概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版課后習(xí)題

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案

第七章參數(shù)預(yù)計(jì)

1．[一]隨機(jī)地取8只活塞，得它的直徑（以mm）

求體均μ及方差σ2的矩估，并求本方差S2。

解：μ，σ2的矩估是?X74.002,?21n(Xix)26106ni1S26.86106。2．[二]X1，X1，?，Xn準(zhǔn)體的一個本。求以下各體的密度函數(shù)或散布律

中的未知參數(shù)的矩估計(jì)。θcθx(θ1),xc此中c>0已知，θ>1，θ未知參數(shù)。（1）f(x)0,其余θxθ1,0x1此中θ>0，θ未知參數(shù)。（2）f(x)0,其余.

5）P(Xx)

解：（1）E(X)

得θXXc

mpx(1p)mx,x0,1,2,,mp1,p未知參數(shù)。x,0xf(x)dxθcθxθdxθcθcθ1θc,令θcX，cθ1θ1θ1（2）E(X)1θxθdxθ,令θX,得θ(X)2xf(x)dx0θ1θ11X（5）E(X)=mp令mp=X，解得p?Xm3．[三]求上中各未知參數(shù)的極大似然估和估計(jì)。nnnθθ1解：（1）似然函數(shù)L(θ)f(xi)θc(x1x2xn)i1ndlnLθθnlnL(θ)nln(θ)nθlnc(1θ)lnxi,()nlnclnxi0dθni1i1

?θ

n

n

（解獨(dú)一故極大似然估計(jì)）

lnxinlnc

i1

nnθ1,lnL(θ)nn（2）L(θ)f(xi)θ2(x1x2xn)ln(θ)(θ1)lnxii12i1dlnL(θ)n1n?n1lnxi0,lnxi)2。(解獨(dú)一)故極大似然估dθ2θ2θ(nθi1i1量。nnnP{Xximmximnxi（5）L(p)}xnpi1(1p)i1，i1x1nnnlnL(p)lnxmixilnp(mnxi)ln(1p),i1i1i1nndlnL(p)ximnxii1i10dpp1pnxiX，（解獨(dú)一）故極大似然估計(jì)。解得pi2mnm4．[四(2)]X1，X1，?，Xn是來自參數(shù)λ的泊松散布體的一個本，求λ

的極大似然估計(jì)及矩估計(jì)。

解：（1）矩估X~π(λ)，E(X)=λ，故?=X矩估計(jì)。λnnxi（2）極大似然估λi1nλ()(;)e，LλPxiλx1!x2!xn!i1nnlnL(λ)xilnλlnxi!nλi1i1ndlnL(λ)xii1n?X極大似然估計(jì)。dλλ0,解得λ

（此中p(xi;λ)P{Xxi}λxieλ0,1,),xixi!5．[六]一地質(zhì)學(xué)家研究密歇根湖湖地域的巖石成分，隨機(jī)地自該地域取100個樣品，每個樣品有10塊石子，記錄了每個樣品中屬石灰石的石子數(shù)。假定這100次觀察互相獨(dú)立，并由過去經(jīng)驗(yàn)知，它們都聽從參數(shù)為n=10，P的二項(xiàng)散布。P是該地域一塊石子是石灰石的概率。求p的極大似然預(yù)計(jì)值，該地質(zhì)學(xué)家所得的數(shù)據(jù)以下樣品中屬石灰石的石子數(shù)012345678910察看到石灰石的樣品個數(shù)016723262112310解：λ的極大似然預(yù)計(jì)值為?λ=X=[四(1)]設(shè)整體X擁有散布律X123kθ22θ(1－(1－θ)2Pθ)此中θ(0<θ<1)為未知參數(shù)。已知獲得了樣本值x=1，x=2，x=1，試求θ的矩估123計(jì)值和最大似然預(yù)計(jì)值。

