工程力學第八章

本文格式為Word版，下載可任意編輯——工程力學第八章主編張明影副主編魏曉棠,北京理工大學出版社,國家示范性高等職業(yè)教導規(guī)劃教材,第六章拉壓與剪切,第五章材料力學的概念,第八章梁的彎曲,第七章圓軸的旋轉(zhuǎn),其次模塊材料力學,第九章梁的變形,第六章拉壓與剪切,第十章壓桿穩(wěn)定,第六章拉壓與剪切,第五章材料力學的概念,第八章梁的彎曲,其次模塊材料力學,第九章梁的變形,第六章拉壓與剪切,第十章壓桿穩(wěn)定,其次模塊材料力學,第八章梁的彎曲,8.1工程中的彎曲問題8.2梁的計算簡圖8.3剪力和彎矩8.4剪力和彎矩方程剪力圖和彎矩圖8.5梁對稱彎曲時的正應力8.6梁對稱彎曲時的切應力8.7梁的強度條件及應用8.8提高梁強度的措施,第八章梁的彎曲,8.1工程中的彎曲問題構件在各自的載荷作用下，其軸線將由原來的直線彎成曲線，此種變形稱為彎曲。以彎曲變形為主的桿件通常稱為梁。,圖8—1,圖8—2,第八章梁的彎曲,工程實際中，絕大片面梁的橫截面至少有一根對稱軸，全梁至少有一個縱向?qū)ΨQ面。使桿件產(chǎn)生彎曲變形的外力確定垂直于桿軸線，若這樣的外力又均作用在梁的某個縱向?qū)ΨQ面內(nèi)（如圖8—3所示），那么梁的軸線將彎成位于此對稱面內(nèi)的一條平面曲線，此種彎曲稱為對稱彎曲。,第八章梁的彎曲,8.2梁的計算簡圖一、載荷的簡化一般可將載荷簡化為兩種形式。當載荷的作用范圍很小時，可將其簡化為集中載荷（如圖8-3中的集中力P、集中力偶m）。若載荷連續(xù)作用于梁上，那么可將其簡化為分布載荷，呈平勻分布的載荷稱均布載荷（如圖8-3中的均布載荷q）。分布于單位長度上的載荷大小，稱為載荷集度，通常以q表示。國際單位制中，集度單位N/m，或KN/m。,第八章梁的彎曲,8.2梁的計算簡圖二、實際約束的簡化a滑動鉸支座這種支座只在支承處限定梁沿垂直于支座平面方向的位移，因此，只產(chǎn)生一個垂直于支座平面的約束力（圖8-4a）。

b固定鉸支座這種支座在支承處限定梁沿任何方向的位移，因此，可用兩個分力表示相應的約束力（圖8—4b）。,第八章梁的彎曲,C固定端這種約束既限定梁端的線位移，也限定其角位移，因此，相應的約束力有三個：兩個約束分力，一個約束力偶（圖8—4c）。,第八章梁的彎曲,8.2梁的計算簡圖三、梁的類型約束反力全部可以根據(jù)平衡方程直接確定，這樣的梁稱為靜定梁。根據(jù)約束的類型及其所處位置，可將靜定梁分為三種根本類型：

a．簡支梁一端為固定鉸支座，另一端為滑動鉸支座的梁。如圖8—1bb．外伸梁簡支梁的一端或兩端外伸。如圖8—2bc．懸臂梁一端固定而另一端自由的梁。如圖8－5,圖8—1,圖8—2,第八章梁的彎曲,8.3剪力和彎矩梁上的載荷及約束力確定后，即可利用截面法分析梁的內(nèi)力，進而為計算梁的強度及剛度做好打定。

以圖8—6為例，用截面法分析C處截面的內(nèi)力：

首先依據(jù)平衡條件確定約束力。因該梁布局及所受載荷對稱，故可直接求出約束力,,第八章梁的彎曲,以一假想平面在C處將梁截開，選其中一片面（左段）為研究對象，分析AC段受力（如圖8－6）。AC段上作用著均布載荷q、約束力RA這樣的外載荷、及C截面的內(nèi)力（BC段對AC段的作用力）。由平衡條件可知，C截面上確定存在沿鉛垂方向的內(nèi)力，這種與截面平行的內(nèi)力稱為剪力，以Fs表示。剪力的大小及實際方向由平衡方程確定：,,,,,（C截面上剪力的實際方向向下）,第八章梁的彎曲,又由平衡條件可知，C截面上確定存在另一個內(nèi)力分量，即力偶。此力偶的作用面位于梁的對稱面，其矢量垂直于梁的軸線，此內(nèi)力分量稱為彎矩，以M表示。彎矩的大小及實際方向由平衡方程確定：

