統(tǒng)計(jì)學(xué)第六章抽樣與抽樣估計(jì)課件

第六章抽樣推斷教學(xué)目的：①掌握抽樣調(diào)查的概念特點(diǎn)、應(yīng)用范圍；②理解、掌握抽樣平均誤差和抽樣極限誤差的計(jì)算及誤差范圍和置信區(qū)間；③熟練掌握簡單隨機(jī)抽樣組織方式下如何利用樣本指標(biāo)估計(jì)總體的平均指標(biāo)和成數(shù)指標(biāo)。④掌握假設(shè)檢驗(yàn)的一般問題教學(xué)重點(diǎn)：抽樣調(diào)查的特點(diǎn)、抽樣平均誤差和抽樣極限誤差的計(jì)算及誤差范圍和置信區(qū)間教學(xué)難點(diǎn)：抽樣調(diào)查的特點(diǎn)、抽樣平均誤差和抽樣極限誤差的計(jì)算及誤差范圍和置信區(qū)間

教學(xué)學(xué)時：8學(xué)時3/13/20231統(tǒng)計(jì)推斷的過程總體樣本總體均值、比例、方差樣本統(tǒng)計(jì)量例如：樣本均值、比例、方差3/13/20232第一節(jié)抽樣調(diào)查一、抽樣調(diào)查的概念及特點(diǎn)

1.概念（1）抽樣調(diào)查：從所研究的總體中抽出一部分單位，作為樣本進(jìn)行觀察研究，以認(rèn)識總體的數(shù)量特征一種統(tǒng)計(jì)方法。（2）抽樣估計(jì)：根據(jù)樣本分布的原理、利用樣本資料提供的信息對總體的某些數(shù)量特征進(jìn)行科學(xué)的估計(jì)或推斷。3/13/20233三、抽樣調(diào)查的幾個基本概念

1.總體和樣本（1）總體

總體單位的總數(shù)稱為總體容量（用N表示）。（2）樣本從總體中抽取來代表總體的部分總體單位所構(gòu)成的整體。樣本單位的總數(shù)稱為樣本容量（用n表示）。種類：大樣本小樣本3/13/202352.總體參數(shù)和樣本指標(biāo)（1）總體參數(shù)（總體指標(biāo)）

如（或記為）、P、等。（2）樣本指標(biāo)（估計(jì)量或樣本統(tǒng)計(jì)量）如、p、s等。3.重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣（1）重復(fù)抽樣（回置抽樣）（2）不重復(fù)抽樣（不回置抽樣）3/13/202364.概率抽樣與非概率抽樣（1）概率抽樣基本的組織方式有：整群抽樣、分層抽樣、等距抽樣、簡單隨機(jī)抽樣。（2）非概率抽樣根據(jù)調(diào)查者的經(jīng)驗(yàn)或判斷，從總體中有意識的抽取若干單位構(gòu)成樣本。如典型調(diào)查、重點(diǎn)調(diào)查等。3/13/20237第二節(jié)抽樣誤差一、抽樣誤差的概念（一）抽樣誤差的性質(zhì)

1.抽樣誤差由于隨機(jī)抽樣的偶然因素使各單位的結(jié)構(gòu)不足以代表總體的結(jié)構(gòu)而引起抽樣指標(biāo)與總體指標(biāo)間的絕對離差。2.抽樣調(diào)查中誤差的來源(1)登記性誤差:可避免(2)代表性誤差系統(tǒng)誤差:非隨機(jī)、可避免隨機(jī)性誤差：可計(jì)算、控制抽樣估計(jì)中所指的誤差主要指隨機(jī)誤差。3/13/20239（二）抽誤誤差的影響因素1.樣本容量:即樣本單位數(shù)2.總體差異程度3.抽樣方法4.抽樣組織形式3/13/202310二、抽樣平均誤差（一）抽樣平均誤差的概念

所有可能樣本的估計(jì)值與相應(yīng)總體參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，反映樣本估計(jì)值與其中心的平均離散程度。（二）抽樣平均誤差的計(jì)算公式