解：（1）求θ的矩預(yù)計(jì)值

E(X)1θ222θ(1θ)3(1θ)2θ3(1θθ(1θ3θ[)][)]2令E(X)32θX3X31215則獲得θ的矩預(yù)計(jì)值為?3θ226（2）求θ的最大似然預(yù)計(jì)值3似然函數(shù)(){xi}{1}{2}{1}LθPXiPX1PX2PX3i1θ22θ(1θ)θ22θ5(1θ)lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1－θ)dln()51求導(dǎo)Lθ0dθ61θ

獲得獨(dú)一解?5θ68．[九(1)]體X~N（μ，σ211n），X，X，?，X是來自X的一個本。確n1Xi)2為σ2的無偏估。定常數(shù)c使c(Xi1i1解：因?yàn)閚1n1n1E[c(Xi1Xi)2]c[E(Xi1Xi)2]cD(Xi1Xi)2(E(Xi1Xi))2]i1i1i1

n1n1=c[D(Xi1)D(Xi)(EXi1EX1)2]c(2σ202)c(2n1)σ2i1i11n1當(dāng)c時,c(Xi1Xi)2為2的無偏預(yù)計(jì)。2(n1)i1

[十]X1，X2，X3，X4是來自均θ的指數(shù)散布體的本，此中θ未知，有估計(jì)

T1(X1X2)1(X3X4)163T2(X12X23X34X4)5T3(X1X2X3X4)41）指出T1，T2，T3哪幾個是θ的無偏估計(jì)；

2）在上述θ的無偏估中指出哪一個有效。解：（1）因?yàn)閄i聽從均θ的指數(shù)散布，因此

ii)=θ2i=1,2,3,4E(X)=θ,D(X,由數(shù)學(xué)希望的性2°，3°有E(T)1[E(X)E(X2)]1[E(X3)E(X)]θ16134E(T2)1[E(X1)2E(X2)3E(X3)4E(X4)]2θ5ET1[E(X)E(X2)E(X)E(X4)]θ(3)413即T1，T2是θ的無偏估計(jì)

（2）由方差的性質(zhì)2°，3°并注意到X1，X2，X3，X4獨(dú)立，知D(T)1[D(X)D(X2)]1[D(X3)D(X4)]5θ21361918D(T2)1[D(X1)D(X2)D(X3)D(X4)]1θ2164D(1)>D(2)TT因此T2較為有效。

14.[十四]設(shè)某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計(jì)）分別

為。設(shè)干燥時間整體聽從正態(tài)散布N~（μ，σ2），求μ的置信度為的置信區(qū)間。（1）若由過去經(jīng)驗(yàn)知σ=（小時）（2）若σ為未知。解：（1）μ的置信度為的置信區(qū)間為（Xσzα），n2計(jì)算得X6.0,查表z0.0251.96,σ0.6,即為(6.00.61.96)(5.608,6.392)9（2）μ的置信度為的置信區(qū)間為（XStα(n1)），計(jì)算得X6.0，查表(8)=.n2S219(xix)212.640.33.故為(6.00.332.3060)(5.558,6.442)8i183

16.[

十六

]

隨機(jī)地取某種炮彈

9發(fā)做試驗(yàn)，得炮彈口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為

s=11(m/s)

。設(shè)炮口速度聽從正態(tài)散布。求這類炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差

σ

的置信度為

的置信區(qū)間。

解：σ的置信度為的置信區(qū)間為

((n1)S2,(n1)S2)(811,811)(7.4,21.1)2(n1)2(n1)17.5352.18212此中α=,n=9查表知χ2(8)17.535,χ2(8)2.1800.0250.97519.[十九]研究兩種固體燃料火箭推動器的焚燒率。設(shè)二者都聽從正態(tài)散布，并

且已知焚燒率的標(biāo)準(zhǔn)差均近似地為s，取樣本容量為n1=n2=20.得焚燒率的樣本均值分別為x1cmsx224cmsμ－μ的置信度18/,/.設(shè)兩樣本獨(dú)立，求兩焚燒率整體均值差12為的置信區(qū)間。

