微分幾何課后習(xí)題解答

第二章曲面論

§1曲面的概念

1.求正螺面尸={ucosv,usinv,bv}的坐標(biāo)曲線.

解U-曲線為尸={心°$%,usmvo,bvO}={0,0,bv。}+u

{COS%,Sin%,0},為曲線的直母線；V-曲線為尸=產(chǎn)。cosv,%sinv,bv}為圓柱

螺線.

2.證明雙曲拋物面尸={a(u+v),b(u-v),2uv)的坐標(biāo)曲線就是它的

直母線。

證u-ffi^^jr={a(u+vo),b(u-vo),2uv<?}={avo,bvo,0}+u{a,b,2vo)

表示過點(diǎn){av0,b%,0}以{a,b,2%}為方向向量的直線；

v-曲線為7={a("o+v),b(No-v),2〃Ov}={a"。，b〃o,O}+v{a,-b,2遼o}

表示過點(diǎn)(a%,bwo,0)以{a,-b,2"。}為方向向量的直線。

3.求球面尸/acosSsmeacosSsingasin陰上任意點(diǎn)的切平面和法線方

程。

解弓二{一"sinSeos。，一asin3sin0,acos研，乙

={-acosSsin(p,acos3cos迎0)

任意點(diǎn)的切平面方程為

x-acosmeascpy-acos,9sinq>z-asin3

-asin3cos#-asin3sin*acos&-0

-acos19sin(pacoscosCp0

即xcos3cos*+ycosSsin*+zsin"-a=0；

x-acosSeoscp_y-acosSsinz-asin3

法線方程為cos0cos(pcos3sin/sin3

__+已__=1

4.求橢圓柱面『/一在任意點(diǎn)的切平面方程，并證明沿每一條直母線,

此曲面只有一個(gè)切平面。

____1__—1

解橢圓柱面1b2■的參數(shù)方程為X=cosS,y=asinS,z=t,

={-asinS,bcos3,0}

%={0,0,1)o所以切平面方程為：

x-?cos3y—小sin3z-t

-々sin35cos30=0

001即xbcos*+yasin"-ab=0

此方程與t無關(guān)，對(duì)于9的每一確定的值，確定唯??個(gè)切平面，而日的每一數(shù)

值對(duì)應(yīng)一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個(gè)切平面。

r={u,v,—)_

5.證明曲面uv的切平面和三個(gè)坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積

是常數(shù)。

ru=(1,0,-rv=(0,1,--^y)-+—+^-^=3

證“v,"V。切平面方程為：“vao

3a2

與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,4)o于是,四面體的體積

為：

F=-3|u|3|v|—=-a3

6luvl2是常數(shù)。

§2曲面的第一基本形式

1.求雙曲拋物面尸={a(u+v),b(u-v),2uv}的第一基本形式.

222

解匕={a,b,2v],rv=[a-b,2u},E=F：=a+b+4v,

22222

F=ru-rY=a-b+Auv,G=f^=a+b+4u

...J_(/+/+4y2)di+2(/一力2+4〃v)血dv++力2+4〃2)的2。

2.求正螺面尸={ucosv,usin%bv}的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲

線互相垂直。

=

解(cosv,sinv,0),z\=[-usinv,ucosvrb)S==1F=乙無=0

222

G=%2=/+“2,...1=du+(u+b)dv\?.?F=0,.,.坐標(biāo)曲線互相垂直。

3.在第一基本形式為I=成2+sinh2〃/的曲面上，求方程為u=丫的

曲線的弧長。

解由條件杰2=成2+Sinh2以內(nèi)2,沿曲線u=V有du=dv,將其代入心2得

ds2=2+sinh2^v2=cosh2vdv2,ds=coshvdv,在曲線u=v上，從匕到內(nèi)

I「'coshvdv\=\sinhv-sinhv,I

的弧長為A0O

4.設(shè)曲面的第?基本形式為I=">+(/+/〃/,求它上面兩條曲線u

+v=0,u-v=0的交角。

分析由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不

變量只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。

解由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量￡=1,鳥=0,

G=u2+a2,曲線u+v=0與u-v=0的交點(diǎn)為u=0,v=0,交點(diǎn)處的

2

第一類基本量為5=1,K=0,G=a0曲線u+v=0的方向?yàn)閐u=-dv,u

-v=0的方向?yàn)?u=6v,設(shè)兩曲線的夾角為中，則有

EduSu+Gdv&i_1-以2

cos7=、32+3的2+G?21+a2。

5.求曲面z=axy上坐標(biāo)曲線x=x°,y。的交角.

