初中數(shù)學(xué)50種幾何模型相交線與平行線

初中數(shù)學(xué)50種幾何模型（七年級(jí)下學(xué)期部分）二、相交線與平行線§1.三線八角圖知識(shí)鏈接如圖，兩直線被第三條直線所截，所成8個(gè)角中，有4對(duì)同位角/1和N5,N2和N6,N3

和N7,N4和N8；2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角N3和N5,N4和N6；2對(duì)同旁內(nèi)角/3和N6,N4和N6.典例講解：TOC\o"1-5"\h\z例1.如圖，直線a、b與直線c、d相交.N1的內(nèi)錯(cuò)角是 ,zi的同旁內(nèi)角是 . /I模型秒殺：N1由直線a、c相交而成，分兩種情況討論： -4 : “①若a為截線，截c得Z1,內(nèi)錯(cuò)角考慮?”字型：（如圖1）了截d得Z2；同旁內(nèi)角考慮“1”字型：（如圖2）截d得Z3；亡 〃②若c為截線，截a得Z1,內(nèi)錯(cuò)角考慮‘2"字型：（如圖3）截b得Z5；同旁內(nèi)角考慮‘（”字型：（如圖4）截b字型：（如圖4）截b得Z4.圖1初中數(shù)學(xué)50種幾何模型（七年級(jí)下學(xué)期部分）注意：尋找同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角時(shí)，關(guān)鍵是要分解出圖形中的相應(yīng)的三線八角模型圖，尋找相應(yīng)的三線八角圖的關(guān)鍵是要確定截線和被截線要排除直線多于3條、兩條被截直線相交引起的干擾，一般以截線為分類討論標(biāo)準(zhǔn)不容易引起混淆（分類不重不漏）.同步反饋1.如圖，N4與是同位角，與是內(nèi)錯(cuò)角，與是同旁內(nèi)角.例2.如圖，有 對(duì)同位角， 對(duì)內(nèi)錯(cuò)角， 對(duì)同旁內(nèi)角.解：（以截線為標(biāo)準(zhǔn)）分三種情況討論：①直線a截b和c（5例2.如圖，有 對(duì)同位角， 對(duì)內(nèi)錯(cuò)角， 對(duì)同旁內(nèi)角.解：（以截線為標(biāo)準(zhǔn)）分三種情況討論：①直線a截b和c（5個(gè)角），有1對(duì)同位角：/7和N9；1對(duì)內(nèi)錯(cuò)角：/5和N9；1對(duì)同旁內(nèi)角：/8和N9；②直線b截a和c（5個(gè)角），有1對(duì)同位角：/2和N9；1對(duì)內(nèi)錯(cuò)角：/4和N9；1對(duì)同旁內(nèi)角：/1和N9；7③直線c截a和b（完整的8個(gè)角），有4對(duì)同位角；2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角；2對(duì)同旁內(nèi)角.由以上討論可知：共有6對(duì)同位角，4對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，4對(duì)同旁內(nèi)角.同步反饋2.如圖，與NC是同旁內(nèi)角的角有哪幾個(gè)?B拓展延伸.如圖，若兩條平行線EF、MN與直線AB、CD相交，錯(cuò)角和同旁內(nèi)角.初中數(shù)學(xué)50種幾何模型（七年級(jí)下學(xué)期部分）§2.兩平行線間的拐點(diǎn)問題（1）知識(shí)鏈接1、平行線的判定：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；VZ1=Z2,:.a〃b.平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.:a//b,???N1=N2.2、如圖直線AE/DF,左半邊ABOCD象只“豬蹄”，從而我們有以下模型：豬蹄模型（口訣：蹄窩窩是兩蹄尖尖的窩）如圖1,若AB/CD,則NBOC=NB+NC.證明：過點(diǎn)O作EF/AB（如圖2）,??NBOF=NB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.VAB/CD,EF〃AB（E知），.??E￡〃CD（平行公理），??NCOF=NC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.AZBOC=ZBOF+ZCOF=ZB+ZC.