工程力學(xué)(天津大學(xué))第13章答案

1/1工程力學(xué)(天津大學(xué))第13章答案習(xí)題解答

13?1木制構(gòu)件中的單元體應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，其中所示的角度為木紋方向與鉛垂線的夾角。試求：

（l）平行于木紋方向的切應(yīng)力；（2）垂直于木紋方向的正應(yīng)力。解：由圖a可知

MPa

0MPa,

6.1,MPa2.0=-=-=xyxτσσ

（1）平行于木紋方向的切應(yīng)力：則由公式可直接得到該斜截面上的應(yīng)力

MPa

1.0)]15(2sin[2

6.12MPa9

7.1)]15(2cos[26

.1226.1215

15=-?+-=-=-?+-+--=

--

τσ（2）垂直于木紋方向的正應(yīng)力

MPa

1.0)752sin(2

6.12MPa52

7.1]752cos[26

.1226.127575-=?+-=-=?+-+--=

τσ由圖b可知

MPa25.1,0,0-===xyxτσσ

（1）平行于木紋方向的切應(yīng)力：則由公式可直接得到該斜截面上的應(yīng)力

MPa

08.1)]15(2cos[25.12cosMPa

625.0)15(2sin25.12sin1515-=-??-==-=-?=-=--

αττατσxx

（2）垂直于木紋方向的正應(yīng)力

MPa

08.1)752cos(25.12cosMPa

625.0)752sin(25.12sin7575=??-===??=-=

αττατσxx

13?2已知應(yīng)力狀態(tài)如圖一所示（應(yīng)力單位為MPa），試用解析法計算圖中指定截面的正應(yīng)力與切應(yīng)力

解：（a）已知MPa20MPa,10,

0MPa3-===xyxτσσ

則由公式可直接得到該斜截面上的應(yīng)力

MPa習(xí)題13?1圖

(a)

(b)

MPa

10)4

2cos(20)42sin(210302cos2sin2MPa

40)4

2sin(20)42cos(21030210302sin2cos22=??-??-=+-==??+??-++=--++=

ππατασστππατασσσσσααxyxxy

xyx

（b）已知MPa

20MPa,10,0MPa3===xyxτσσ

則：

MPa

21.21)5.222cos(20)5.222sin(2

10302cos2sin2MPa

93.12)5.222sin(20)5.222cos(21030210302sin2cos22=??+??-=+-==??-??-++=--++=

ατασστατασσσσσααxyxxy

xyx（c）已知

60MPa

15MPa,20,

MPa10-====ατσσxyx

則：

60(2cos[15)]60(2sin[2

20102cos2sin2MPa

49.30)]60(2sin[15)]60(2cos[22010220102sin2cos22-??+-??-=+-==-??--??-++=--++=

α

τασστατασσσσσααxy

xxy

xy

x

13?3已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（應(yīng)力單位為

MPa），試用圖解法（應(yīng)力圓）計算圖中指定截面的正應(yīng)力與切應(yīng)力。

13?4已知應(yīng)力狀態(tài)如習(xí)題13?2圖所示（應(yīng)力單位為MPa），計算圖示應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力及方位。

習(xí)題13?2圖

(c)

(b)

(a)(d)

習(xí)題13?3圖

(a)

(b)

xyx則由公式可直接得到該單元體的主應(yīng)力

主應(yīng)力為：

因為

，主應(yīng)力

對應(yīng)的方位角為

。

13?5試確定圖示應(yīng)力狀態(tài)中的主應(yīng)力及方位、最大切應(yīng)力（按三向應(yīng)力狀態(tài)考慮）。圖中應(yīng)力的單位為MPa。解：

（a）已知MPa20MPa,20,0MPa4===xyxτσσ

則由公式可直接得到該單元體的主應(yīng)力

主應(yīng)力為：

因為

，主應(yīng)力

對應(yīng)的方位角為

。

(a)

習(xí)題13?5圖

(b)(c)

xyx則由公式可直接得到該單元體的主應(yīng)力

主應(yīng)力為：

因為

，主應(yīng)力

對應(yīng)的方位角為

。

（c）已知MPa20MPa,03,20MPa==-=xyxτσσ

則由公式可直接得到該單元體的主應(yīng)力

主應(yīng)力為：

因為

，主應(yīng)力

對應(yīng)的方位角為

。

13?6已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示（應(yīng)力單位為MPa），試畫三向應(yīng)力圓，求最大切應(yīng)力。

解：圖a為單向應(yīng)力狀態(tài)，圖b為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，圖c為平面應(yīng)力狀態(tài)，其應(yīng)力圓

(a)

習(xí)題13?6圖

τ

(b)(c)

如圖。

最大切應(yīng)力分別為：

13?7已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示，試畫三向應(yīng)力圓，并求主應(yīng)力、最大切應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa）。

解：圖a為三向主應(yīng)力狀

態(tài)

，

，應(yīng)力圓如圖（a）。

圖b一方向為主應(yīng)力，另兩方向為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，則根據(jù)公式可直接得出另兩主應(yīng)力。于是有

