新教材人教a版數(shù)學(xué)必修第二冊學(xué)案643第四課時余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例

第四課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例在測量工作中，經(jīng)常會遇到不方便直接測量的情形．例如，如圖所示故宮角樓的高度，因為頂端和底部都不便到達，所以不能直接測量．[問題]假設(shè)給你米尺和測量角度的工具，你能在故宮角樓對面的岸邊得出角樓的高度嗎？如果能，寫出你的方案，并給出有關(guān)的計算方法；如果不能，說明理由．知識點實際應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語1．基線的概念與選取原則(1)基線：根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線；(2)選取原則：為使測量具有較高的精確度，應(yīng)根據(jù)實際需要選取合適的基線長度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．2．方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角．如圖，北偏東30°，南偏東45°.3．仰角和俯角(1)前提：在視線所在的垂直平面內(nèi)；(2)仰角：視線在水平線以上時，視線與水平線所成的角；(3)俯角：視線在水平線以下時，視線與水平線所成的角．李堯出校向南前進了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認(rèn)為李堯的家在學(xué)校的哪個方向？提示：東南方向．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)基線選擇不同，同一個量的測量結(jié)果可能不同．()(2)東偏北45°的方向就是東北方向．()(3)俯角和仰角都是對于水平線而言的．()(4)仰角與俯角所在的平面是鉛垂面．()(5)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×2．若P在Q的北偏東44°50′方向上，則Q在P的()A．東偏北45°10′方向上 B．東偏北44°50′方向上C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南44°50′方向上解析：選C如圖所示．3．兩燈塔A，B與海洋觀察站C的距離都等于a(km)，燈塔A在C北偏東30°，B在C南偏東60°，則A，B之間距離為()A.eq\r(2)akm B.eq\r(3)akmC．a(chǎn)km D．2akm解析：選A在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝eq\r(2)a.故選A.4.如圖，為測塔AB的高度，某人在與塔底A同一水平線上的C點測得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20(eq\r(3)－1)米到達D點，測得∠ADB＝30°，則塔高為()A．40eq\r(3)米 B．20eq\r(3)米C．40米 D．20米解析：選DRt△ABC中，設(shè)AB＝x，則由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20(eq\r(3)－1)，∠ADB＝30°，所以eq\f(x,x＋20（\r(3)－1）)＝tan30°，eq\f(x＋20（\r(3)－1）,x)＝eq\r(3)，解得x＝20.則塔高為20米．故選D.測量距離問題[例1](鏈接教科書第49頁例9)(1)如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸的標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度是________m；(2)如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距40m的C，D兩點，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，則A，B兩點的距離是________．[解析](1)tan30°＝eq\f(CD,AD)，tan75°＝eq\f(CD,DB)，又AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan75°，∴AD＝60eq\r(3)，故CD＝60.故河的寬度為60m.(2)在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝40eq\r(2).在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝20eq\r(2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝(20eq\r(2))2＋(40eq\r(2))2－2×20eq\r(2)×40eq\r(2)cos60°＝2400，∴AB＝20eq\r(6)，故A，B兩點之間的距離為20eq\r(6)m.[答案](1)60(2)20eq\r(6)meq\a\vs4\al()測量距離的基本類型及方案類型A，B兩點間不可達或不可視A，B兩點間可視，但有一點不可達A，B兩點都不可達圖形方法先測角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以點A不可達為例，先測角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB測得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB[跟蹤訓(xùn)練]1．海上A，B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里解析：選D如圖所示，根據(jù)題意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(10,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(\r(3),2))，∴BC＝5eq\r(6)(海里)．故選D.2．某海輪以每小時30海里的速度航行，在點A測得海面上油井P在其南偏東60°方向上；海輪向北航行40分鐘后到達點B，測得油井P在其南偏東30°方向上；海輪改為北偏東60°的航向再行駛80分鐘到達點C，則P，C兩點的距離為()A．20eq\r(7)海里 B.eq\f(20\r(7),7)海里C．20eq\r(3)海里 D.eq\f(20\r(3),3)海里解析：選A如圖，過點P作AB的垂線，垂足為點E.由題意得∠APB＝∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝30×eq\f(40,60)＝20(海里)．在Rt△PAE中，PE＝APsin60°＝10eq\r(3)(海里)．在Rt△PBE中，PB＝eq\f(PE,sin30°)＝20eq\r(3)(海里)．由已知可得∠PBC＝90°，BC＝30×eq\f(80,60)＝40(海里)，∴在Rt△PBC中，PC＝eq\r(PB2＋BC2)＝eq\r(（20\r(3)）2＋402)＝20eq\r(7)(海里).