反過來，若NBOC=NB+NC,則AB/CD.證明：過點(diǎn)O作EF/AB（如圖2）,???NBOF=NB（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.AZBOC=ZBOF+ZCOF=ZB+ZCOF.XVZBOC=ZB+ZC,AZCOF=ZC.?.EE〃.CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.??AB/CD（平行公理）.注意:蹄窩窩是兩蹄尖尖的窩，即蹄窩窩NBOC=兩蹄尖尖的和NB+NC.選填題可用口訣秒殺，但解答題必須一步一步進(jìn)行推導(dǎo)，寫題過程參考上述兩種情況典例講解：例1.如圖，是我們生活中經(jīng)常接觸的小刀，刀片的外形是一個(gè)直角梯形，刀片上、下是平行的，轉(zhuǎn)動(dòng)刀片時(shí)會(huì)形成N1和N2,則N1+N2=.模型識(shí)別：N1、N2組成的圖形（如圖3）為豬蹄模型.模型秒殺：Z1+Z2=ZBOC=9G°.同步反饋1.如圖4,在平行線11、12之間放置一塊直角三角板，三角板的銳角頂點(diǎn)A、B分別在直線11、12上，若21=65°,則N2=.同步反饋2.把一副三角板在水平桌面上如圖5擺放，使兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合，兩條斜邊平行，則21==.

初中數(shù)學(xué)50種幾何模型（七年級(jí)下學(xué)期部分）例2.如圖，NBCD=90°,AB〃DE,試探索N1與N2的數(shù)量關(guān)系.想題：題中有我們熟悉的豬蹄模型ABCDE,NABC+N2=NBCD=90°,利用NABC=180°-N1得解.寫題如下：解：過點(diǎn)C作CH〃AB（如圖2）,??NABC:NBCH（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.「AB〃DE,CH〃AB（E知），???DE〃CH（平行公理），?.N2=NDCH（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）..\ZABC+Z2=ZBCH+ZDCH=ZBCD=90°.XVZABC=180°-Z1,A180°-N1+N2=90°.即N1-N2=90°.變式1.如圖，玲玲在美術(shù)課上用絲線繡成了一個(gè)“2”，AB〃DE,求NE的度數(shù).想題：題中延長DE至F可得豬蹄模型BACEF.拓展延伸1.如圖，HD〃GE,GB平分NGCF,AF平分NBAHNAFC的余角等于2NABC的補(bǔ)角，求NBAH的度數(shù).想題：圖中兩個(gè)豬蹄模型：HABCG和HAFCG.寫題如下：解：設(shè)NHAF二a,NGCB=B，：GB平分NGCF,.??NBAH=2NHAF=2a.同理，NGCF=20.作BP〃HD(如圖7)，則NABP=NBAH=2a.VHD#GE,BP#HD,ABP#GE.AZCBP=ZGCB=p.AZABC=ZABP+ZCBP=2a+p.同理，NAFC=a+20.由題設(shè)，90°-NAFC=180°-2NABC得2NABC-NAFC=90°,2(2a+B)《a+2B)=90O,解得a=30°,AZBAH=2a=60°.4EB拓展延伸2.如圖，AB〃CD,E、F分別在AB、CD上，且OELOF：廠.點(diǎn)F、G分別在CD、OE上，使OF、OE分別平分NCFG、NAEH,/\\TOC\o"1-5"\h\z求證：FG〃EH. q?想題：由豬蹄模型AEOFC：NAEO+NCFO=90°,易得： \NAEH+NCFG=180°,NAEH+NCHE=180°,從而NCFG二NCHE.「 ，出L寫題如下：解：延長EO交CD于點(diǎn)M(如圖8)VOEXOF,AZEOF=90°.VAB#CD,AZOMF=Z1,.??N1+N2=NOMF+N2=NEOF=90°.?.?FO,EO分別平分NCFG,NAEH,AZCFG=2Z2,NAEH=2N1..??NCFG+NAEH=2(N1+N2)=180°.XVZCHE+ZAEH=180°,..NCFG:NCHE..'?FG〃EH.

