2022-2023學年山西省忻州市代縣八年級（上）期末數學試卷（含解析）

2022-2023學年山西省忻州市代縣八年級第一學期期末數學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．計算a2?a3的結果是（）A．a2 B．a3 C．a5 D．a62．為了直觀地表示世界七大洲的面積各占全球陸地面積的百分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是（）A．扇形統(tǒng)計圖 B．條形統(tǒng)計圖 C．折線統(tǒng)計圖 D．以上都可以3．已知一組數據：π，，0.1010010001，，，其中無理數出現的頻數是（）A．2 B．3 C．4 D．54．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．x2﹣x B．x2+2x﹣1 C．x2+y2 D．x2﹣15．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，則（）A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能確定6．在測量一個小口圓形容器的內徑時，小明用“X型轉動鉗”按如圖所示的方法進行測量，其中OA＝OD，OB＝OC，因此可得△AOB≌△DOC，從而測得AB的長，就可以得到圓形容器的內徑CD的長，其中判定△AOB≌△DOC的依據是（）A．SAS B．HL C．ASA D．SSS7．估計的值（）A．在6和7之間 B．在5和6之間 C．在4和5之間 D．在3和4之間8．關于原命題“如果a＝b，那么a2＝b2”和它的逆命題“如果a2＝b2，那么a＝b”，下列說法正確的是（）A．原命題是真命題，逆命題是假命題 B．原命題、逆命題都是真命題 C．原命題是假命題，逆命題是真命題 D．原命題，逆命題都是假命題9．如圖，在△ABC中，∠B＝54°，以點C為圓心，CA的長為半徑作弧交AB于點D，分別以點A和點D為圓心，大于AD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E，作直線CE，交AB于點F，則∠BCF的度數是（）A．54° B．36° C．27° D．18°10．公元前500年，畢達哥拉斯學派中的一名成員西伯索斯發(fā)現了無理數，導致了第一次數學危機．事實上，我國古代發(fā)現并闡述無理數的概念比西方更早，但是沒有系統(tǒng)的理論．《九章算術》開方術中指出了存在有開不盡的情形：“若開方不盡者，為不可開”．《九章算術》的作者們給這種“不盡根數”起了一個專門名詞—“面”．“面”，就是無理數．無理數里最具有代表性的數就是“”．下列關于的說法錯誤的是（）A．可以在數軸上找到唯一點與之對應 B．它是面積為2的正方形的邊長 C．可以用兩個整數的比表示 D．可以用反證法證明它不是有理數二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．計算：＝．12．用反證法證明，“在△ABC中，∠A、∠B對邊是a、b，若∠A＞∠B，則a＞b．”第一步應假設．13．實行“雙減”政策后，某區(qū)推行“5+2”的課后服務模式，學?？茖W利用課余時間，開展豐富的社團活動．下表是根據某學校八（1）班同學參加課外社團活動情況收集到的數據繪制的部分統(tǒng)計表，若選擇足球的人數占該班總人數的25%，則選擇手工的人數為．八（1）班同學參加社團活動情況統(tǒng)計表社團活動足球啦啦操合唱手工其他參加人數10164214．如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為cm．15．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝9．折疊△ACB，使點A與BC的中點D重合，折痕交AB于E，交AC于點F，則CF＝．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟）16．（1）計算：（﹣2m）2÷2m2．（2）先化簡，再求值（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2，其中a＝﹣2．17．如圖，已知△ABC．（1）利用直尺和圓規(guī)，根據下列要求作圖．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）①作∠ABC的平分線BD交AC于點D；②作線段BD的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F，交BD于點M．（2）試判斷△BEF的形狀，并加以證明．18．如圖，△ABC是張大爺的一塊小菜地，已知CD是△ABC中AB邊上的高，AC＝5，CD＝4，BC＝3AD，求BD的長．（結果保留根號）19．2022年北京冬奧會捷報傳來——中國隊9金4銀2銅收官，這極大地激勵了同學們體育鍛煉的熱情．某校體育部隨機抽查八年級（1）班800名學生一周內平均每天的體育鍛煉時間t（單位：分鐘），并將調查的數據整理后得到如下統(tǒng)計圖表：組別鍛煉時間頻數A0≤t＜204B20≤t＜308C30≤t＜4010D40≤t＜50aEt≥50b根據圖表中提供的信息，解答下列問題．