高中數(shù)學(xué) 必修四（人教B版）高中數(shù)學(xué)必修 構(gòu)成空間幾何體的基本元素

11.1.2構(gòu)成空間幾何體的基本元素本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修四（人教B版）第十一章《11.1.2構(gòu)成空間幾何體的基本元素》，本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容包括空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，及幾何符號語言的運(yùn)用。引導(dǎo)學(xué)生通過觀察生活中的實(shí)物及長方體模型，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，直觀想象。從而發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A..以長方體的構(gòu)成為例，認(rèn)識構(gòu)成幾何體的基本元素，體會空間中的點(diǎn)、線、面與幾何體之間的關(guān)系．B.初步了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系．C.理解平面的無限延展性，學(xué)會判斷平面的方法．1.數(shù)學(xué)抽象：點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的符號表示；2.邏輯推理：點(diǎn)線面的位置關(guān)系；3.數(shù)學(xué)建模：長方體模型的運(yùn)用；4.直觀想象：在不同幾何背景下判斷點(diǎn)線面的位置關(guān)系1.教學(xué)重點(diǎn)：以長方體的構(gòu)成為例，認(rèn)識構(gòu)成幾何體的基本元素，體會空間中的點(diǎn)、線、面與幾何體之間的關(guān)系．2.教學(xué)難點(diǎn)：幾何語言的準(zhǔn)確運(yùn)用，理解平面的無限延展性．多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、情境與問題問題1：空間中的點(diǎn)、線、面1：空間幾何體的基本元素長方體、圓柱、圓錐、球等都是幾何體（幾何體也簡稱為“體”），包圍著幾何體的都是“面”，面與面相交給人“線”的形象，線與線相交給人“點(diǎn)”的形象。點(diǎn)、線、面是構(gòu)成空間幾何體的基本元素.2：點(diǎn)、線、面運(yùn)動的軌跡點(diǎn)運(yùn)動的軌跡是線、線運(yùn)動的軌跡是面、面運(yùn)動的軌跡是體.如圖，塔的側(cè)面可以看出一條線段運(yùn)動的結(jié)果；水平放置的長方體，可以看出一個底面沿垂直方向運(yùn)動的結(jié)果.例1：如圖所示的長方體中，8個頂點(diǎn)可表示為：12條棱可以表示為：6個面可以表示為：長方體可以表示為：用身邊的物體演示圖中塔的側(cè)面的形成過程，以及圖所示的長方體的形成過程，并思考幾何體中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，能否用數(shù)學(xué)符號符號來表示。3：點(diǎn)、線、面的表示方法(1)點(diǎn)用大寫英文字母表示，如點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)A1，…；(2)直線用該直線上的兩個點(diǎn)表示，如直線AB，直線A1B1，…，也可以用小寫英文字母表示，如直線l，直線m，…；(3)平面用該平面內(nèi)不共線的3個或3個以上的點(diǎn)表示，如長方形ABCD所在的平面可記作面ABC，或面ABD，或面ABCD．也可用小寫希臘字母α，β，γ，…表示．根據(jù)如圖所示的棱柱中，回答下列問題：(1)6個頂點(diǎn)可表示為____________________；(2)9條棱可以表示為____________________；(3)5個平面可以表示為___________________；(4)棱柱可以表示為______________________．