初中數(shù)學(xué)50種幾何模型（七年級(jí)下學(xué)期部分）§3.兩平行線間的拐點(diǎn)問題（2）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"知識(shí)鏈接 71、平行線的判定：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行； 〃???/1+N2=180°,:.a〃b. 十 平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).Va//b,.?.N1+N2=180°. ~2、如圖直線AE/DF,右半邊EBOCF就象“子彈頭”， 再從而我們有以下模型： J -7^ 子彈頭模型（右邊EBOCF為子彈頭模型，嵌進(jìn)豬蹄ABOCD）L 。F如圖1,若BE/CF,貝。NEBO+NBOC+NOCF=360o.證明：過點(diǎn)O作GH/BE（如圖2）,.\ZEBO+ZBOH=18G°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.VBE/CF,GH〃BE（E知），...GH/CF（平行公理），AZHOC+ZOCF=18G°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）..\ZEBO+ZBOH+ZHOC+ZOCF=36G°.即NEBO+NBOC+NOCF=36G°.反過來，若NEBO+NBOC+NOCF=36O°，則AB/CD.證明：過點(diǎn)O作GH/BE（如圖2）,.\ZEBO+ZBOH=18G°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.又VNEBO+NBOC+NOCF=36G°,即NEBO+NBOH+NHOC+NOCF=36G°,.?.NHOC+NOCF=18G°,???GH〃CF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）..BE/CF（平行公理）.典例講解： 匚 TOC\o"1-5"\h\z例1.如圖，a〃b,N1=1G5°,N2=14G°,則N3= .模型識(shí)別：N1、N2與N3的鄰補(bǔ)角構(gòu)成子彈頭模型. /模型秒殺：N1+N2+18G°-Z3=36G°. 32AAZ3=Z1+Z2-18G°=1G5°+14G°-18G°=65°. / 7 c o同步反饋1.一大門欄桿的平面示意圖如圖所示，BA垂直地面AE于卜/ 仃點(diǎn)A,CD平行于地面AE,若NBCD=15G°,則NABC二.例2.如圖，AB〃DE,N1=3G°,例2.如圖，AB〃DE,N1=3G°,則N2+N3=.模型識(shí)別1：考慮圖中有豬蹄模型ABCDE.模型秒殺1：Z2=Z1+ZCDE=Z1+18G°-Z3,AZ2+Z3=3G°+18G°=21G°.模型識(shí)別2：考慮圖中有子彈頭模型GBCDF.模型秒殺2：ZGBC+Z2+Z3=36G°,A18G°-Z1+Z2+Z3=36G°,AZ2+Z3=18Go+Z1=21G°.初中數(shù)學(xué)50種幾何模型（七年級(jí)下學(xué)期部分）同步反饋2.,如圖，AD〃CE,NB=100O,則N2-N1=. 且例3.如圖初中數(shù)學(xué)50種幾何模型（七年級(jí)下學(xué)期部分）同步反饋2.,如圖，AD〃CE,NB=100O,則N2-N1=. 且例3.如圖3,NABE+NCDE+NBED=360°,BF、DF分別平分NABE和NCDE.求證：2NBFD+NBED=360°.想題：由NABE+NCDE+NBED=360°可知ABEDC為子彈頭模型,可得AB〃CD,從而ABFDC為豬蹄模型：NBFD=NABF+NCDF.又由兩角分BF、DF,易得2NBFD+NBED=360°.寫題如下：解：（2）設(shè)NABF二a,NCDF邛.?「BF平分NABE,...NABE=2NABF=2a.同理NCDE=20.作GE〃AB(如圖4),則NABE+NBEG=180°.XVZABE+ZCDE+ZBED=360°,AZCDE+ZDEG=180°.AGE#CD.