新教材高中數(shù)學(xué)第7章三角函數(shù)3.1三角函數(shù)的周期性課件蘇教版必修第一冊

1.了解周期函數(shù)、最小正周期的概念.2.理解并掌握三角函數(shù)的周期,會(huì)求一些簡單的、常見的函數(shù)的周期.7.3

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)7.3.1

三角函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)的定義一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳.如果存在一個(gè)非零的常數(shù)T,使得對于任意的x∈A,都有x+T∈A,并且①

f(x+T)=f(x)

,那么函數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù),非零常數(shù)T叫作這個(gè)函數(shù)的周期.2.最小正周期對于一個(gè)周期函數(shù)f(x),如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期.1|周期函數(shù)1.三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx的最小正周期分別是②2π

、③2π

、④

π

.2.一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期為⑤

,函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期為⑥

.知識拓展1.一般地,如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=-f(x)(a為正常數(shù)),那么這個(gè)函數(shù)的

周期為2a.2.一般地,如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=

(a為正常數(shù)),那么這個(gè)函數(shù)的周期為2a.2|三角函數(shù)的最小正周期3.一般地,如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=-

(a為正常數(shù)),那么這個(gè)函數(shù)的周期為2a.4.一般地,如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=

(a為正常數(shù)),那么這個(gè)函數(shù)的周期為2a.1.若某函數(shù)的最小正周期為T,則kT(k∈Z,k≠0)也是該函數(shù)的周期.

(√)提示:根據(jù)函數(shù)周期性的定義,可得f(x+kT)=f(x+(k-1)T+T)=f(x+(k-1)T)=f(x+(k-2)T+T)=f(x+(k-2)T)=…=f(x+T)=f(x),k∈Z,k≠0,所以kT(k∈Z,k≠0)是該函數(shù)的周期.2.已知函數(shù)y=f(x),若f(1+2)=f(1),f(2+2)=f(2),則2是該函數(shù)的周期.

(

?)提示:函數(shù)的周期性是對整個(gè)定義域來說的,f(x)對定義域內(nèi)任意值都有f(x)=f(x+2)時(shí),2才是f(x)的周期.3.y=|sinx|的最小正周期是π.

(√)提示:函數(shù)y=sinx的最小正周期是2π,所以y=|sinx|的最小正周期是π.4.y=tan2x的最小正周期是π.

(

?)提示:y=tanωx的最小正周期是

,所以y=tan2x的最小正周期是

.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”.5.y=cos

的最小正周期是4π.

(√)1|求三角函數(shù)的最小正周期求三角函數(shù)的最小正周期,一般先通過恒等變形化為y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)或y=Atan(ωx+φ)的形式(其中A,ω,φ都是常數(shù)),再應(yīng)用公式T=

或T=

或T=

分別求解.若函數(shù)解析式不滿足使用周期公式的條件,則可結(jié)合周期函數(shù)的定義或函數(shù)圖象確定其周期.在函數(shù)①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos

2x+

,④y=tan

2x-

中,最小正周期為π的是

(A)A.①②③

B.①③④C.②④

D.①③解析

對于①,y=cos|2x|=cos2x,∴y=cos|2x|的最小正周期為

=π;對于②,∵y=cosx的最小正周期為2π,∴y=|cosx|的最小正周期為π;對于③,y=cos

的最小正周期為

=π;對于④,y=tan

的最小正周期為

.綜上,①②③的最小正周期為π.2|利用函數(shù)的周期性求值利用函數(shù)周期性求值的步驟(1)確定函數(shù)的周期;(2)根據(jù)f(x+kT)=f(x)(k∈Z且k≠0),把自變量x加上或減去周期的非零整數(shù)倍;(3)計(jì)算得出結(jié)果.已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx-β),其中α,β,a,b均為非零實(shí)數(shù),若f(2020)=-1,則f(2021)=

1

.解析

因?yàn)閥=sin(πx+α)和