（1）統(tǒng)計表中的a＝，b＝，并補全條形統(tǒng)計圖．（2）求扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形圓心角的度數．（3）根據抽樣調查結果，求出鍛煉時間不低于30分鐘的有多少名學生？20．閱讀與思考我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式，我們常常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決數學問題的方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決與非負數有關的問題和求代數式最大值，最小值等問題．例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；x2+2x+6＝x2+2x+1+5＝（x+1）2+5，則當x＝﹣1時，x2+2x+6有最小值，最小值是5．根據材料用配方法解決下列問題．（1）若多項式x2+6x+k是一個完全平方式，則常數k的值為．A．9B．﹣9C．±9D．36（2）分解因式：x2﹣2x﹣8．（3）當x為何值時，多項式x2﹣4x+3有最小值？并求出這個最小值．21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當∠A＝40°時，求∠DEF的度數．22．綜合與實踐美麗的弦圖中蘊含著四個全等的直角三角形．（1）如圖1，弦圖中包含了一大一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結合圖1，試驗證勾股定理；（2）如圖2，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，求該飛鏢狀圖案的面積；（3）如圖3，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝42，求S2的值．23．綜合與探究已知在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為直線BC上一動點（點D不與點B，點C重合），以AD為邊作Rt△ADE（其中AD＝AE，∠DAE＝90°），連接CE．（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求∠DCE的度數．（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上運動時，類比第（1）問，請你猜想線段BD，CD，DE的數量關系，并說明理由．（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上時，AC＝，CE＝1，求線段DE的長．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．計算a2?a3的結果是（）A．a2 B．a3 C．a5 D．a6【分析】直接利用同底數冪的乘法運算法則計算得出答案．解：a2?a3＝a5．故選：C．【點評】此題主要考查了同底數冪的乘法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．2．為了直觀地表示世界七大洲的面積各占全球陸地面積的百分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是（）A．扇形統(tǒng)計圖 B．條形統(tǒng)計圖 C．折線統(tǒng)計圖 D．以上都可以【分析】利用扇形統(tǒng)計圖的特點：①用扇形的面積表示部分在總體中所占的百分比．②易于顯示每組數據相對于總數的大小，進而得出答案．解：為了直觀地表示世界七大洲的面積各占全球陸地面積的百分比，最適合使用的統(tǒng)計圖是：扇形統(tǒng)計圖．故選：A．【點評】此題主要考查了統(tǒng)計圖的選擇，正確把握統(tǒng)計圖的特點是解題關鍵．3．已知一組數據：π，，0.1010010001，，，其中無理數出現的頻數是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據無理數的概念得出結論即可．解：在π，，0.1010010001，，中無理數為π，，故選：A．【點評】本題主要考查無理數的概念及頻數的知識，熟練掌握無理數的概念及頻數的知識是解題的關鍵．4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．x2﹣x B．x2+2x﹣1 C．x2+y2 D．x2﹣1【分析】利用平方差公式的結構特征判斷即可．解：A、原式＝x（x﹣1），不符合題意；B、原式＝x2+2x+1﹣2＝（x+1）2﹣2＝（x+1+）（x+1﹣），不符合題意；C、原式不能分解，不符合題意；D、原式＝（x+1）（x﹣1），符合題意．故選：D．【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．5．在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，則（）A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能確定【分析】由勾股定理的逆定理即可得到答案．