普通高中課程標準實驗教科書高中數(shù)學2.3等差數(shù)列的前n項和課件新人教A必修5

2.3等差數(shù)列的前n項和有一次，老師和高斯經(jīng)過建筑工地，建筑工地上放著一堆圓木，從上到下每層的數(shù)目分別為1，2，3，……，100.老師問：高斯，你知道共有多少根圓木嗎？問題就是：計算1＋2＋3＋…＋99＋100=？創(chuàng)設(shè)情景上頁下頁高斯的算法計算：1＋2＋3＋…＋99＋100高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組：第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組；第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組；第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，……每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了。高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運算，迅速準確得到了結(jié)果.首尾配對相加法中間的一組數(shù)是什么呢？下頁上頁n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋2＋1分析：這其實是求一個具體的等差數(shù)列前n項和.①②啟發(fā)倒序相加法上頁下頁探究高斯的算法妙處在哪里？這種方法能夠推廣到一般等差數(shù)列的前n項和嗎？上頁下頁合作探究已知等差數(shù)列｛an｝的首項為a1，項數(shù)是n，第n項為an，求前n項和Sn.如何才能將等式的右邊化簡？①②思考：還有別的推導方法嗎？上頁下頁已知等差數(shù)列｛an｝的首項為a1，項數(shù)是n，第n項為an，求前n項和Sn.＋＋＋…＋①②上頁下頁另解①+②得倒序相加法公式變形思考：比較這兩個公式，如何記憶？從哪些角度反映等差數(shù)列性質(zhì)？上頁下頁等差數(shù)列的前n項和的公式：含a1和d求和公式含a1和an公式記憶上頁公式應(yīng)用公式記憶對比：我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前n項和公式.na1anna1a1(n-1)d將圖形分割成一個平行四邊形和一個三角形.下頁返回公式應(yīng)用練一練上頁下頁例題講解

例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學實施“校校通”工程的通知》，某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網(wǎng)。據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元。為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元。那么，從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？分析：①找關(guān)鍵句；②求什么，如何求？上頁下頁解：依題意得，該市在“校校通”工程的經(jīng)費每年比上一年增加50萬元，所以每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1=500,d=50,n=10.那么，到2010年（n=10),投入的資金總額為答：從2001~2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.上頁下頁例題點評解決實際問題的步驟：（1）仔細閱讀題目，審清題意；（2）提取相關(guān)數(shù)學信息，建立數(shù)學模型（本題為等差數(shù)列模型）；（3）解決此數(shù)學模型所體現(xiàn)的數(shù)學問題（本題是根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進行求解）；（4）還原問題（回到實際問題中作答）。易錯方面：（1）審題不清（如：把前n項和與最后一項混淆）（2）項數(shù)……（3）忘記答或?qū)憜挝簧享撓马摾}講解例2、已知一個等差數(shù)列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？分析：方程思想和前n項和公式相結(jié)合解：由題意知：S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式得到還有其它方法嗎？方程思想上頁下頁一題多解例2、已知一個等差數(shù)列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？上頁下頁一題變式例2變式、已知一個等差數(shù)列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前30項和的公式嗎？【另解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可推得：

成等差數(shù)列

解得：前30項的和為2730.整體思想點評：

上述方法沒有列出方程求出具體的個別量，而是恰當?shù)剡\用數(shù)學中的整體思想來快速求出，要注意體會這種思想在數(shù)學中的運用.上頁下頁變式提高整體思想上頁下頁知識小結(jié)1．等差數(shù)列前n項和的公式；2．等差數(shù)列前n項和公式的推導方法——

3.公式的應(yīng)用；上頁下頁（兩個）倒序相加法(知三求一)例題講解當n>1時：①

當n=1時：

也滿足①式.上頁下頁變式訓練當n>1時：

①

當n=1時：

不滿足①式.點評：分類討論思想上頁下頁【深化探究】●

如果一個數(shù)列的前n項和為其中p、q、r為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公差是什么？（1）若r≠0，則這個數(shù)列一定不是等差數(shù)列.（2）若r＝0，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.結(jié)論：數(shù)列是等差數(shù)列等價于常數(shù)項為0的關(guān)于n的二次型函數(shù)上頁下頁例題講解【解析】由題意知，等差數(shù)列的公差為

于是，當n取與最接近的整數(shù)即7或8時，取最大值.函數(shù)思想還有其它方法嗎？上頁下頁例題講解從等差數(shù)列的通項公式出發(fā)來分析上頁下頁【本節(jié)小結(jié)】1.等差數(shù)列的前n項和公式3.推導等差數(shù)列前n項和公式方法：倒序相加法4.本節(jié)基本思想：方程思想函數(shù)思想分類討論思想整體思想上頁下頁作業(yè)1.課本P52頁練習22.課本P52頁習題2.3A組23.做好下面方面：熟記公式體會本節(jié)數(shù)學思想方法首頁下頁內(nèi)容總結(jié)2.3等差數(shù)列的前n項和。層的數(shù)目分別為1，2，3，。，100.老師問：。計算1＋2＋3＋。下頁。第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組。第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組。第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，。每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了。另解。公式變形。等差數(shù)列的前n項和的公式：。求和公式。對比：我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前n項和公式.。將圖形分割成一個平行四邊形和一個三角形.。公式應(yīng)用。例題講解。例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學實施“校校通”工程的通知》，某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網(wǎng)。為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增