注：一般將所求截面的形心作為力矩平衡方程的矩心,,,,,,,,（C截面彎矩的實際方向為逆時針）,圖8—7,第八章梁的彎曲,在上面以截面法計算彎曲內(nèi)力的過程中，我們選取了左段作為研究對象，所求得的剪力與彎矩是C處左截面上的彎曲內(nèi)力。若選取右段作為研究對象，所求得的彎曲內(nèi)力那么為C處右截面的內(nèi)力，而左、右截面上剪力、彎矩的方向確定是相反的（因其為作用力與反作用力的關系），如圖8—8所示。

因此，有必要對彎曲內(nèi)力的符號做如下規(guī)定：

使研究段產(chǎn)生順時針旋轉(zhuǎn)趨勢的剪力為正，反之為負；

使留存段產(chǎn)生下凸變形的彎矩為正，反之為負。如圖8-8,8-9所示。,,,,,圖8-8,圖8-9,第八章梁的彎曲,,,,,,綜上所述，可將計算彎曲內(nèi)力的方法概括如下：,1、在需要計算內(nèi)力的截面處，以一個假想的平面將梁切開，選其中一段為研究對象（一般選擇載荷較少的片面為研究對象，以便于計算）2、對研究對象舉行受力分析，此時，一般按正方向畫出剪力與彎矩。

3、由平衡方程計算剪力Fs4、以所切截面形心為矩心，由平衡方程計算彎矩。,第八章梁的彎曲,,,,,,8.4剪力和彎矩方程剪力圖和彎矩圖梁橫截面上的剪力與彎矩是隨截面的位置而變化的。在計算梁的強度及剛度時，務必了解剪力及彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律，從而找出最大剪力與最大彎矩的數(shù)值及其所在的截面位置。

沿梁軸方向選取坐標x，以此表示各橫截面的位置，建立梁內(nèi)各橫截面的剪力、彎矩與x的函數(shù)關系，即,,,,,上述關系式分別稱為剪力方程和彎矩方程。

若以x為橫坐標，以Q或M為縱坐標，將剪力、彎矩方程所對應的圖線繪出來，即可得到剪力圖與彎矩圖。,第八章梁的彎曲,,,,,,例8—1．一懸臂梁AB（圖8—9a），右端固定，左端受集中力P作用。作此梁的剪力圖及彎矩圖。

解：

（1）列剪力方程與彎矩方程以A為坐標原點，在距原點x處將梁截開，取左段梁為研究對象，其受力分析如圖8—10b由平衡方程求x截面的剪力與彎矩,,,,,,,,,（2）依據(jù)剪力方程與彎矩方程作出剪力圖與彎矩圖由剪力方程可知，梁各截面的剪力不變，因此剪力圖為一條水平直線。如圖8—10c由彎矩方程可知，彎矩是x的一次函數(shù)。

如圖8-10d,第八章梁的彎曲,,,,,,例8—2．一簡支梁AB受集度為q的均布載荷作用（圖8—10a）。作此梁的剪力圖與彎矩圖。,,,解：(1)求支座反力(2)列剪力方程與彎矩方程在距A點x處截取左段梁為研究對象，其受力如圖9—10b。由平衡方程得由得,,,,,,第八章梁的彎曲,,,,,,（3）畫剪力圖與彎矩圖由剪力方程可知剪力圖為一斜直線。（兩點確定一線：x=0時，Q=ql/2；

x=l時，Q=-ql/2）如圖8—10c由彎矩方程可知彎矩圖為一拋物線：

拋物線上凸；

在x=l/2處，彎矩有極值，Mmax=ql2/8；

x=0及x=l時，M=0。如圖8—10d由剪力圖及彎矩圖可見，在靠近兩支座的橫截面上剪力的十足值最大。在梁的中點截面上，剪力為零，而彎矩最大。,,,第八章梁的彎曲,,,,,,例8—3．圖8—12a所示簡支梁，在截面C處受集中力P作用，試作梁的剪力圖與彎矩圖。

解：

1、計算支反力。由平衡方程,,,,,和,分別求得：,,,2、建立剪力方程與彎矩方程由于C處有集中力P作用，故AC和BC兩段梁的剪力方程和彎矩方程不同，務必分別列出。,第八章梁的彎曲,,,,,,,,,,,,BC段：

為計算簡便，以B為原點，在距B點X2處截取梁的右段作為研究對象，其受力如圖9—11c所示。根據(jù)平衡條件分別得：,AC段：

以A為原點，在距A點X1處截取左段梁作為研究對象，其受力如圖8—11b所示。根據(jù)平衡條件分別得,,,,,第八章梁的彎曲,,,,,,3、畫剪力圖與彎矩圖根據(jù)AC、BC兩段各自的剪力方程與彎矩方程，分別畫出AC、BC兩段梁的剪力圖與彎矩圖。圖8—12d、8—12e可以看出，截面C的彎矩最大。假設a＞b，那么BC段的剪力的十足值最大。