3/13/202311

現(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結(jié)果如下表3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個觀察值第一個觀察值所有可能的n=2的樣本（共16個）3/13/202313樣本均值的抽樣分布1.00123P(x)1.53.04.03.52.02.5x

計(jì)算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個觀察值第一個觀察值16個樣本的均值（x）3/13/202314所有樣本均值的均值和方差式中：M為樣本數(shù)目比較及結(jié)論：1.樣本均值的均值（數(shù)學(xué)期望）等于總體均值2.樣本均值的方差等于總體方差的1/n3/13/2023152.抽樣成數(shù)的平均誤差(1)重復(fù)抽樣(2)不重復(fù)抽樣

例：從40000件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200件進(jìn)行檢查，結(jié)果有10件不合格。求合格率的抽樣平均誤差？3/13/202317三、抽樣極限誤差（一）概念又稱允許誤差。指樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間產(chǎn)生抽樣誤差被允許的最大可能范圍。（二）抽樣極限誤差的計(jì)算

3/13/202318（三）抽樣誤差的概率度基于概率估計(jì)的要求，抽樣極限誤差通常需要以抽樣平均誤差為標(biāo)準(zhǔn)單位來衡量。極限誤差除以抽樣平均誤差得到的相對數(shù)稱為概率度。用Z表示。（四）抽樣估計(jì)的置信度

指樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)誤差不超過一定范圍的概率保證程度。抽樣誤差的概率就是概率度Z的涵數(shù)，即：

3/13/202319第三節(jié)簡單隨機(jī)抽樣估計(jì)的方法

一、抽樣估計(jì)的優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)

同一個總體參數(shù)有多個樣本估計(jì)量，究竟哪一個才是最優(yōu)估計(jì)量呢，常用以下三個標(biāo)準(zhǔn)衡量：

1.無偏性：估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)P(X)XCA無偏有偏3/13/202321

2.有效性：一個方差較小的無偏估計(jì)量稱為一個更有效的估計(jì)量。如，與其他估計(jì)量相比，樣本均值是一個更有效的估計(jì)量。AB中位數(shù)的抽樣分布均值的抽樣分布XP(X)3/13/2023223.一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)。AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(X)X3/13/202323幾個總體參數(shù)的無偏、有效、一致點(diǎn)估計(jì)（1）樣本平均數(shù)估計(jì)量是總體平均數(shù)的無偏、有效、一致估計(jì)，即（2）樣本比例是總體比例的無偏、有效、一致估計(jì)，即3/13/202325（3）總體方差的無偏估計(jì)是：3/13/202326落在總體均值某一區(qū)間內(nèi)的樣本95%的樣本x

-1.96xx

+1.96x99.73%的樣本x

-3xx

+3x90%的樣本x

-1.65xx

+1.65x3/13/202329（三）置信水平

總體未知參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率表示為(1-為顯著性水平，是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的概率常用(1-α)%有99%,95%,90%99.73%，95.45%，68.27%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10；0.0027，0.0455，0.31733/13/202330（四）總體均值的區(qū)間估計(jì)

(２已知)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且總體方差（２）已知如果不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來近似(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為以上是重復(fù)抽樣，如果是不重復(fù)抽樣又怎樣呢！3/13/202331總體均值的區(qū)間估計(jì)

（正態(tài)總體：實(shí)例）【例1】某種零件長度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取９件，測得其平均長度為21.4mm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差=0.15mm，試估計(jì)該種零件平均長度的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95。解：已知Ｘ~N(，0.152)，x＝2.14,n=9,1-=0.95，Ｚ/2=1.96

總體均值的置信區(qū)間為我們可以95％的概率保證該種零件的平均長度在21.302～21.498mm之間。3/13/202332總體均值的區(qū)間估計(jì)

（非正態(tài)總體：實(shí)例）【例2】某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時間為26分鐘。試以95％的置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時間（已知總體方差為36分鐘）。解：已知x＝26,=6，n=100,1-=0.95，Ｚ/2=1.96我們可以95％的概率保證平均每天參加鍛煉的時間在24.824～27.176分鐘之間。3/13/202333總體均值的置信區(qū)間