^FH〃AB〃CD,則NBFH=NABF二a,NDFH二NCDF=B..\ZBFD=ZBFH+ZDFH=a+p.又?「NBED=360°-ZABE-ZCDE=360°-2a-20...2ZBFD+ZBED=360°.同步反饋3.如圖，在五邊形ABCDE中，x的值為.模型識(shí)別：VZB+ZC=120°+60°=180°,.AB〃CD,從而有子彈頭模型CDEAB.模型秒殺：ZD+ZE+ZA=360°.想題：由2彈頭模型ABDEG：ZABD+ZBDE+ZDEG+ZEGH ,iB=180x(2+1)°=540°..180°-Z1+145°+180°-85°+180°-Z2=540°.寫題如下：HD解：分別過D、E兩點(diǎn)作DP〃EQ〃AC〃HF.HD初中數(shù)學(xué)50種幾何模型（七年級(jí)下學(xué)期部分）§4.兩平行線間的拐點(diǎn)問題（3）鋸齒模型（鋸齒模型（口訣：左角和=右角和）平行線間的拐點(diǎn)數(shù)01234左二右ZB=ZCZB+ZD=ZEZB+ZF=ZE+ZCZB+ZF+ZD=ZE+ZGZB+ZF+ZH=ZE+ZG+ZC注意：1、兩平行線間0個(gè)拐點(diǎn)即，”字型（內(nèi)錯(cuò)角）：,?,AB〃CD,，NC=NB.兩平行線間1個(gè)拐點(diǎn)即“豬蹄模型”：過拐點(diǎn)E向右作平行線得“2”字型可證.兩平行線間2個(gè)拐點(diǎn)：過拐點(diǎn)F向左作平行線得1個(gè)“豬蹄模型”和1個(gè)””字型可證.兩平行線間3個(gè)拐點(diǎn)：過拐點(diǎn)F向左作平行線得2個(gè)“豬蹄模型”可證.兩平行線間4個(gè)拐點(diǎn)：過拐點(diǎn)F、H分別向左作平行線得2個(gè)“豬蹄模型”和一個(gè)”"字型可證.ZF=90°,貝UNA+NC;E.BAEFCD就不是鋸齒模型,2、鋸齒模型必須是左右左右間隔地拉鋸，需與（含）多彈頭（角連續(xù)往一個(gè)方向走）模型區(qū)分開來.如圖AB〃CD,NE=120°,可以分別反向延長BA、DC,得2彈頭模型秒殺：180°-ZA+ZE+ZF+180°-ZC=180(2+1)°=540°,AZA+ZC=ZE+ZF-180°=120°+90°-180°=30ZF=90°,貝UNA+NC;E.BAEFCD就不是鋸齒模型,典例講解：TOC\o"1-5"\h\z例1.如圖，AB〃EF,NC=90°,z則x、y、z的數(shù)量關(guān)系是 .模型識(shí)別：NABCDEF為鋸齒模型.模型秒殺：/利用口訣“左角和二右角和"秒殺： NB+ND=NC+NE,即x+y=90°+z..\x+y-z=90°. 一XE F同步反饋1.如圖，直線AB〃CD,NEFA=NM=30°, FNG=90°,NCNP=50°,則NGHM二. B模型識(shí)別：NBFGHMND為鋸齒模型. 一-模型秒殺：/利用口訣“左角和二右角和"秒殺： yLj；ZBFG+ZGHM+ZMND=ZG+ZM.C/ND

初中數(shù)學(xué)50種幾何模型（七年級(jí)下學(xué)期部分）例2.(1)如圖1,已知/3=25°,/3￡0=80°,解：^EF#AB,AZ2=ZB=25°.AZ1=ZBED-Z2=80°-25°=55°.XVZD=55AZ1=ZD.???AB〃CD.ZD=55°,探究AB與CD有怎樣的位置關(guān)系.A BA B⑵如圖2,已知AB〃EF,試猜想NB、NFZD=55°,探究AB與CD有怎樣的位置關(guān)系.A BA B?「AB〃EF,CG〃AB,??.EF〃CG.AZ1=ZF.AZBCF=Z1+Z2=ZB+ZF.NBCF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.⑶如圖3,已知AB〃CD,試探究/NBCF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.⑶如圖3,已知AB〃CD,試探究/1、/2、解：過N3頂點(diǎn)E作EF〃AB,設(shè)N2、N4頂點(diǎn)「一】 勺】4分別為G、H,則由⑵可得： 32 f （1：？