解曲面的向量表示為尸={x,y,axy},坐標(biāo)曲線x=x。的向量表示為廣

={x°,y,ax°y},其切向量弓={0,1,ax。}；坐標(biāo)曲線y=丫。的向量表示為尸=儀,

M),axV。},其切向量％={1,0,a'。},設(shè)兩曲線x=x。與y=尢的夾角為。,

ry_/麗丁。

則有COS。=""?Jl+a'；

6.求U-曲線和V-曲線的正交軌線的方程.

解對(duì)于U-曲線dv=0,設(shè)其正交軌線的方向?yàn)閟U：6V,則有

Edu8u+F(du6v+dv6u)+Gdv6V=0,將dv=0代入并消去du得u-曲線

的正交軌線的微分方程為E6u+F5v=0.

同理可得V-曲線的正交軌線的微分方程為F6u+G6V=0.

7.在曲面上一點(diǎn)，含du,dv的二次方程Mi?+2Qdudv+Rd>

確定兩個(gè)切方向（du:dv）和（6u：6v）,證明這兩個(gè)

方向垂直的充要條件是ER-2FQ+GP=O.

證明因?yàn)閐u,dv不同時(shí)為零，假定dv。0,則所給二次方程可寫成為

（空）2也du也包duSuRduSu2Q

P4+2Qdy+R=0,設(shè)其二根dy,加,則小加二產(chǎn)，dy+加二P.......①

du&du3u

又根據(jù)二方向垂直的條件知Edv的+F（dv+歷）+G=0...②

將①代入②則得ER-2FQ+GP=0.

8.證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為Ed〃2=Gdy2.

證用分別用6、S'、d表示沿u一曲線，v一曲線及其二等分角線的微分

符號(hào)，即沿u一曲線6u±0,6V=0,沿v一曲線了u=0,了V。0.沿

二等分角軌線方向?yàn)閐u:dv，根據(jù)題設(shè)條件,又交角公式得

{Edu?+Fdv&）2_{Fdu8*v+Gdvd*v）2{Edu+Fdv）2（Fdu+Gdv）2

一a2ds2-G6*v2ds2,即E=G

展開并化簡得E（EG->）八。（EG-尸b衣\而EG-FBO,超EG-我得坐標(biāo)曲

線的二等分角線的微分方程為E而、Gd/.

9.設(shè)曲面的第一基本形式為1=求曲面上三條曲線u

=±av,v=1相交所成的三角形的面積。

解三曲線在平面上的圖形（如圖）所示。曲線圍城的三角形的面積是

23____________

[-—（U2+/）5+公+M+/ln（V+、72+以2）]加

3a

［立避+1n(1+e)］

=3。

10.求球面尸二{?cosSsincp,acosSsincp,asin研的面積。

現(xiàn)單可二{一以sinSeos0,一以sin3sincos3),可

_{-acos19sin0,acos3cos0,0}

E二弓二.，p=G々=o,G='戶=/cos?3.球面的面積為：

32s_________XX

J*d3jJa4cos'Sdq)=2加［訝cos%S=2m2sin3閂=4TEZ”

S="2o~2-2

11.證明螺面尸二｛ucosv,usinv,u+v｝和旋轉(zhuǎn)曲面尸二｛tcos?tsin",J/一1｝

(t>l,0<3<2不)之間可建立等距映射鳧aretgu+v,t=J/+1.

分析根據(jù)等型里的充分條件，要證以上兩曲面可建立等距映射s=

aretgu+v,t=/再工，可在一個(gè)曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲

面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù),然后證明在新的參數(shù)下,兩曲面具有相同的第一基本

形式.

證明螺面的第一基本形式為I=2dM+2dudv+(M+l)d/,旋轉(zhuǎn)曲面的第

/2

——)d產(chǎn)+產(chǎn)ds

-—基本形式為1=t-1，在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換3=arctgu

+v,t"+1,則其第一基本形式為：

(1+++1)(_1^成+a)2

UM+114-u

匹聿+1)"+_^_成2+2威力+32+1加

=U11+/=2威+2dudv+(〃+l)dv'=

I.

所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射&=arctgu+v,t+1.

