新教材高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何2空間向量在立體幾何中的應用5空間中的距離第2課時點到平面直線到平面平面到平面的距離學案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE9第2課時點到平面、直線到平面、平面到平面的距離課標解讀課標要求素養(yǎng)要求1.理解點到平面的距離、直線到平面的距離和平面到平面的距離的概念.2.能靈活運用向量方法求點到平面的距離、直線到平面的距離和平面到平面的距離.1.數(shù)學抽象——能理解點到平面的距離、直線到平面的距離和平面到平面的距離的概念.2.數(shù)學運算——會利用空間向量求解三種距離.自主學習·必備知識教材研習教材原句要點一點到平面的距離1.點到平面的距離給定空間中一個平面α及α外一點A,過A可以作平面α的一條垂線段,這條垂線段的長稱為點A到平面α的距離.點到平面的距離也是這個點與平面內(nèi)點的①最短連線的長度.2.點到平面的距離的計算公式一般地,若A是平面α外一點,B是平面α內(nèi)一點,n是平面α的一個法向量,則點A到平面α的距離d=②|BA要點二相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離1.相關概念當直線與平面平行時,直線上任意一點到平面的距離稱為這條直線與這個平面之間的距離;當平面與平面平行時,一個平面內(nèi)③任意一點到另一個平面的距離稱為這兩個平行平面之間的距離.一般地,與兩個平行平面④同時垂直的直線,稱為這兩個平面的公垂線,公垂線夾在平行平面間的部分,稱為這兩個平面的公垂線段.顯然,兩個平行平面之間的距離也等于它們的公垂線段的長.2.計算公式如圖1所示,如果直線l與平面α平行,n是平面α的一個法向量,A,B分別是l上和α內(nèi)的點,則直線l與平面α之間的距離為d=⑤|BA如圖2所示,如果平面α與平面β平行,n是平面β的一個法向量（當然也是平面α的一個法向量）,A和B分別是平面α與平面β內(nèi)的點,則平面α與平面β之間的距離為d=⑥|BA自主思考1.棱長為2的正方體ABCD-A1B1C答案：提示2.2.當直線與平面平行時,直線上任意兩點到平面的距離相等嗎?答案：提示相等.3.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線答案：提示都是1.4.相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離有什么共同之處?答案：提示都是轉化為點到平面的距離求解名師點睛1.四種距離的關系2.點到平面的距離的三種求法（1）定義法：這是常規(guī)方法,首先過點向平面作垂線,確定垂足的位置,然后將該線段放到一個直角三角形中,最后通過解三角形求得點到平面的距離.（2）等體積法：把點到平面的距離視為一個三棱錐的高,利用三棱錐轉化底面求體積,從而求得點到平面的距離.（3）向量法：這是我們常用的方法,利用向量法求解點到平面的距離的優(yōu)點是不必經(jīng)過嚴密的邏輯推理,只需借助空間向量計算即可.互動探究·關鍵能力探究點一點到平面的距離精講精練例（2021北京平谷第五中學高二月考）已知四面體ABCD中,AB,BC,BD兩兩垂直,BC=BD=2,AB與平面ACD所成角的正切值為12,則點BA.32B.233C.答案：D解析：以B為原點,BC,BD,BA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示：設BA=t,t>0,則B(0,0,0),C(2D(0,2所以AB=(0,0,-t),設平面ACD的一個法向量為n=(x,y,z)則n令x=1,得y=1,z=2t,故因為直線AB與平面ACD所成角的正切值為12,所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為5即|AB?n所以平面ACD的一個法向量為n=(1,1,22),故B到平面解題感悟利用向量求點到平面的距離的一般步驟：（1）建立空間直角坐標系.（2）求出該平面的一個法向量.（3）找出該點與平面內(nèi)一點連線形成的斜線段對應的向量.（4）法向量與斜線段對應向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模,即為點到平面的距離.遷移應用1.已知平面α的一個法向量為n=(2,2,1),點A(-1,3,0)在平面α內(nèi),則點P(2,1,3)到平面αA.53B.43答案：A解析：由題意知PA=(-3,2,-3),則點P到平面α的距離d=2.（2021山東省實驗中學高二期末）如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C（1）求證：MN//平面ADD（2）求C到平面A1答案：（1）證明：分別取DD1和AD的中點E,F,連接則EM∥DC且EM=12DC,FN∥DC所以EM∥FN,且EM=FN,所以四邊形EMNF是平行四邊形,所以EF∥MN,又EF?平面ADD1所以MN∥平面ADD（2）以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系則D(0,0,0),A(6,0,0),C(0,4,0),D因為M,N分別是DC所以M(0,2,1),N(3,2,0),所以A1設平面A1MN的一個法向量為n令z=3,則x=1,y=9所以n=(1,設C到平面A1MN的距離為d,則探究點二直線到平面的距離精講精練例在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面為直角梯形,AB∥CD且答案：以D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系則A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,3,1),C(0,3,0).過點C作AB的垂線交∴B(1,23設平面ABE的一個法向量為n=(x,y,z)則n?AB→=0,n∵AA1=(0,0,2),∴直線A1解題感悟（1）求直線到平面的距離可以轉化為求直線上任意一點到平面的距離,利用求點到平面的距離的方法求解即可.（2）選擇直線上任意一點時,一般選取相關線段的端點或已知的其他的點.遷移應用1.如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1DA.5B.13C.6013答案：C解析：∵B1C1∥BC,且B1從而點B1到平面A以D為坐標原點,DA,DC,DD1的方向分別為則C(0,12,0),D1(0,0,5),設B(x,12,0)(x＞0),則B1(x,12,5),則由n⊥BC,n?令c=12,則b=5,∴n=(0,5,12)為平面又B1B=(0,0,-5),∴點B1到平面探究點三平面到平面的距離精講精練例已知正方體ABCD-A1B1C答案：以D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系則D(0,0,0),AD1(0,0,1),則設平面A1BD的一個法向量為n＝(x,y,z),則令z=1,得y=1,x=-1,∴n∴點D1到平面A1BD∵平面A1BD與平面B1CD∴平面A1BD與平面B1解題感悟（1）求兩個平行平面間的距離可以轉化為求點到平面的距離,利用求點到平面的距離的方法求解即可;（2）求空間的各種距離的關鍵點是合理轉化和準確計算.遷移應用1.（2020山東濟南高二檢測）如圖,在棱長為2的正方體ACBD-A1C1B（1）證明：AB∥平面A1（2）若點M是AB的中點,求二面角M-A（3）判斷點M到平面A1答案：（1）證明：∵在正方體ACBD-A1C1B1D1中,（2）∵在正方體ACBD-A1C1B1D則M(1,1,0),A1(0,2,2),B1(2,0,2),C(0,0,0),∴MA1=(-1,1,2)取x1=1,同理n2?CA1∴cos?n1,∴二面角M-A1B（3）由（1）知AB∥平面A1B1C且M在AB上,∴點M到平面A1B1C的距離等于AB上任意一點到平面A1B1C的距離,取點M為AB的中點,由（2）知,平面A1B1評價檢測·素養(yǎng)提升1.已知正方體ABCD-A1B1CA.2B.2C.22D.答案：A2.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,A.12