測量高度問題[例2](鏈接教科書第50頁例10)某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度，如圖，在C處進行該儀器的彈射，觀測點A，B兩地相距100m，∠BAC＝60°，在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚eq\f(2,17)s．A地測得該儀器在C處時的俯角為15°，A地測得該儀器在最高點H時的仰角為30°，求該儀器的垂直彈射高度CH.(聲音在空氣中的傳播速度為340m/s)[解]設(shè)AC＝xm，則BC＝x－eq\f(2,17)×340＝(x－40)m.在△ABC中，根據(jù)余弦定理得(x－40)2＝10000＋x2－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°.由eq\f(CH,sin∠CAH)＝eq\f(AC,sin∠AHC)，得CH＝AC·eq\f(sin∠CAH,sin∠AHC)＝140eq\r(6)(m)．故該儀器的垂直彈射高度CH為140eq\r(6)m.eq\a\vs4\al()測量高度的基本類型及方案類型簡圖計算方法底部可達測得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tanC底部不可達點B與C，D共線測得CD＝a及C與∠ADB的度數(shù)．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值點B與C，D不共線測得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度數(shù).在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值[跟蹤訓(xùn)練]如圖所示，為測一建筑物的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點測得建筑物頂端的仰角分別為30°，45°，且A，B兩點間的距離為60m，則該建筑物的高度為()A．(30＋30eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋15eq\r(3))m解析：選A在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60m，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理，得PB＝eq\f(ABsin30°,sin15°)＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))(m)，所以建筑物的高度為PBsin45°＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝(30＋30eq\r(3))(m)．故選A.測量角度問題[例3](鏈接教科書第50頁例11)某海上養(yǎng)殖基地A，接到氣象部門預(yù)報，位于基地南偏東60°相距20(eq\r(3)＋1)海里的海面上有一臺風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時10eq\r(2)海里的速度沿某一方向勻速直線前進，預(yù)計臺風(fēng)中心將從基地東北方向刮過且eq\r(3)＋1小時后開始持續(xù)影響基地2小時．求臺風(fēng)移動的方向．[解]如圖所示，設(shè)預(yù)報時臺風(fēng)中心為B，開始影響基地時臺風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時臺風(fēng)中心為D，則B，C，D在一直線上，且AD＝20，AC＝20.由題意AB＝20(eq\r(3)＋1)，DC＝20eq\r(2)，BC＝(eq\r(3)＋1)·10eq\r(2).在△ADC中，因為DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(\r(3),2).所以∠BAC＝30°，又因為B位于A南偏東60°，60°＋30°＋90°＝180°，又D位于A的正北方向，又因為∠ADC＝45°，所以臺風(fēng)移動的方向為北偏西45°.eq\a\vs4\al()測量角度問題畫示意圖的基本步驟[跟蹤訓(xùn)練]如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向距A點(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，與A距離2nmile的我方緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船，此時走私船正以10nmile/h的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄，問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？解：設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛th，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD＝10eq\r(3)tnmile，BD＝10tnmile.∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝(eq\r(3)－1)2＋22－2(eq\r(3)－1)·2cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)，∵eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠CAB,BC)＝eq\f(2sin120°,\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，∴B點在C點的正東方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.∵eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，∴sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10tsin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°.故緝私船沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船．1．如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的南偏西40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東80° D．南偏西80°解析：選D由條件及題圖可知，A＝B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，故∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2．兩燈塔A，B與海洋觀察站C的距離都等于2km，燈塔A在C北偏東45°，B在C南偏東15°，則A，B之間的距離為()A．2eq\r(3)km B．3eq\r(3)kmC．4eq\r(3)km D．5eq\r(3)km解析：選A作出滿足題意的幾何圖形如圖所示，根據(jù)圖形可知∠ACB＝120°，在△ABC中，AC＝BC＝2km.由余弦定理得AB2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，即AB＝2eq\r(3)km.所以A，B之間的距離為2eq\r(3)km.故選A.3.