結(jié)論：

在集中力作用處，其左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩一致，而剪力那么發(fā)生突變，突變量等于該集中力之值。,,,第八章梁的彎曲,,,,,,例8—4．圖8—13a所示簡支梁，在截面C處受到矩為m的集中力偶作用，試作梁的剪力圖與彎矩圖。

解：1、計算支反力。由平衡方程,,,,與,,,分別求得：,,,,2、建立剪力方程與彎矩方程分別于C—與C+處將梁截開，分別取左段與右段為研究對象，并分別以Q1、M1和Q2、M2代表它們各自的內(nèi)力，可求得：,第八章梁的彎曲,,,,,,,,,,,,,,,,3、畫剪力圖與彎矩圖根據(jù)剪力方程及彎矩方程，可作出如圖7—12b、c所示的剪力圖與彎矩圖。

結(jié)論：

在集中力偶作用處，其左右兩側(cè)橫截面上的剪力一致，但彎矩那么發(fā)生突變，突變量等于該集中力偶之矩。,第八章梁的彎曲,,,,,,8.5梁對稱彎曲時的正應力圖8—14a所示簡支梁，在P力作用下，產(chǎn)生對稱彎曲。查看圖8—14b、c所示的該梁的剪力圖與彎矩圖，CD段梁的各橫截面上只有彎矩，而剪力為零，我們稱這種彎曲為純彎曲。AC、BD段梁的各橫截面上同時有剪力與彎矩，這種彎曲稱為橫力彎曲。為了更集中地分析正應力與彎矩的關系，下面我們將以純彎曲為研究對象，去分析梁橫截面上的正應力。,,,第八章梁的彎曲,,,,,,8.5梁對稱彎曲時的正應力一、純彎梁橫截面上的正應力1．純彎曲的測驗現(xiàn)象及相關假設為了研究橫截面上的正應力，我們首先查看在外力作用下梁的彎曲變形現(xiàn)象：

取一根矩形截面梁，在梁的兩端沿其縱向?qū)ΨQ面，施加一對大小相等、方向相反的力偶，即使梁發(fā)生純彎曲（圖8—15）。我們查看到如下的測驗現(xiàn)象：,,,第八章梁的彎曲,,,,,,8.5梁對稱彎曲時的正應力（1）梁外觀的縱向直線均彎曲成弧線，而且，靠頂面的縱線縮短，靠底面的縱線拉長，而位于中間位置的縱線長度不變。

（2）橫向直線仍為直線，只是橫截面間作相對轉(zhuǎn)動，但仍與縱線正交。

（3）在縱向拉長區(qū)，梁的寬度略減小，在縱向縮短區(qū)，梁的寬度略增大。

根據(jù)上述外觀變形現(xiàn)象，我們對梁內(nèi)部的變形及受力作如下假設：

（1）梁的橫截面在梁變形后仍保持為平面，且仍與梁軸線正交。此為平面假設。

（2）梁的全體與軸線平行的縱向纖維都是軸向拉長或縮短（即縱向纖維之間無相互擠壓）。此為單向受力假設。,,,第八章梁的彎曲,,,,,,8.5梁對稱彎曲時的正應力我們將與底層平行、縱向長度不變的那層縱向纖維稱為中性層。中性層即為梁內(nèi)縱向纖維伸長區(qū)與縱向纖維縮短區(qū)的分界層。

中性層與橫截面的交線被稱為中性軸。

概括起來就是：

純彎梁變形時，全體橫截面均保持為平面，只是繞各自的中性軸轉(zhuǎn)過一角度，各縱向纖維承受縱向力，橫截面上各點只有拉應力或壓應力。,,,第八章梁的彎曲,,,,,,8.5梁對稱彎曲時的正應力2.純彎梁變形的幾何規(guī)律我們用相距為dx的兩橫截面1—1與2—2，從矩形截面的純彎梁中切取一微段作為分析對象（如圖8—16a），并建立圖示坐標系：z軸沿中性軸，y軸沿截面對稱軸。梁彎曲后，設1—1與2—2截面間的相對轉(zhuǎn)角為dθ、中性層O1O2的曲率半徑為ρ，我們分析距中性層為y處的縱線ab的變形量：,,,第八章梁的彎曲,,,,,,,,,故ab縱線的正應變那么為：

上式說明：每層縱向纖維的正應變與其到中性層的距離成線形關系。

3、物理方程與應力分布由于各縱向纖維只承受軸向拉伸或壓縮，于是在正應力不超過比例極限時，由虎克定律知,,（8—1）,,,（8—2）,上式說明了橫截面上正應力的分布規(guī)律，即正應力沿截面高度呈線形分布，而中性軸上各點的正應力為零。如圖8—17,第八章梁的彎曲,,,,,