饋控制系統(tǒng)，定常非線性部件的非線性特性函數(shù)可具有任意