解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故選：B．【點評】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是熟悉三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．6．在測量一個小口圓形容器的內徑時，小明用“X型轉動鉗”按如圖所示的方法進行測量，其中OA＝OD，OB＝OC，因此可得△AOB≌△DOC，從而測得AB的長，就可以得到圓形容器的內徑CD的長，其中判定△AOB≌△DOC的依據是（）A．SAS B．HL C．ASA D．SSS【分析】根據全等三角形的判定定理即可得到結論．解：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），故選：A．【點評】本題考查全等三角形的應用，解題的關鍵是利用全等三角形的性質解決實際問題．7．估計的值（）A．在6和7之間 B．在5和6之間 C．在4和5之間 D．在3和4之間【分析】利用立方數，進行計算即可解答．解：∵27＜30＜64，∴3＜＜4，∴估計的值在3和4之間，故選：D．【點評】本題考查了估算無理數的大小，熟練掌握立方數是解題的關鍵．8．關于原命題“如果a＝b，那么a2＝b2”和它的逆命題“如果a2＝b2，那么a＝b”，下列說法正確的是（）A．原命題是真命題，逆命題是假命題 B．原命題、逆命題都是真命題 C．原命題是假命題，逆命題是真命題 D．原命題，逆命題都是假命題【分析】寫出原命題的逆命題后判斷正誤即可．解：原命題“如果a＝b，那么a2＝b2”是真命題；它的逆命題“如果a2＝b2，那么a＝b”，錯誤，是假命題；∴原命題為真命題，逆命題為假命題，故選：A．【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是正確的寫出一個命題的逆命題，難度不大．9．如圖，在△ABC中，∠B＝54°，以點C為圓心，CA的長為半徑作弧交AB于點D，分別以點A和點D為圓心，大于AD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E，作直線CE，交AB于點F，則∠BCF的度數是（）A．54° B．36° C．27° D．18°【分析】利用基本作圖得到CF⊥AB，然后利用互余計算出∠BCF的度數．解：由作法得CF⊥AB，∴∠BFC＝90°，∴∠BCF＝90°﹣∠B＝90°﹣54°＝36°．故選：B．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．10．公元前500年，畢達哥拉斯學派中的一名成員西伯索斯發(fā)現了無理數，導致了第一次數學危機．事實上，我國古代發(fā)現并闡述無理數的概念比西方更早，但是沒有系統(tǒng)的理論．《九章算術》開方術中指出了存在有開不盡的情形：“若開方不盡者，為不可開”．《九章算術》的作者們給這種“不盡根數”起了一個專門名詞—“面”．“面”，就是無理數．無理數里最具有代表性的數就是“”．下列關于的說法錯誤的是（）A．可以在數軸上找到唯一點與之對應 B．它是面積為2的正方形的邊長 C．可以用兩個整數的比表示 D．可以用反證法證明它不是有理數【分析】根據實數與數軸、勾股定理、算術平方根、無理數的概念、反證法判斷即可．解：A、利用勾股定理，可以在數軸上找到唯一點與之對應，本選項說法正確，不符合題意；B、面積為2的正方形的邊長為，本選項說法正確，不符合題意；C、是無理數，不可以用兩個整數的比表示，本選項說法錯誤，符合題意；D、可以用反證法證明它不是有理數，本選項說法正確，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是無理數的概念、實數與數軸、反證法，掌握無理數的概念、反證法的一般步驟是解題的關鍵．二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11．計算：＝﹣2．【分析】因為﹣2的立方是﹣8，所以的值為﹣2．解：＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】此題考查了立方根的意義．注意負數的立方根是負數．12．用反證法證明，“在△ABC中，∠A、∠B對邊是a、b，若∠A＞∠B，則a＞b．”第一步應假設a≤b．【分析】反證法的步驟中，第一步是假設結論不成立，反面成立，據此進行判斷即可．解：用反證法證明，“在△ABC中，∠A、∠B對邊是a、b，若∠A＞∠B，則a＞b．”第一步應假設a≤b，故答案為：a≤b．【點評】本題考查的是反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．13．實行“雙減”政策后，某區(qū)推行“5+2”的課后服務模式，學?？茖W利用課余時間，開展豐富的社團活動．下表是根據某學校八（1）班同學參加課外社團活動情況收集到的數據繪制的部分統(tǒng)計表，若選擇足球的人數占該班總人數的25%，則選擇手工的人數為8．八（1）班同學參加社團活動情況統(tǒng)計表社團活動足球啦啦操合唱手工其他參加人數1016482【分析】利用選擇足球的人數除以25%，即可得出該班總人數，在用總人數分別減去其它人數即可．解：總人數：10÷25%＝40（人），選擇手工的人數：40﹣10﹣16﹣4﹣2＝8（人），故答案為：8．