王Z2=Z1+ZFEG,Z4=Z5+ZFEH. 」 三一4’又???/FEG+NFEH=N3. 力;C工「（AZ2+Z4=Z1+Z3+Z5.拓展延伸.如圖，AB〃EF,NC=60°,求N1、N2、N3之間的數(shù)量關(guān)系.DDI)HF圖4已想題：由分別延長BA至G,FE至H（如圖4）,可得鋸齒模型拓展延伸.如圖，AB〃EF,NC=60°,求N1、N2、N3之間的數(shù)量關(guān)系.DDI)HF圖4已解：分別過C、D兩點(diǎn)作CP〃DQ〃AB〃EF..?.N1+NACP=180°,即NACP=180°-N1.①ZPCD=ZCDQ=Z3-ZQDE.② J?N2+NQDE=180°,即NQDE=180°-N2.③把③代入②：NPCD=N3+N2-180°.④'①+④：NACP+NPCD=N3+N2-N1.即N3+N2-N1=60°.同步反饋2.如圖，a〃b,N3=N4,N1=30°,求N2.當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域②時(shí)（如圖2）

當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域③時(shí)（如圖3）

當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域④時(shí)（如圖4）初中數(shù)學(xué)50種幾何模型（七年級(jí)下學(xué)期部分）§5.兩平行線間的拐點(diǎn)問題（4）知識(shí)鏈接1、①三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和等于180°.ZBAC+ZB+ZC=180°.又???NBAC+NDAC=180°,???NDAC=NB+NC.這是我們八年級(jí)TOC\o"1-5"\h\z上學(xué)期要學(xué)的“小旗模型”：旗腳=兩旗尖的和.即： 口 /②推論：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；NDAC=NB+NC.2、如圖，一顆斷子彈頭打進(jìn)了瘸豬蹄從而我們有以下模型：痛豬蹄①與斷子彈頭②，合稱 E、 工、斜拉模型（口訣：斜拉角=大折角-小折角）：皿〃8,則①NE=ND-NB； 注②NE=NB-ND. ①、 \ ②注意：1、斜拉角/E=\ZD-ZB, 5 宜 ） \ 2、選填題可用口訣秒殺，但解答題必須一步一步進(jìn)行推導(dǎo)，寫題過程可結(jié)合小旗模型與平行線的性質(zhì)或判定完成.典例講解：例1.如圖，F(xiàn)、E分別是矩形ABCD的邊AB、CD上的點(diǎn)，①②③④是射線FE與邊AB隔開的四個(gè)區(qū)域（不含邊界且③④均在AB下方）.p為四個(gè)區(qū)域中的點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出NPEB、NPFC、NEPF的數(shù)量關(guān)系. <F3圖1E笈圖2月想題：當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域①時(shí)（如圖1）,CFPEB為豬蹄模型；CFPEB為子彈頭模型；CFPEB為斜拉模型（瘸豬蹄）；CFPEB為斜拉模型（斷子彈頭）.解：當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域①時(shí)，NEPF=NPEB+NPFC；當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域②時(shí)，NEPF+NPEB+NPFC=360°；當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域③時(shí)，NEPF:NPFC-NPEB；當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域④