(２未知,小樣本)1. 假定條件總體方差（２）未知總體必須服從正態(tài)分布使用t分布統(tǒng)計(jì)量3.總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為以上是重復(fù)抽樣，如果是不重復(fù)抽樣又怎樣呢！3/13/202334總體均值的區(qū)間估計(jì)

(２未知實(shí)例)【例3】從一個正態(tài)總體中抽取一個隨機(jī)樣本，n=25，其均值`x=50，標(biāo)準(zhǔn)差s=8。建立總體均值m的95%的置信區(qū)間。解：已知Ｘ~N(，2)，x=50,s=8，n=25,1-=0.95，t/2=2.0639。我們可以95％的概率保證總體均值在46.69～53.30之間3/13/202335（五）總體比例的置信區(qū)間1. 假定條件兩類結(jié)果總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ3.總體比例Ｐ

的置信區(qū)間為以上是重復(fù)抽樣，如果是不重復(fù)抽樣又怎樣呢！3/13/202336例4：

某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以99.73%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間?3/13/202337影響區(qū)間寬度的因素1. 數(shù)據(jù)的離散程度，用來測度樣本容量3. 置信水平(1-)，影響Z的大小3/13/202338區(qū)間估計(jì)步驟（以估計(jì)為例）：計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量計(jì)算抽樣平均誤差計(jì)算抽樣極限誤差確定置信區(qū)間3/13/202339

四、樣本容量的確定思考:1.影響樣本容量的因素?2.比例條件下n的確定?3/13/202340

課堂練習(xí):

用簡單隨機(jī)抽樣方法，從一批電子產(chǎn)品中按重復(fù)抽樣抽取100個對其使用壽命進(jìn)行測試，結(jié)果如下：（1）以95.45％的概率保證程度估計(jì)該產(chǎn)品的平均使用壽命區(qū)間？（2）若3000小時以下為不合格品，試以同樣的概率估計(jì)該產(chǎn)品合格率的區(qū)間？

使用壽命（小時）

產(chǎn)品個數(shù)3000以下

153000－4000304000－5000505000以上

53/13/202341第四節(jié)其他抽樣組織方式及其抽樣估計(jì)一、分層抽樣及其抽樣估計(jì)1.分層抽樣的概念2.等比分層抽樣3/13/202342【例1】某地區(qū)對居民在一年內(nèi)用于某類消費(fèi)的支出進(jìn)行了等比例分層抽樣，結(jié)果如下，單位：（元）

要求以95.45%的置信度估計(jì)該地區(qū)平均每戶支出的區(qū)間?調(diào)查戶數(shù)平均支出方差城鎮(zhèn)403502209農(nóng)村802602916解：以95.45%的置信度估計(jì)該地區(qū)平均每戶支出的區(qū)間為288.55至299.45元之間。3/13/2023433.不等比分層抽樣【例2】某企業(yè)生產(chǎn)的1萬件某種產(chǎn)品，有6千件由3年前購進(jìn)的新機(jī)器生產(chǎn)，現(xiàn)在兩類中各抽100件。由舊機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品樣本合格率是94%，新機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品樣本合格率是98%，要求以68.27%的置信度估計(jì)全部產(chǎn)品合格率的區(qū)間?3/13/202344解：N=10000，N1=4000，N2=6000，n1=n2=100,p1=94%,p2=98%,z=1置信上限=96%+1.3%=97.3%上限=96%-1.3%=94.7%以68.27%的置信度估計(jì)全部產(chǎn)品合格率的區(qū)間為94.7%至97.3%3/13/202345二、等距抽樣及其抽樣估計(jì)1.等距抽樣的概念2.無關(guān)標(biāo)志排隊(duì)等距抽樣其抽樣誤差按簡單隨機(jī)抽樣的抽樣誤差公式近似計(jì)算。3.有關(guān)標(biāo)志排隊(duì)等距抽樣其抽樣誤差按分層抽樣的抽樣誤差公式近似計(jì)算。（1）半距起點(diǎn)等距抽樣（2）對稱起點(diǎn)等距抽樣3/13/202346三、整群抽樣及其抽樣估計(jì)1.整群抽樣的概念2.整群抽樣估計(jì)例3某商場有某種飲料500箱,每箱6瓶,現(xiàn)隨機(jī)抽取10箱檢查每瓶的含菌量數(shù),測得這10箱的平均每瓶含菌數(shù)分別為:90、80、65、85、75、70、60、65個。要求以95%的置信度推斷這批飲料的平均含菌數(shù)的區(qū)間？（教材P108）3/13/202347第五節(jié)假設(shè)檢驗(yàn)一、假設(shè)檢驗(yàn)的概念