【點評】本題考查了統(tǒng)計表，正確求出總人數是解答本題的關鍵．14．如圖，小虎用10塊高度都是3cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為30cm．【分析】根據題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質進行解答．解：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由題意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，∴DE＝DC+CE＝30（cm），答：兩堵木墻之間的距離為30cm．故答案為：30．【點評】此題主要考查了全等三角形的應用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件．15．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝9．折疊△ACB，使點A與BC的中點D重合，折痕交AB于E，交AC于點F，則CF＝4．【分析】由D是BC的中點，求出CD＝3，再由折疊的性質，得AF＝FD，設AF＝x，則FC＝9﹣x，DE＝x，在Rt△CDF中，x2＝9+（9﹣x）2，求出x即可求CF．解：∵D是BC的中點，BC＝6，∴CD＝3，∵折疊△ACB，使點A與BC的中點D重合，∴AF＝FD，∵AC＝9，設AF＝x，則FC＝9﹣x，DE＝x，∵∠ACB＝90°，在Rt△CDF中，x2＝9+（9﹣x）2，∴x＝5，∴CF＝4，故答案為4．【點評】本題考查圖形的翻折，熟練應用勾股定理，掌握圖形折疊的性質是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟）16．（1）計算：（﹣2m）2÷2m2．（2）先化簡，再求值（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2，其中a＝﹣2．【分析】（1）直接利用積的乘方運算法則化簡，進而利用整式的除法運算法則計算得出答案；（2）直接利用乘法公式化簡，再合并同類項，把已知數據代入得出答案．解：（1）原式＝4m2÷2m2＝2；（2）原式＝1﹣a2+a2﹣4a+4＝﹣4a+5，當a＝﹣2時，原式＝﹣4×（﹣2）+5＝8+5＝13．【點評】此題主要考查了整式的混合運算—化簡求值，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．17．如圖，已知△ABC．（1）利用直尺和圓規(guī)，根據下列要求作圖．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）①作∠ABC的平分線BD交AC于點D；②作線段BD的垂直平分線交AB于點E，交BC于點F，交BD于點M．（2）試判斷△BEF的形狀，并加以證明．【分析】（1）①利用尺規(guī)作出∠ABC的角平分線即可；②利用尺規(guī)作出線段BD的垂直平分線即可；（2）根據等腰三角形的判定方法判斷即可．解：（1）①如圖，射線BD就是所要求作的∠ABC的平分線；②如圖，直線EF就是所要求作的線段BD的垂直平分線；（2）△BEF是等腰三角形，證明如下：∵EF垂直平分線段BD，∴BM⊥EF，∴∠BME＝∠BMF＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠MBE＝∠MBF，在△BME和△BMF中，，∴△BME和△BMF，∴BE＝BF，∴△BEF是等腰三角形．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，線段的垂直平分線，等腰三角形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．18．如圖，△ABC是張大爺的一塊小菜地，已知CD是△ABC中AB邊上的高，AC＝5，CD＝4，BC＝3AD，求BD的長．（結果保留根號）【分析】先在Rt△ACD中根據勾股定理求出AD的長，進而可知BC的長，再在Rt△BCD中，根據勾股定理求出BD的長即可．解：∵CD是△ABC中AB邊上的高，∴△ACD和△BCD都是直角三角形．在Rt△ACD中，AC＝5，CD＝4，∴，∵BC＝3AD，∴BC＝9，在Rt△BCD中，．【點評】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理并能正確的計算是解題的關鍵．19．2022年北京冬奧會捷報傳來——中國隊9金4銀2銅收官，這極大地激勵了同學們體育鍛煉的熱情．某校體育部隨機抽查八年級（1）班800名學生一周內平均每天的體育鍛煉時間t（單位：分鐘），并將調查的數據整理后得到如下統(tǒng)計圖表：組別鍛煉時間頻數A0≤t＜204B20≤t＜308C30≤t＜4010D40≤t＜50aEt≥50b根據圖表中提供的信息，解答下列問題．（1）統(tǒng)計表中的a＝20，b＝8，并補全條形統(tǒng)計圖．（2）求扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形圓心角的度數．（3）根據抽樣調查結果，求出鍛煉時間不低于30分鐘的有多少名學生？