§3曲面的第二基本形式

1.計(jì)算懸鏈面產(chǎn)={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形

式.

解心={sinhucosv,sinhusinv,1},弓二{-coshusinv,coshucosv,0)

。&二{coshucosv,coshusinv,0},r^={-sinhusinv,sinhucosv,0},

r

w={-coshucosv,-coshusinv,0},一/二coshu,一乙弓二0,一勺=cosh

u.

所以I=cosh2ud/+cosh2u^2.

ax%1................

/=----r—(-coshucosv,-coshusinv,sinhusinv)

n=yfSG-F-coshJu,

coshucoshu

——=-1—-

L=Vsinh2+l,M=0,N=<inh=].

所以II=-dJ+d/o

2.計(jì)算拋物面在原點(diǎn)的"3=+4勺叼+2^第一基本形式,第二基本形

式.

產(chǎn)={場,電,2彳；+2xiX。+制)

解曲面的向量表示為21,

%={L°，5X]+2X)(O,O)={L°，°}r心={0，1，2々+2g}(0,0)={01°}分兇=

2，，，

々澳=1002),0=(0,0,2),E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,

+d君[[=5dx；+443叼+2d君

3.證明對(duì)于正螺面尸={ucosv,usinv,bv},-°°<u,v<8處處有

EN-2FM+GL=0o

解ru=(cosv,sinv,0),rv=(-usinv,ucosv,b}{0,0,0},

%={-uucosv,cosv,0},即={-ucosv,-usinv,0},*=￡=L

-b

G=F；="W,L=O,M=協(xié)+：

,N=0.所以有EN-2FM+GL=0.

z=—(ax2+如2)

4.求出拋物面2在(0,0)點(diǎn)沿方向(dx:dy)的法曲率.

解

々=Q，0,g似。)=Q，0,0}5={0，1削}電。)={OJO。={0,0,a)%={。,。,。)

，，，

”{0,0,6,E=],F=0,G=l,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率

_adx2+bdy2

x=dx2+力2

5.已知平面”到單位球面(S)的中心距離為d(0〈d〈l),求不與(S)交線的曲

率與法曲率.

解設(shè)平而不與(S)的交線為(C),則(C)的半徑為即⑹的曲率為

加二尸,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于土石二戶，所

以(C)的法曲率為用=-d2=±1.

k=一

6.利用法曲率公式I,證明在球面上對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類

基本量成比例。

證明因?yàn)樵谇蛎嫔先我稽c(diǎn)處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率

為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)(u,v),沿任意方向

du:dv

11Ldii1+2Mdudv+AWv211LMN,1.

?！?=7丁----——(=J

1Edu1+2Fdudv+Gdv1我或-R,所以后FGR,即第一、

第二類基本量成比例。

7.求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。

證明對(duì)于正螺面尸={ucosv,usmv,bv),

一

kSosv,sinv,0},弓=(-usin”cosv，嘰加=8,={“cosv,-usinv,0},

(%，%，。)阮,E，晨)

2=0,N=J&G-F*=0.所以u(píng)族曲線和V族曲線都是漸近線。而

L=7￡G-F

u族曲線是直線，v族曲線是螺旋線。

2

8.求曲面z=?的漸近線.

解曲面的向量表示為廠={xJ，為/),弓+{L0，/},

5=(o,i,2x7)，4=mo)

)={0,0,2y},%={0,0,2x},￡=彳+l+41/,F=Z,弓=2xy2,G=ry=1+4x2y2

L=O,M=2y—,N=2%—

J]+4.2y2+/J]+"y2+y4

漸近線的微分方程為￡辦2+2肱改方+加川,即4Wx0+2x02=0,一族為dy=o,

即。為常數(shù).另一族為2ydx=-xdy,即必x21y=勺,或?yàn)樯?c,c為常數(shù)..

9.證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.

證在每一條曲線(C)的主法線曲面上，沿(C)的切平面是由(C)的切向量與

(0的主法向量所確定的平面,與曲線(C)的密切平面重合,所以每一條曲線(C)在

它的主法線曲面上是漸近線.

方法二：任取曲線？:尸=底$),它的主法線曲面為

SR=R(s")=7(s)+/(s),

p5=1(s)+z/(s)=a+t(-x:a+Ty)=(l-zr)5+ziyPt=P

網(wǎng)x4=-tfca+(l-tK)y

一p.XjS一

題―—]——y

在曲線「上，t=0,網(wǎng)乂存二九曲面的單位法向量JEG-F2,即

萬=廣，所以曲線「在它的主法線曲面上是漸近線.