解：12的置信度為的置信區(qū)間為μ－μ220.052(X1X2z12)(18242.582)(6.04,5.96).2n1n220此中α=，=,n=n=20,220.052,X118,X241212220.[二十]設(shè)兩位化驗(yàn)員A，B獨(dú)立地對某中聚合物含氯兩用相同的方法各做10次測定，其測定值的樣本方差挨次為SA20.5419,SB20.6065.設(shè)σA2,σB2分別為A，B所測定的測定值整體的方差，設(shè)整體均為正態(tài)的。設(shè)兩樣本獨(dú)立，求方差比σ2σ2的置AB信度為的置信區(qū)間。

解：σA2σB2的置信度為的置信區(qū)間

(SA2,SA2)1,nSB2Fα(n1,nSB2Fα(n121)21)1122(0.5419,0.54194.03)=,.0.60654.030.6065此中n=n=10，α=，(9,9)=,F0.975(9,9)1112F0.025(9,9)4.03

第八章假定查驗(yàn)

1.[一]某批礦砂的5個樣品中的鎳含量，經(jīng)測定為（%）。設(shè)測定值整體聽從正態(tài)散布，問在α=下可否接受假定：這批礦砂的含鎳量的均值為.解：設(shè)測定值整體（μ，σ2），μ，σ2均未知X～N步驟：（1）提出假定查驗(yàn)H0：μ=;H1：μ≠（2）選用查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為tX3.25~t(n1)Sn（3）H0的拒絕域?yàn)閨t|≥tα(n1).2

（4）n=5,152α=，由計(jì)算知x3.252,S(XiX)0.01304n1i1

查表(4)=,|t|3.2523.250.343tα(n1)0.0130425（5）故在α=下，接受假定0H2．[二]假如一個矩形的寬度ω與長度l的比ωl1(51)0.618，這樣的2矩形稱為黃金矩形。這類尺寸的矩形令人們看上去有優(yōu)秀的感覺?，F(xiàn)代建筑構(gòu)件（如窗架）、

工藝品（如圖片鏡框）、甚至司機(jī)的執(zhí)照、商業(yè)的信譽(yù)卡等經(jīng)常都是采納黃金矩型。下

面列出某工藝品工廠隨機(jī)取的20個矩形的寬度與長度的比值。設(shè)這一工廠生產(chǎn)的矩形的寬度與長短的比值整體聽從正態(tài)散布，其均值為

μ，試查驗(yàn)假定（取

α

=

）

H0：μ

=

H1：μ≠

.解：步驟：（1）H0：μ=；H1：μ≠（2）選用查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為tX0.618~t(n1)Sn（3）H的拒絕域?yàn)閨t|≥tα(n1).02（4）n=20α=，計(jì)算知1n1n2xxi0.6605,S(xix)0.0925，nin1i11

tα(n1)2.0930,|t|0.66050.6182.055tα(n1)0.09252202（5）故在α=下，接受H0，以為這批矩形的寬度和長度的比值為3.[三]要求一種元件使用壽命不得低于1000小時，今從一批這類元件中隨機(jī)抽取25件，測得其壽命的均勻值為950小時，已知這類元件壽命聽從標(biāo)準(zhǔn)差為σ=100小時的正態(tài)散布。試在顯著水平α=下確立這批元件能否合格設(shè)整體均值為μ。即需

查驗(yàn)假定H0：μ≥1000，H：μ<1000。1解：步驟：（1）H0:μ≥1000；H1：μ<1000；（σ=100已知）（2）H的拒絕域?yàn)閤1000zα0σn（3）n=25，α=，x950，計(jì)算知x10002.5z0.051.64510025（4）故在α=下，拒絕H，即以為這批元件不合格。012.[十一]一個小學(xué)校長在報(bào)紙上看到這樣的報(bào)道：“這一城市的初中學(xué)生均勻每周看8小時電視”。她以為她所領(lǐng)導(dǎo)的學(xué)校，學(xué)生看電視的時間顯然小于該數(shù)字。為此她向100個學(xué)生作了檢查，得悉均勻每周看電視的時間x6.5小時，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s=2小時。問能否能夠以為這位校長的見解是對的取α=。（注：這是大樣本查驗(yàn)問題。由