其應(yīng)力圓如圖（b）。13

?8圖示懸臂梁，承受荷載F=10KN作用，試求固定端截面上A、B、C三點最大

切應(yīng)力值及作用面的方位。

解：固定端截面的彎矩

,剪

力

。

截面a點的應(yīng)力：

習(xí)題13?7圖

(a)

(b)

習(xí)題13?8圖

圖a

圖b

圖c

圖a

圖b

,其應(yīng)力狀態(tài)為單向應(yīng)力狀態(tài)，即

,最大切應(yīng)力作用面的方位

為

。

截面b點的應(yīng)力：

,其應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)，即

主應(yīng)力：

。

求最大切應(yīng)力作用面的方位先求主應(yīng)力的方位，即

截面c點的應(yīng)力：

,其應(yīng)力狀態(tài)為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，則

,

最大切應(yīng)力作用面的方位為

13?9空心圓桿受力如圖所示。已知

F=20kN，D=120mm，d=80mm，在圓軸

表面A點處測得與軸線成30°方向的線應(yīng)

變ε30°=1.022×10－5，彈性模量E=210GPa,

試求泊松比ν。

解：1、A點對應(yīng)的橫截面上只有正應(yīng)力，即

2、取A點的單元體

3、由斜截面應(yīng)力計算公式有

3、根據(jù)廣義胡克定律有

習(xí)題13?9圖

則

13?10在其本身平面內(nèi)承受荷載的鋁平

扳，巳知在板平面內(nèi)的主應(yīng)變?yōu)棣?=3.5×10-4

，ε3=-5.4×10-4其方向如圖13?10所示。鋁的E＝70GPa，ν＝0.33，試求應(yīng)力分量σx、σy及τx。

解：由題意可知該應(yīng)力狀態(tài)為平面應(yīng)力狀態(tài)，

根據(jù)廣義胡克定律有

代入

得

利用斜截面應(yīng)力公式

及

得

13?11已知各向同性材料的一主應(yīng)力單元體的σ1=30MPa，σ2=15MPa，σ3=-5MPa，材料的彈性模量E=200GPa，泊松比250.ν=。試求該點得主應(yīng)變。

解：直接應(yīng)用廣義胡克定律即可求出。

5-35-24-31108.125-104.375101.375）（（1

?=?=?=+=εεε；；）σσ-νσE

21

13?12圖示矩形板，承受正應(yīng)力σx與σy作用，試求板厚的改變量Δδ與板件的體積改變ΔV。已知板件厚度δ=10mm，寬度b=800mm，高度h=600mm，正應(yīng)力σx=80MPa，

σy=-40MPa，材料為鋁，彈性模量E＝70GPa，泊松比ν＝0.33。

解：由廣義胡克定律即可求出

3

y886.1)

4080(33.010

701-)]([1?=-??=+=σσ-νσExzzε則mmz34

10886.11010886.1--?=??==?δεδ

體應(yīng)變

4

3

10943.1)4080(107033.021)(2-1-?=-??-=+=

yxEσσνθ

板件的體積改變量

習(xí)題13?12圖

h

σx

σy

習(xí)題13?10圖

3457.9321060080010943.1mmVV=????==?-θ

13?13如圖所示，邊長為20cm均質(zhì)材料的立方體，放入剛性凹座內(nèi)。頂部受軸向力F=400kN作用。已知材料的E=2.6×104MPa，ν=0.18。試求下列兩種情況下立方體中產(chǎn)生的應(yīng)力。（1）凹座的寬度正好是20cm；（2）凹座的寬度均為20.001cm。

解：（1）根據(jù)題意立方體兩水平方向的變形為零，即0==yxεε為變形條件，由廣義

胡克定律得

)]([1

0)]([1

xy=+==+=

σσ-νσE

σσ-νσE

zyyzxxεε

上式解出

zyxσν

ν

σσ-=

=1。

式中MPaAF

z100.2

0.2104003=??==σ。代入數(shù)據(jù)，得MPayx195.2100.18

10.18

=?-==σσ

（2）根據(jù)題意立方體兩水平方向的變形為0.001cm，應(yīng)變

5-105.020

0.001

?==

=yxεε，由廣義胡克定律得5

-x5-y105.0)]([1

105.0)]([1

?=+=?=+=

σσ-νσE

σσ-νσE

zyyzxxεε

式中MPaAF

z100.20.2104003=??==σ。上式解出Ezyxσν

νσσ-??==-1100.55。代入數(shù)據(jù)，得

MPa

yx854.2106.2100.18

10.18

100.545=???-?

?==-σσ

13?14已知如圖所示受力圓軸的直徑d=20mm，若測得圓軸表面A點處與軸線45°方向的線應(yīng)變ε45°=5.20×10-4，材料的彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。試求外力偶矩Me。

解：A點應(yīng)力狀態(tài)為純剪切狀態(tài)，故45°方向為主應(yīng)力

習(xí)題13?13圖

20cm20.001cm

方向，且有-0321τσστσ===，，

。由43111020.5)1(1

)(1-?=+=-=

τννσσεE

E得MPa80=τ。對于扭轉(zhuǎn)是A點的切應(yīng)力P

e

MW=

τ，則

mkNDMe?=?