答案(1)A，B，C，A1，B1，C1(2)AB，BC，AC，AA1，BB1，CC1，A1B1，B1C1，A1C1(3)面ABC，面A1B1C1，面AA1B1B，面BB1C1C，面AA1C1C(4)棱柱ABC－A1B1C1問題2：空間中點(diǎn)與直線，直線與直線的位置關(guān)系空間中的一條直線可看出這條直線上所有點(diǎn)組成的集合，從而也就能用集合符號來表示空間中點(diǎn)與直線、直線與直線的關(guān)系.例2：如圖中的長方體，（1）直線AB可簡記為l，此時(shí)，A，B都是l上的點(diǎn)，且都不是l上的點(diǎn)，這可用符號簡寫為：（2）如果記圖中頂點(diǎn)確定的直線為m,頂點(diǎn)確定的直線為k,則有m與l相交（即有公共點(diǎn)），k與l不相交（即沒有公共點(diǎn)），這可分別表示為：（3）因?yàn)閙與l相交于點(diǎn)B，所以，一般簡寫為：1：異面直線一般地，空間中的兩條直線，可以既不平行，也不相交，此時(shí)稱這兩條直線異面.上圖中，直線l與k異面.2：直線與直線的位置關(guān)系如果a,b是空間中的兩條直線，則與，有且僅有一種情況成立，而且當(dāng)時(shí)，a與b要么平行（記作），要么異面.同一平面內(nèi)的兩條直線，如果不相交，就一定平行，這一結(jié)論可以推廣到空間中的兩條直線嗎？結(jié)合圖總結(jié)空間中兩條直線的位置關(guān)系。問題3.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系例3：下圖所示的長方體中：（1）面ABCD可以記為，此時(shí)，A是平面內(nèi)的點(diǎn)，不是平面內(nèi)的點(diǎn)，這可用符號簡寫為：.（2）點(diǎn)A，B確定的直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)，這稱為直線l在平面內(nèi)（或平面過直線l）,記作：；（3）點(diǎn)確定的直線m上至少有一個點(diǎn)不在平面內(nèi)，這稱為直線m在平面外，記作：.直線m與有且只有一個公共點(diǎn)（稱為直線,與平面相交），即,一般簡寫為：.（4）記圖中長方形所在的平面為，點(diǎn)A，D確定的直線為，則與有公共點(diǎn)，這稱為平面與平面相交，記作：，進(jìn)一步，一個點(diǎn)是與的公共點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)這個點(diǎn)在直線k上，這可記作：.1:直線與平面的位置關(guān)系一般地，如果l是空間中的一條直線，是空間中的一個平面，則：與有且僅有一種情況成立.（1）當(dāng)時(shí)，要么，要么l與只有一個公共點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，稱直線l與平面平行，記作：.結(jié)合圖，總結(jié)空間中直線與平面的位置關(guān)系，以及平面與平面的位置關(guān)系。2：平面與平面的位置關(guān)系如果與是空間中的兩個平面，則與有且僅有一種情況成立。（1）當(dāng)時(shí)，與的公共點(diǎn)組成一條直線；（2）當(dāng)時(shí)，稱平面與平面平行，記作：.例4．思考辨析(1)直線l在平面α內(nèi)，記作l∈α.()(2)若a∩b＝?，則a與b平行．()(3)若l∩α≠?，則直線l與平面α有公共點(diǎn)．()(4)若直線l在平面α外，則直線l與平面α平行．()(5)若α∩β≠?，則平面α與平面β相交，且交于一個點(diǎn)．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×例5.根據(jù)圖形用符號表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系．(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面ABCD；(4)點(diǎn)A1與平面ABCD；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面ABCD；(7)平面A1ABB1與平面ABCD．解(1)點(diǎn)P∈直線AB；(2)點(diǎn)C?直線AB；(3)點(diǎn)M∈平面ABCD；(4)點(diǎn)A1?平面ABCD；(5)直線AB∩直線BC＝點(diǎn)B；(6)直線AB?平面ABCD；(7)平面A1ABB1∩平面ABCD＝直線AB．問題4.直線與平面垂直由觀察可知，圖中，不管直線l的具體位置如何，只要平面ABCD，則一定有.觀察圖中的長方體