10.證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù)，y=常數(shù)構(gòu)成共胡網(wǎng).

證曲面的向量表示為7={x,y,￡&)+8?)}建=常數(shù),丫=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲

線。

%={1,0,/),月(01力.z={0,0，/}，%={0,0,0)，3=電0國')，

M=%

因?yàn)?，所以坐?biāo)曲線構(gòu)成共貌網(wǎng)，即曲線族x=常數(shù)，丫=常

數(shù)構(gòu)成共輾網(wǎng)。

11.確定螺旋面尸={ucosv.usinv.bv}上的曲率線.

解弓={cosv,sin丫,0},鼠={-“sinv,ucos巳切，勺心位°,0},%

{-ucosv,-usinv,0},%={-sinv,cosv,0},"一乙一)'一%，%一0,

—b

G=+8?L=0,MO,N=0,曲率線的微分方程為:

dv2-dudvdu2

10it"+b0

-b1

00dv=±：du

或2+川

，即JM+"，積分得兩族曲率線方

程:

22

v=ln(w+及2+)+q和y=ln(-ju+b-w)4-c2

12.求雙曲面z=axy上的曲率線.

222

E=}+ay\F=a\y\G=}+aX\L=0,M=-^==^==

解^11+ax+ay

N=0.

我一dxdydx

l+d?2x2a2x2y21+a2x

a

00

+ax+ay=0得(1+//)蘇=(1+。。2)力2,積

由

分得兩族曲率線為網(wǎng)壩+Jl+M，)=±]n(ay+Jl+a3)+c

f={—(u-v),-(u+v),—)

13.求曲面222上的曲率線的方程.

?a2+￡>2+v2?-a2+62+?v~a2+b2+u

a=-----------,r=-------------,Cr=,￡=0,

解444

%

M=JEG_?2,N=O.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是:

(a2+/+〃')*>=(a2+3,+/)d以\積分得.

ln(u+J&2+\2+M)=±1n(v+Ja'+[2+/)+c

14.給出曲面上一曲率線L,設(shè)L上每一點(diǎn)處的副法線和曲面在該點(diǎn)的法向

量成定角，求證L是一平面曲線.

證法一：因L是曲率線,所以沿L有而=一。",又沿L有九為=常數(shù)，求微

商

得中為+?月=0,而歸"d萬"亦與證交，所以另卷=0,即.?=o,則有7=0,

或方.為=0.

若7=0,則L是平面曲線；若B.?=0,L又是曲面的漸近線，則沿L,K*

=0,這時(shí)腑司，萬為常向量，而當(dāng)L是漸近線時(shí)，f=+?,所以戶為常向量,

L是一平面曲線.

證法二：若尸，萬，則因河，才||&,所以府||彳，所以肪||凡由伏

雷

內(nèi)公式知d河II(一雄+^)而L是曲率線，所以沿L有腑II鞏所以有丁=0,

從而曲線為平面曲線；

若聲不垂直于河，則有廣?河=常數(shù),求微商得歹友+7月=°，因?yàn)長是曲率線,

所

以沿L有而IIdrLY,所以六月=0,所以戶為=。，即-7B.?=0,若7=0,

則問題得證；否則/-?=0,則因或甚=0,有為II7，詆||dy||(.T3)||

在，矛盾。

15.如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。

證曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法

向量成定角，由上題結(jié)論知正確。

16.求正螺面的主曲率。

解設(shè)正螺面的向量表示為產(chǎn)={ucosv(usmv(bv).

解乙=(cosv,sinv,0),rv=(-usinv,wcosv,b)

^={-ucosv,-usinv,0},。={一sinv,cosv,0},"=%=1,'=W一°,

—b

G=F：=Y+2,L=0,M=協(xié)+52,N=0,代入主曲率公式

a

(EG-尸，(LG-2FM+EN)及可+LN-千送Q得或二婿+一產(chǎn)

aa

所以主曲率為1—/+/'2->+>。

17.確定拋物面z=a(，+/)在(0,0)點(diǎn)的主曲率.

