新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1空間向量及其運(yùn)算1空間向量及其運(yùn)算第2課時(shí)空間向量的數(shù)量積學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE8第2課時(shí)空間向量的數(shù)量積課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.掌握空間向量的夾角的概念及表示方法.2.理解兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法及運(yùn)算規(guī)律.3.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的主要用途，能運(yùn)用數(shù)量積求向量的夾角和判斷向量垂直.1.數(shù)學(xué)抽象——能理解兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算規(guī)律.2.直觀想象——能根據(jù)圖形與數(shù)量積的定義計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算——能根據(jù)向量的數(shù)量積判定兩個(gè)向量垂直.自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一空間向量的夾角與垂直1.向量的夾角平面內(nèi)，給定兩個(gè)非零向量a,b，①任意在平面內(nèi)選定一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，則大小在[0,π]內(nèi)的2.向量的垂直如果?a,b?=π2，則稱向量a與要點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積1.數(shù)量積的定義平面內(nèi)，兩個(gè)非零向量a與b的數(shù)量積（也稱為內(nèi)積）定義為a?2.數(shù)量積的幾何意義兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義與④投影有關(guān)，如圖所示，過a的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別向b所在的直線作⑤垂線，即可得到向量a在向量b.上的投影a'，a與b的數(shù)量積等于a在b上的投影a'的數(shù)量與b的長(zhǎng)度的⑥乘積.特別地，a與單位向量e的數(shù)量積等于a在e上的投影a'3.向量在直線（或平面）上的投影一般地，給定空間向量a和空間中的直線l（或平面α），過a的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別作直線l（或平面α）的垂線，假設(shè)垂足為A,B，則向量AB稱為a在直線l（或平面α）_上的投影.4.數(shù)量積的性質(zhì)空間向量的數(shù)量積具有以下性質(zhì)：（1）a⊥（2）a?（3）|a（4）(λa（5）a?（6）(a自主思考1.若兩個(gè)向量的夾角為0或π，則這兩個(gè)向量分別是什么關(guān)系？答案：提示若兩個(gè)向量的夾角為0，則這兩個(gè)向量方向相同；若兩個(gè)向量的夾角為π，則這兩個(gè)向量的方向相反.2.若a∥b，a,b為非零向量，且a⊥答案：提示π23.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)還是一個(gè)向量？若是一個(gè)實(shí)數(shù)，其符號(hào)是由什么確定的？答案：提示兩個(gè)向量的數(shù)量積是-一個(gè)實(shí)數(shù)，其符號(hào)由cos?a,b?決定，即當(dāng)?a,b?是銳角時(shí)，a4.已知|a|=13,a答案：提示向量b在向量a方向上的投影的數(shù)量為a?5.若a在e上的投影a'的數(shù)量為1，且|a|=2，則a答案：提示60°名師點(diǎn)睛數(shù)量積運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)（1）數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律.若a、b、c(b≠0)為實(shí)數(shù)，則ab=bc?a=c；但對(duì)于向量不正確，即a?（2）數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律.數(shù)量積運(yùn)算只適合交換律、加乘分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不適合乘法結(jié)合律，即(a?b)?c不一定等于a?(b?c).這是因?yàn)?a（3）空間向量沒有除法運(yùn)算.對(duì)于三個(gè)不為零的實(shí)數(shù)a、b、c，若ab=c，則a=cb或b=ca；但對(duì)于向量a、b，若a?互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一空間向量的夾角自測(cè)自評(píng)1.如圖所示，已知四面體ABCD的每條棱長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F、G分別是棱AB、AD、DC的中點(diǎn)，求下列向量夾角的大小.（1）?AB,BA?；（2）（4）?BC,BD?；（5）答案：（1）?AB（2）因?yàn)镋F∥BD且方向相同，所以（3）因?yàn)镚F∥AC且方向相反，所以（4）因?yàn)椤鰾CD是等邊三角形，所以?BC（5）因?yàn)锳C與CD首尾相接，所以?AC（6）因?yàn)镚F∥CA，所以2.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，分別求向量AC與向量A'答案：連接BD，如圖，則在正方體ABCD-A'B'C'D所以?AC?AC?AC?AC?AC解題感悟找向量的夾角的關(guān)鍵是把兩向量平移到一個(gè)公共的起點(diǎn)，找到向量的夾角，再利用解三角形求角的大小，注意向量的夾角的范圍是[0,π探究點(diǎn)二數(shù)量積的計(jì)算精講精練例（1）已知向量e1,e2,e3A.15B.3C.-3D.5（2）已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，答案：（1）B解析：（1）由題意可知6a答案：（2）如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OO∵AO1在AC上的投影為AO∴|AO|=2取AB的中點(diǎn)E，連接O1易知O1E⊥AB，∴AO1又|AE|=12a變式若本例（2）的條件不變，求A1答案：因?yàn)?A1B所以A1解題感悟求數(shù)量積的兩種情況及方法（1）已知向量的模和夾角：利用a?（2）在幾何體中求空間向量的數(shù)量積：先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算律展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.遷移應(yīng)用1.（多選）設(shè)a,A.a2=|C.(a?答案：A;D解析：由數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律可知A、D正確；因?yàn)閍?ba2運(yùn)算后是實(shí)數(shù)，沒有2.三棱錐A-BCD中，AB=AC=AD=2，AB⊥AD，AB⊥A.0B.2C.-23D.答案：A解析：因?yàn)锳B⊥AD，所以AB?AD=探究點(diǎn)三數(shù)量積性質(zhì)的應(yīng)用精講精練類型1求向量的模例1如圖，把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，若點(diǎn)P滿足BP=BA-A.3B.4-2C.4D.答案：A解析：取BD的中點(diǎn)M，連接MC,MA，如下圖所示：則MC⊥BD，AM⊥BD，因?yàn)镸A∩MC=M，MA,MC?平面AMC，所以BD⊥平面AMC，所以AC⊥BD，所以CA?又由題意可知CM⊥平面ABD，AM?平面ABD，所以CM⊥AM，所以△AMC所以AC又BP=BA-BC+類型2求向量的夾角例2（2021山東濱州高二期中）已知空間向量a,b，|a|=1,|b|=2，且a-A.60°B.30°C.135答案：D解析：∵a-b與a垂直，∴(∴cos?a,b類型3解決垂直問題例3設(shè)e1,e2是互相垂直的單位向量，已知a=2e1A.-6B.6C.3D.-3答案：B解析：由a⊥b，得a?所以2k-12=0，所以k=6.解題感悟利用數(shù)量積的性質(zhì)可求空間向量的夾角、模以及解決與垂直有關(guān)的問題.（1）a⊥（2）cos?（3）|a遷移應(yīng)用1.已知a+b+c=A.30°B.C.60°答案：D解析：∵a+b+c=0∴cos2.在空間四邊形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=π3，求證：答案：證明如圖所示，因?yàn)镺A?BC=評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升課堂檢測(cè)1.（多選）對(duì)于向量a,b,A.若a?b=0，則B.若λa=0，則C.若a2=D.若a?b>0答案：B;C2.已知|a|=2,|b答案：613.已知正四面體DABC的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則EC?答案：1素養(yǎng)演練數(shù)學(xué)運(yùn)算——利用數(shù)量積求向量的夾角1.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C