中心極限制理和斯魯茨基定理知道不論整體聽從什么散布，只需方差存在，當(dāng)n充分

大時xμ近似地聽從正態(tài)散布。）sn

解：（1）提出假定H0：μ≤8；H1：μ>8

（2）當(dāng)

n充分大時，

x

s

μ近似地聽從n

N（0，1）散布

（3）H0的拒絕域近似為xμ≥zαsn

（4）n=100，α=，x6.5，S=2，由計(jì)算知

|t|6.587.5z0.051.6452100（5）故在α=下，拒絕H0，即以為校長的見解是不對的。14.[十三]某種導(dǎo)線，要求其電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超出(歐姆)。今在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中取樣品9根，測得s=(歐姆)，設(shè)整體為正態(tài)散布。問在水平α=可否定為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大

解：（1）提出H0：σ≤；H1：σ>（2）H0的拒絕域?yàn)?n1)S2χ(n1)20.0052α（3）n=9，α=，S=，由計(jì)算知(n1)S280.007215.6821)0.00520.0052χ(nα2(8)15.507查表χ0.05（4）故在α=下，拒絕0，以為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大。H15.[十四]在題2中記整體的標(biāo)準(zhǔn)差為σ。試查驗(yàn)假定（取α=）02=，H1：σ2≠。H：σ解：步驟（1）H0：σ2=；H1：σ2≠（2）選用查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為χ2(n1)S2~χ2(n1)0.112（3）H0的拒絕域?yàn)棣?2(n1)或χ2χ2α(n1)χα212（4）n=20，α=，由計(jì)算知S22，(n1)S213.437=0.112232.852,28.907查表知0.025(19)0.975(19)（5）故在α=，接受H，以為整體的標(biāo)準(zhǔn)差σ為.016.[十五]測定某種溶液中的水份，它的10個測定值給出s=%，設(shè)測定值整體為正態(tài)散布，σ2為整體方差。試在水平α=下查驗(yàn)假定H0：σ≥%；H1：σ<%。0σ2212<%)2解：（1）H：≥%)；H：σ（2）H0的拒絕域?yàn)?n1)S2(0.04%)2χ2(n1)1α（3）n=10，α=2(9)3.325，S=%，查表知χ0.95由計(jì)算知(n1)S290.037)27.7012(9).χ(0.04%)2(0.04%)20.95（4）故在α=下，接受H0，以為σ大于%17.[十六]在第6[五]題中分別記兩個整體的方差為σ2和σ2。試查驗(yàn)假定（取α12=）H：226[五]題中我們假定22是合理的。1和2以說在第σσ0解：（1）H0：σ2σ2,H1:σ2σ21212

（2）選用查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為FS2~F(n11,n21)1S22（3）H的拒絕域?yàn)镕Fα(n1,n1)或FFα(n1,n1)012112224）n1=8，n2=10，α=，查表知(7,9)=

F0.975(7,9)11S120.000250.298F0.025(9,7)4.820.207,F0.00084S22(7,9)<F<(7,9)（5）故在α=下，接受H0，以為σ2σ21218.[十七]在第8題[七]中分別記兩個整體的方差為σ2和σ2。試查驗(yàn)假定（取α12=）H0：22,H122以說明在第8[七]題中我們假定σ2σ2是合理的。σ1σ2:σ1σ212解：（1）H0：σ2σ2,H1:σ2σ21212（2）選用查驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量FS12

S22

3）n1=n2=12，α=，查表知

(11