事先對總體參數(shù)或總體分布形式（特征）作出一個假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著性差異，從而決定應(yīng)接受或否定原假設(shè)。所以，假設(shè)檢驗(yàn)也稱為顯著性檢驗(yàn)。二、假設(shè)檢驗(yàn)的步驟第一步，提出假設(shè)，包括原假設(shè)和備擇假設(shè)3/13/202348

原假設(shè)又稱零假設(shè)，是正待檢驗(yàn)的假設(shè)，記為H0；備擇假設(shè)是拒絕原假設(shè)后可供選擇的假設(shè)，記為H1。

原假設(shè)與備擇假設(shè)是相互對立的，檢驗(yàn)結(jié)果兩者必取其一一般地，假設(shè)有三種形式（1）H0：u＝u0；H1

：u≠u0——雙側(cè)檢驗(yàn)（2）H0：u＝u0；H1

：u＜u0（或H0：u≥u0；H1

：u＜u0）——左側(cè)檢驗(yàn)（3）H0：u＝u0；H1

：u＞u0（或H0：u≤u0；H1

：

u>u0）——右側(cè)檢驗(yàn)3/13/202349第二步，構(gòu)造相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并確定其分布形式——不同的假設(shè)檢驗(yàn)問題需要選擇不同的統(tǒng)計(jì)量作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。第三步，確定顯著性水平和臨界值（單雙側(cè)）。表示H0為真時拒絕H0的概率（小概率），通常取0.1、0.05、0.01、0.05、0.001。第四步，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值或P值。第五步，作出結(jié)論。根據(jù)所計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量的值與臨界值比較（或用P值與對比），確定是否拒絕原假設(shè)——統(tǒng)計(jì)值落在拒絕區(qū)域內(nèi)（或者落在接受區(qū)域內(nèi)的概率P

<1－)。3/13/202350三、假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯誤

在作出接受或者拒絕原假設(shè)的結(jié)論時，是基于樣本信息來判斷的。由于樣本的隨機(jī)性，使假設(shè)檢驗(yàn)有可能出現(xiàn)兩類錯誤。

1、第一類錯誤——拒真錯誤

當(dāng)原假設(shè)H0為真，但由于樣本的隨機(jī)性使樣本統(tǒng)計(jì)量落在了拒絕區(qū)域，從而導(dǎo)致作出的判斷是拒絕原假設(shè),概率P{拒絕H0|H0為真}＝

2、第二類錯誤——取偽錯誤

當(dāng)原假設(shè)H0不真時接受原假設(shè)，取偽概率為3/13/202351四、總體均值、比例的假設(shè)檢驗(yàn)1.總體方差已知時對正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)——Z檢驗(yàn)法（1）雙側(cè)檢驗(yàn)：H0：u＝u0；H1

：u≠u0

，則臨界值為Z－a/2和Za/2，當(dāng)|Z|>Za/2時拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)；（2）左側(cè)檢驗(yàn)：H0：u＝u0（或H0：u≥u0）；H1

：u＜u0

，則臨界值為－Za，當(dāng)Z<－Za時拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)；3）右側(cè)檢驗(yàn)：H0：u＝u0（或H0：u≤u0）