【分析】（1）根據A的頻數和頻率求出抽樣調查的總人數，用總人數乘40%即可得出a的值，用總人數乘16%即可得出b的值，然后補全條形統(tǒng)計圖即可；（2）用360°乘C組所占百分比可得C組所在扇形圓心角的度數；（3）A，B兩組平均每天的體育鍛煉時間不超過半小時，用樣本估計總體即可得出答案．解：（1）4÷8%＝50（人），a＝50×40%＝20，b＝50×16%＝8，補全條形統(tǒng)計圖如下：故答案為：20，8；（2）360°×＝72°；（3）800×＝192（名），答：該校800名九年級學生中大概有192名學生一周內平均每天的體育鍛煉時間不超過半小時．【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖、頻數分布表、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．20．閱讀與思考我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一個多項式不是完全平方式，我們常常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決數學問題的方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決與非負數有關的問題和求代數式最大值，最小值等問題．例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；x2+2x+6＝x2+2x+1+5＝（x+1）2+5，則當x＝﹣1時，x2+2x+6有最小值，最小值是5．根據材料用配方法解決下列問題．（1）若多項式x2+6x+k是一個完全平方式，則常數k的值為A．A．9B．﹣9C．±9D．36（2）分解因式：x2﹣2x﹣8．（3）當x為何值時，多項式x2﹣4x+3有最小值？并求出這個最小值．【分析】（1）利用完全平方公式得出答案；（2）仿樣例進行解答便可；（3）將代數式配方為（x﹣2）2﹣1，可得出答案．解：（1）設x2+6x+k＝（x+m）2，則x2+6x+k＝x2+2mx+m2，∴，解得，故答案為：A；（2）x2﹣2x﹣8＝（x2﹣2x+1）﹣1﹣8＝（x﹣1）2﹣32＝（x﹣1+3）（x﹣1﹣3）＝（x+2）（x﹣4）；（3）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2﹣1≥﹣1，∴x2﹣4x+3的最小值為﹣1．【點評】本題主要考查了配方法的應用，非負數的性質，將多項式配方，再利用非負數的性質解答是解題的關鍵．21．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當∠A＝40°時，求∠DEF的度數．【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用邊角邊定理證明△DBE≌△ECF，然后即可求證△DEF是等腰三角形．（2）根據∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根據△DBE≌△ECF，利用三角形內角和定理即可求出∠DEF的度數．【解答】證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△ECF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠3+∠2＝110°∴∠DEF＝70°【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質的理解和掌握，此題主要應用了三角形內角和定理和平角是180°，因此有一定的難度，屬于中檔題．22．綜合與實踐美麗的弦圖中蘊含著四個全等的直角三角形．（1）如圖1，弦圖中包含了一大一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結合圖1，試驗證勾股定理；（2）如圖2，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，求該飛鏢狀圖案的面積；（3）如圖3，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝42，求S2的值．【分析】（1）依據圖1中的正方形的面積可以用兩種方式表示出來，即可驗證勾股定理；（2）可設AC＝x，根據勾股定理列出方程可求x，再根據直角三角形面積公式計算即可求解；（3）設八個全等的直角三角形的面積均為a，依據正方形EFGH內外四個直角三角形的面積之和相等，即可得到2S2＝S1+S3，再根據S1+2S2+S3＝42，即可得出S2的值．解：（1）由圖1可得，大正方形的面積為c2，大正方形的面積＝4×ab+（a﹣b）2，∴4×ab+（a﹣b）2＝c2，化簡可得，a2+b2＝c2；（2）24÷4＝6，設AC＝x，則AB＝6﹣x，依題意得：（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，∴該“勾股風車”圖案的面積為：×（3+1）×3×4＝×4×3×4＝24．答：該“勾股風車”圖案的面積為24；（3）設八個全等的直角三角形的面積均為a，則S2＝S1﹣4a，S2＝S3+4a，兩式相加，可得2S2＝S1+S3，又∵S1+2S2+S3＝42，∴4S2＝42，∴S2＝