解曲面方程即0=[°。24，廣={",。(/+/)),rx=(l,0,2ax)

弓={0,1,2白河，4=(0,0,2a)(%={0,0,0),%={0,0,2a)。在(°,0)

點(diǎn),E=1,F=0,G=1,L=2a,M=0,

2

N=2a.所以及w-4a/+4"2=0,兩主曲率分別為4=2a,叼=2a.

18.證明在曲面上的給定點(diǎn)處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).

證曲面上的給定點(diǎn)處兩主曲率分別為勺、與，任給一方向3及與其正交

的方向3+%,則這兩方向的法曲率分別為七?)=勺cos?'+七sin*3,

。(S+%)=。cos?(3+%)+叼sin?(3+%)=勺sin°3+度2cos23

K*(3)+%3+%)=叼+度2為常數(shù)。

19.證明若曲面兩族漸近線交于定角，則主曲率之比為常數(shù).

22靖S=_￡L

證由a=/cosS+KinS得牝>,即漸進(jìn)方向?yàn)?/p>

0=arctgJ--arctgJ--

V與，%=-V叼.又-%+可=2可為常數(shù)，所以為可為常數(shù)，即

4為常數(shù).

20.求證正螺面的平均曲率為零.

證由第3題或第16題可知.

21.求雙曲面z=axy在點(diǎn)x=y=O的平均曲率和高斯曲率.

LG-2FM+NE

證在點(diǎn)x=y=O,E=l,F=0,G=l,L=0,M=a,N=0,H=2(￡G-F),

LN-

22

K=EG-F=-a1

22.證明極小曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).

勺

證法一：由H=2=0有燈=竹=0或勺=-鵬200.

若勺=行=0,則沿任意方向§,，(3)=Ocos?3+和sm23=0,即對(duì)于任意

11

i,r_Il_L_d_u___+_2_M_d__u_d_v_+__N_d_v_—M八

的du:dv,“1Edu2+2Fdudv-^Gdv2，所以有L=M=N=0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為平

點(diǎn).

若》=-右。0,則K=K速2<0,即LN-M2<0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn).

證法二：取曲率網(wǎng)為坐標(biāo)網(wǎng)，則F==M=0，因?yàn)闃O小曲面有H=0,

所以LG+EN=0,因E>0,G>0,所以LN<0。若LN-M?=0,則L=M=

N=0,曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)，若LN-M晨0,則曲面上的點(diǎn)是雙曲點(diǎn)。

23.證明如果曲面的平均曲率為零,則漸近線構(gòu)成正交網(wǎng).

證法一：如果曲面的平均曲率為零，由上題曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).

若為平點(diǎn),則任意方向?yàn)闈u近方向，任一曲線為漸近曲線,必存在正交的漸近曲線

網(wǎng).

若為雙曲點(diǎn)，則曲面上存在漸近曲線網(wǎng).由19題，漸近方向§滿足叼

=1,

即可=k/4,%=-不/4,兩漸近線的夾角為%，即漸近曲線網(wǎng)構(gòu)成正交網(wǎng).

證法二：；&=0；"G-2FM+NE=U漸近線方程為

Ldu2+2Mdudv+Nd^=0

★2

T加、?c”"ATnduOUA

￡(—y+2M—+N=0-----=—-一

所

所以dvdv,所以不的L以

如

+防

Edudu+F(dudv+dv6u)+Gdv5v=dv6v[E—--+F

.V9M

不爾/上+F(-.)+5=0

LLJ,所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。

,.,//=-（r,+r）=0..k…

證法三：MoO23,所以高斯曲率?玄,所

以￡方一河2=0,所以曲面上的點(diǎn)是平點(diǎn)或雙曲點(diǎn)。所以曲面上存在兩族漸近線。

取曲面上的兩族漸近線為坐標(biāo)網(wǎng)，則L=N=0,若M=0,曲面上的點(diǎn)是平

點(diǎn)，若

脛。0,則???//=0:ZG—2FM+NF=0,所以MF=O,所以F=0,所以

漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。

24.在xoz平面上去圓周丫=0,8一力尸+22=>?>“）,并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的

圓環(huán)面，參數(shù)方程為^=｛（b+acos伊）cos§,（b+acos*）sin§,asin。｝,求圓環(huán)面

上的橢圓點(diǎn)、雙曲點(diǎn)、拋物點(diǎn)。

解E=a\F=0,G=S+acos°）2,|_=a,乂=0,N=cos/（b+acos。），

LN=acosP（b+acos0）,由于b>a>0,b