?==6.12516

1080W36Pπ

τ

13?15一直徑為25mm的實心鋼球承受靜水壓力，壓強為14MPa。設(shè)鋼球的

E=210GPa，ν=0.3。試問其體積減少多少？

解：根據(jù)題意有

MPa-14321===σσσ

體應(yīng)變

5

3

321100.-8143100213.021-)(2-1-?=????-=++=

σσσνθE體積改變量

3350.654176

100.8VmmdV=?

?==?-π

θ

13?16試對圖示三個單元體寫出第一、二、三、四強度理論的相當(dāng)應(yīng)力值，設(shè)ν=0.3。

解：(a)由題圖可知

MPaMPaMPa30,10,20321-===σσσ

則

MPaMPaMPaMPa83.45])()()[(2

1

;503020;26)3010(3.020)(;

20213232221r431r3321r21r1=-+-+-=

=+=-==--=+-===σσσσσσσσσσσσνσσσσ

(b)已知MPa

01τ0MPa,

2σ,

30MPaσxyx=-==

習(xí)題13?16圖

(a)

(b)

(c)

MPa

MPaMPa93.21,0,93.31321-===σσσ

則

MPaMPaMPaMPa91.46])()()[(2

1

;86.5393.2193.31;

51.38)93.210(3.093.31)(;

93.31213232221r431r3321r21r1=-+-+-=

=+=-==--=+-===σσσσσσσσσσσσνσσσσ（c）由題圖可知

MPaMPaMPax20,0,51xyyz-====τσσσ

則

MPaMPaMPa20,51,20321-===σσσ

MPaMPaMPaMPa75.37])()()[(2

1

;402020;5.21)2015(3.020)(;

20213232221r431r3321r21r1=-+-+-=

=+=-==--=+-===σσσσσσσσσσσσνσσσσ

則由公式可直接得到該單元體的主應(yīng)力

13?17有一鑄鐵制成的零件。已知危險點處的應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。設(shè)材料的許用拉

應(yīng)力[σt]=30MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=90MPa，泊松比ν=0.25。試用第一和第二強度理論校核其強度。

13?18一工字鋼制成的簡支梁，受力如圖a所示。其截面尺寸見圖b。材料的

[σ]=170MPa，[τ]=100MPa，試校核梁內(nèi)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并按第四強度理論校核危險截面上A點的強度。

習(xí)題13?17圖

習(xí)題13?18圖

單位：MPa（b）

解：（1）橫截面的幾何性質(zhì)

43434231004.21080012

1

)4102024020240121(2mmmmmIz-?=??+??+???=

3

333max,1077.22001040041020240mmmmmSz-*?=??+??=

（2）作簡支梁的剪力圖和彎矩圖。

mkNMkNFs?==870,710maxmax,

（3）梁內(nèi)跨中截面上下邊緣有最大正應(yīng)力為

][17910

04.242.0108703

3maxmaxmaxσσ≈=???==-MPaIyMz（4）梁內(nèi)支座處截面的中性軸上有最大切應(yīng)力為

][4.9610101004.21077.2107103

33

3max

,max,maxττ<=??????==

*MPab

ISFzzs（5）梁內(nèi)集中力作用處左側(cè)截面上的剪力和彎矩為

mkNMkNFcsc?==690,670左

該截面上A點的應(yīng)力為

MPaIyMzCCA13510

04.24.0106903

3=???==-σMPabISFzzSCA6.6410101004.21041020240106703

39

3=????????==*左τ

A點的主應(yīng)力為

9.251616.642135213522

2

31=???-=+?????±=???σσσMPaMPa

由第四強度理論

[]

MPar175)9.25161()9.25(1612

1

2224=+-+=

σ因此，梁是安全的。

13?19圖所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應(yīng)變片測得環(huán)向應(yīng)變εt=350×10-6，。若已知容器平均直徑D＝500mm，壁厚d＝10mm，容器材料的E＝210GPa，ν＝0.25。試：

（1）導(dǎo)出容器橫截面和縱截面上的正應(yīng)力表達(dá)式；（2）計算容器所受的內(nèi)壓力。

答案

13?1σα=-1.773MPa，τα=０.1MP13?2（a）σα=40.3MPa，τα=14MPa。（b）σα=-38.2MPa，τα=0。（c）σα=0.49MPa，τα=-20.5MPa。（d）σα=35.8MPa，τα=-8.66MPa。13?3（a）σα=10MPa，τα=15MPa。

（b）σα=47.3MPa，τα=-7.3MPa。

13?5(a）σ1=52.4MPa，σ2=7.64MPa，σ3=0，α1=-31.8°

（b）σ1=11.23MPa，σ2=0，σ3=-71.2MPa，α1=52.2°（c）σ1=37MPa，σ2=0，σ3=-27MPa0，α1=70.5°13?7(a）σ1=60MPa，σ2=50MPa，σ3=-70MPa，τmax=65MPa