(1)

A1A與AB是否垂直，A1A與AD是否垂直并說明理由;

(2)判斷A1A與AC是否垂直;

(3)若直線l在平面ABCD內(nèi)，且8：直線與平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面相交于一點(diǎn)A，且對平面內(nèi)任意一條過點(diǎn)A的直線m，都有，則稱直線l與平面垂直（或l是平面的一條垂線，是直線l的一個垂面），記作），其中點(diǎn)A稱為垂足.因此，圖中長方體中，有平面ABCD，類似的，有平面平面.9：點(diǎn)到平面的距離給定空間中一個平面以及一個點(diǎn)A，過A可以作而且只可以作平面的一條垂線。如果記垂足為B，則稱B為A在平面內(nèi)的射影（也稱為投影），線段AB為平面的垂線段，AB的長為點(diǎn)A到平面的距離.10.直線到平面的距離特別的，當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線到這個平面的距離；11：平行平面間的距離當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個平面上任意一點(diǎn)到另一個平面的距離稱為兩平行平面之間的距離.因此，點(diǎn)到面ABCD的距離等于線段的長，直線到面ABCD的距離等于線段的長，面與面ABCD之間的距離等于的長.例6.下列命題中正確的個數(shù)是()①如果直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；②如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④如果直線l不垂直于α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直．A．0B．1C．2D．3解：B當(dāng)α內(nèi)的無數(shù)條直線平行時(shí)，l與α不一定垂直，故①不對；當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與α垂直，故②不對；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故③不對；④正確．例7.如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6cm，BC＝4cm，AA1＝3cm，則(1)點(diǎn)A到平面DCC1D1的距離為________；(2)直線AA1到平面BCC1B1的距離為________；(3)平面ABCD與平面A1B1C1D1之間的距離為________.解：(1)4cm(2)6cm(3)3cm通過對生活中實(shí)物的觀察，引導(dǎo)學(xué)生分析抽象幾何體的基本元素，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)。通過觀察、練習(xí)掌握點(diǎn)線面的位置關(guān)系及表示方法，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象過程、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過長方體模型，探究空間中線與線，面與面的位置關(guān)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過長方體模型，探究空間中線與面，面與面的垂直與平行關(guān)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.點(diǎn)P在直線a上，直線a在平面α內(nèi)可記為()A．P∈a，aαB．Pa，aαC．Pa，a∈αD．P∈a，a∈αA[由點(diǎn)與直線的位置關(guān)系表示方法及直線與平面之間位置關(guān)系的表示可知點(diǎn)P在直線a上表示為P∈a，直線a在平面α內(nèi)可表示為aα，故A正確．]2．已知如圖，試用適當(dāng)?shù)姆柋硎鞠铝悬c(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系：(1)點(diǎn)C與平面β：________.(2)點(diǎn)A與平面α：________.(3)直線AB與平面α：____________.(4)直線CD與平面α：__________.(5)平面α與平面β：__________.[答案](1)Cβ；(2)Aα；(3)AB∩α＝B；(4)CDα；(5)α∩β＝BD3．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A．異面或平行B．異面或相交C．異面D．相交、平行或異面D[可參考長方體中各條線的位置關(guān)系判斷．]4.給出下列四個命題：①若直線l∩m＝?，則l與m平行；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；④若m?α，m∩β＝M，那么平面α與平面β相交，其中真命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解答：A對于①，直線l∩m＝?，即直線l與直線m沒有公共點(diǎn)，l與m可能平行，也可能異面，∴l(xiāng)不一定與m平行．故①錯．對于②，直線a在平面α外包括兩種情形：a∥α，a與α相交，故②錯．對于③，由直線a∥b，b?α，只能說明a和b無公共點(diǎn)，但a可能在平面α內(nèi)，故③錯．對于④，∵m?α，m∩β＝M，∴點(diǎn)M∈α，M∈β，故平面α與平面β相交，故④正確．5.下面敘述中：①若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；②若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；③若直線l是平面α的一條垂線，則直線l垂直于平面α內(nèi)的所有直線；④若直線l垂直于平面α，則稱平面α是直線l的一個垂面．其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個解：C①中若兩條直線為平行直線，則這條直線不一定與平面垂直，所以不正確；由定義知②③④正確．6.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，判斷下列直線、平面間的位置關(guān)系：①A1B與D1C________；②A1B與B1C________；③D1D與平面BCC1B1________；④AB1與平面BCC1________；⑤平面ABB1與平面DCC1_________；⑥平面ABB1與平面DD1A1________.答案①平行②異面③平行④相交⑤平行⑥相交7．線段AB長為5cm，在水平面上向右移動4cm后記為CD，將CD沿鉛垂線方向向下移動3cm后記為C′D′，再將C′D′沿水平方向向左移動4cm后記為A′B′，依次連接構(gòu)成長方體ABCD-A′B′C′D′.(1)該長方體的高為________cm；(2)平面A′B′BA與平面CDD′C′間的距離為________cm；(3)點(diǎn)A到平面BCC′B′的距離為________cm.(1)3(2)4(3)5[如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5cm，BC＝4cm，CC′＝3cm，∴長方體的高為3cm；平面A′B′BA與平面CDD′C′之間的距離為4cm；點(diǎn)A到平面BCC′B′的距離為5cm.]通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，感悟其中蘊(yùn)含的方程思想，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1．空間中的兩條直線a，b的位置關(guān)系：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∩b＝??\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a與b平行,a與b異面)),a∩b≠??a與b相交))2．直線a與平面α的位置關(guān)系：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∩α＝??a∥α,a∩α≠??\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a與α相交,a在α內(nèi)))))3．平面α與平面β的位置關(guān)系eq\b