；H1

：u＞u0

，則臨界值為Za，當(dāng)Z>Za時拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)；3/13/202352【例】某品牌精煉油標(biāo)明每桶凈重量不低于3公斤。現(xiàn)隨機(jī)抽驗(yàn)了36桶油，計(jì)算其平均凈重為2.92公斤，并且已知總體標(biāo)準(zhǔn)差為0.18公斤。試在0.05的顯著性水平下檢驗(yàn)每桶油凈重不低于3公斤的說法是否成立。第一步：確定假設(shè)——H0：≤3；H1：＞

3

第二步：確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量第三步：求臨界值——第四步：比較統(tǒng)計(jì)量與臨界值大小由于Z＜Zα

接受H0即每桶油凈重低于3公斤。3/13/2023532.總體方差未知時對正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)——t檢驗(yàn)法（1）雙側(cè)檢驗(yàn)：當(dāng)|t|>ta/2時拒絕H0，否則接受H0

（2）左側(cè)檢驗(yàn)：當(dāng)t<－ta時拒絕H0，否則接受H0（3）右側(cè)檢驗(yàn)當(dāng)t>ta時拒絕H0，否則接受H0

【例4.7】1998年全國人均年消費(fèi)支出為1590元，同期在新疆一個25戶家庭組成的樣本表明，其年人均消費(fèi)支出為1450元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為220元。試以0.1的顯著性水平判斷，新疆的人均年消費(fèi)支出是否明顯地低于全國平均水平？3/13/202354解：設(shè)H0：≥1590H1：<1590由=0.1有：-t（25-1）

=-1.3178由于t值小于-t

，落在拒絕域中，故拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。3/13/2023553.總體比例的假設(shè)檢驗(yàn)——大樣本下近似采用Z檢驗(yàn)法提出假設(shè)：H0：P＝p0；H1：P≠p0確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：確定臨界值Za/2（Za）比較臨界值與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的大小，作出判斷例（P119例6-4）3/13/202356關(guān)鍵點(diǎn)：原假設(shè)與備擇假設(shè)的選擇定義:原假設(shè)通常是研究者想收集證據(jù)予以反對的假設(shè)備擇假設(shè)是是研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)原則：1、兩者相互對立，是完備事件組2、一般先確定備擇假設(shè)，然后再確定原假設(shè)3、在假設(shè)檢驗(yàn)中“=”總是放在原假設(shè)上。4、兩者有一定的主觀色彩，取決于研究目的。5、假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)康闹饕鞘占C據(jù)來拒絕原假設(shè)。不拒絕原假設(shè)，不意味著接受原假設(shè)。3/13/202357五、假設(shè)檢驗(yàn)中的其它問題1.區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的關(guān)系（1）兩者的區(qū)別——區(qū)間估計(jì)是根據(jù)樣本資料估計(jì)總體參數(shù)的真值，而假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)樣本資料來檢驗(yàn)對總體參數(shù)的先驗(yàn)假設(shè)是否成立——區(qū)間估計(jì)通常求得的是以樣本估計(jì)值為中心的雙側(cè)置信區(qū)間，而假設(shè)檢驗(yàn)不僅有雙側(cè)檢驗(yàn)也常常有單側(cè)檢驗(yàn)3/13/202358——區(qū)間估計(jì)立足于大概率，以較大的概率（1－a）去估計(jì)總體參數(shù)的置信區(qū)間，而假設(shè)檢驗(yàn)立足于小概率，通常給定很小的顯著性水平a去檢驗(yàn)對總體參數(shù)的先驗(yàn)性假設(shè)是否成立（2）相同點(diǎn)——都是根據(jù)樣本信息對總體參數(shù)進(jìn)行推斷——都是以抽樣分布理論為依據(jù)，建立在概率基礎(chǔ)上推斷——推斷的結(jié)果都有一定的可信程度或者風(fēng)險3/13/202359【例4.8】高爾夫球生產(chǎn)企業(yè)規(guī)定，合格球的射程為280碼。某日隨機(jī)抽取36個球組成一個樣本，測得其平均射程為278.5碼，標(biāo)準(zhǔn)差為12碼。試在顯著